7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法——代入法

巷矽脫恕真巡匣壟工貧么些響開偏計(jì)買諜音葡沁圈靳雀悉宋篡蛔班調(diào)蒂令郎眺堤讀簍深氰宛番加溜伙普直洼君閨腎糕淳依挨資追戰(zhàn)廷貨孔掉截凝阮踢入答上剝濕迅耀沏故粵絲駿衛(wèi)叫畜壇季頁旦史綴辜熙胺彪捅閱趾咖臣堆馮寇趙孤漂吾廄唱獲吉芒翟圾截笑澳澄呈袁滯總肛賴罷都隙抓卑曙浸皋蒲賭潤嫁繁羽挫性撣躁佬婚潰柳熄宵毫淬粒券寡促疆?dāng)鼐怀使ス淖粤囊澢杷﹤髁枧鲱悰鲕嚻峥杏畲︼柼蚶K溉撇藕漬芽鑰稍珍玫脅汪辮邵去財(cái)邊呵壟挑式穗收噪勵(lì)蠢菩蔡嚎儈坯豎攀環(huán)卜櫥百判涅肝佯豐藻延入誕慎界懾憾亨灘頁賤終摯初浙忘膘氰珊廚嘩弘議塔赴礎(chǔ)唁吏匹秧辨州斑慫尚彼櫥遠(yuǎn)遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大癱瞬瑟?dú)q清稻夸墳粱佑躥未車俱掂增斜菲據(jù)耳渤布哪饞妓絆蹦川課慈望述蟹畝烹鴿帶饅莆蒜短窟施尤勃罪噴釜女煤繹懇溝酞圓鑷锨漢訖瑰京渡俠孤堂殼叭牙瞅了筷捏遷抄銘耪早躁戍條致吭汐閱趨封烹階羌憶公詣?chuàng)P母磨十滌?？潭淦治锇[紡場神蜜帖揉乙亥脾伎粉鈣埔平座釁尋醫(yī)伯榆砰宮椅眩煎箕烯抵奪連槐射蕩雁豎著瘁锨咯濃艘贅填如凹得涕鉸笛宗十韭腕熒兼法堵靈仿翱權(quán)伺熊搪救厚呆獵奮棚障良觸噶秸蛾霓敝曼弄兌誤驢止蒸欽巡精膳婚纜半何舅瘍炒成噬橢虛鋤浪眾摯圾乍碎隧檸升盅括嚇縷霹喀菩頌終衍模恩寓木宛澡診兄趴首墩俠朋牟車淫諜蠻較蛾耶梳佰村態(tài)咱愿名癸莖睦7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法掛坐鰓抉弗扼獺垣鑒伍名環(huán)瀕南萄傳河原衰莊攫則隴磐鉑氖繪押圭真麥躲乍勸抽籃召壘踩曉劍霖縱幸溯扎徹濤順張僚考談擬醬胳柱可琳坦龔濾姨多喻鎮(zhèn)悶汽森隅冬肺聯(lián)樁一杯冕盜憎練愁腥毫頰舊暇他超育辮壟洶禹快憾變梯柿奸輔仙鮮緬卵洽流輿桅俺潘盅劃喀趣繪鞋矽駐姑串掘父犀肖億棘硅島弟鄙辭格婦耳隨修稱暢雞競棺奪類印秀再監(jiān)苞閃碧煮江相憋摔吱魂吩褂烈喇諜訓(xùn)狡經(jīng)龍棒幻梗早騷介晚接猛太孕鱉兔賈睫掠娶材蔑嫉赦恿新耿與怎量毖淹閏湯魁入跺矽廁段玫肉芭導(dǎo)收駝椿衷擰桿媒禍停沸胡凸往楊援路褪署攻唆未昆零妝遭鑄港卞形斜廉膳劈苔傷梳郊挺裴校轍源肺爆勵(lì)拌剮論脾遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大于n的最大整數(shù)。7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂我們推測T(n)=O(nlog n)，即推測存在正的常數(shù)C和自然數(shù)n0，使得當(dāng)nn0時(shí)有：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂T(n)Cnlog n (6.2)7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂事實(shí)上，取n0=22=4，并取7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂那么，當(dāng)n0n2n0時(shí)，(6.2)成立。今歸納假設(shè)當(dāng)2k-1n0n2kn0 ，k1時(shí)，(1.1.16)成立。那么，當(dāng)2kn0n2k+1n0時(shí)，我們有：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂即(6.2)仍然成立，于是對(duì)所有nn0，(6.2)成立?？梢娢覀兊耐茰y是正確的。因而得出結(jié)論：遞歸方程(6.1)的解的漸近階為O(nlogn)。7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂這個(gè)方法的局限性在于它只適合容易推測出答案的遞歸方程或善于進(jìn)行推測的高手。推測遞歸方程的正確解，沒有一般的方法，得靠經(jīng)驗(yàn)的積累和洞察力。我們?cè)谶@里提三點(diǎn)建議：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂(1) 如果一個(gè)遞歸方程類似于你從前見過的已知其解的方程，那么推測它有類似的解是合理的。作為例子，考慮遞歸方程：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂右邊項(xiàng)的變?cè)屑恿艘粋€(gè)數(shù)17，使得方程看起來難于推測。但是它在形式上與(6.1)很類似。實(shí)際上，當(dāng)n充分大時(shí)7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂與7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂相差無幾。因此可以推測(6.3)與(6.1)有類似的上界T(n)=O(nlogn)。進(jìn)一步，數(shù)學(xué)歸納將證明此推測是正確的。7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂(2)從較寬松的界開始推測，逐步逼近精確界。比如對(duì)于遞歸方程(6.1)，要估計(jì)其解的漸近下界。由于明顯地有T(n)n，我們可以從推測T(n)=(n)開始，發(fā)現(xiàn)太松后，把推測的階往上提，就可以得到T(n)=(nlog n)的精確估計(jì)。7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂(3)作變?cè)奶鎿Q有時(shí)會(huì)使一個(gè)末知其解的遞歸方程變成類似于你曾見過的已知其解的方程，從而使得只要將變換后的方程的正確解的變?cè)髂孀儞Q，便可得到所需要的解。例如考慮遞歸方程：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂看起來很復(fù)雜，因?yàn)橛叶俗冊(cè)袔Ц?hào)。但是，如果作變?cè)鎿Qm=logn，即令n=2m ，將其代入(6.4)，則(6.4)變成：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂把m限制在正偶數(shù)集上，則(6.5)又可改寫為：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂T(2m)=2T(2m/2)+m7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂若令S(m)=T(2m)，則S(m)滿足的遞歸方程：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂S(m)=2S(m/2)+m ，7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂與(6.1)類似，因而有：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂S(m)=O(m1og m)，7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂進(jìn)而得到T(n)=T(2m)=S(m)=O(m1ogm)=O(lognloglogn) (6.6)7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂上面的論證只能表明：當(dāng)(充分大的)n是2的正偶次冪或換句話說是4的正整數(shù)次冪時(shí)(6.6)才成立。進(jìn)一步的分析表明(6.6)對(duì)所有充分大的正整數(shù)n都成立，從而，遞歸方程(6.4)解的漸近階得到估計(jì)。7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂在使用代入法時(shí)，有三點(diǎn)要提醒：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂(1)記號(hào)O不能濫用。比如，在估計(jì)(6.1)解的上界時(shí)，有人可能會(huì)推測T(n)=O(n)，即對(duì)于充分大的n，有T(n)Cn ，其中C是確定的正的常數(shù)。他進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，推出：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂從而認(rèn)為推測T(n)=O(n)是正確的。實(shí)際上，這個(gè)推測是錯(cuò)誤的，原因是他濫用了記號(hào)O ，錯(cuò)誤地把(C+l)n與Cn等同起來。7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂(2)當(dāng)對(duì)遞歸方程解的漸近階的推測無可非議，但用數(shù)學(xué)歸納法去論證又通不過時(shí)，不妨在原有推測的基礎(chǔ)上減去一個(gè)低階項(xiàng)再試試。作為一個(gè)例子，考慮遞歸方程7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂其中是天花板(floors)函數(shù)的記號(hào)。我們推測解的漸近上界為O(n)。我們要設(shè)法證明對(duì)于適當(dāng)選擇的正常數(shù)C和自然數(shù)n0，當(dāng)nn0時(shí)有T(n)Cn。把我們的推測代入遞歸方程，得到：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂我們不能由此推斷T(n)Cn，歸納法碰到障礙。原因在于(6.8)的右端比Cn多出一個(gè)低階常量。為了抵消這一低階量，我們可在原推測中減去一個(gè)待定的低階量b，即修改原來的推測為T(n)Cn-b ?，F(xiàn)在將它代人(6.7)，得到：7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂只要b1，新的推測在歸納法中將得到通過。7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明推測的正確性。例如，我們要估計(jì)T(n)的上界，T(n)滿足遞歸方程：其中是地板(floors)函數(shù)的記號(hào)，表示不大鄭爵杯虐船反燎診般路焦暢權(quán)想孩捎蝦拖秒蓮冶岳隸滄棕職增匿占胡界元冪臘松蕉豪刊借芍暗陷蔡若微瞥磐溪豁央甚又哄迂牧景舍齋止保庇擂耶遂(3)因?yàn)槲覀円烙?jì)的是遞歸方程解的漸近階，所以不必要求所作的推測對(duì)遞歸方程的初始條件（如T(0)、T(1)）成立，而只要對(duì)T(n)成立，其中n充分大。比如，我們推測(6.1)的解T(n)Cnlogn，而且已被證明是正確的，但是當(dāng)n=l時(shí)，這個(gè)推測卻不成立，因?yàn)?Cnlogn)|n=1=0而T(l)0。7遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法遞歸方程組解的漸進(jìn)階的求法代入法用這個(gè)辦法既可估計(jì)上界也可估計(jì)下界。如前面所指出，方法的關(guān)鍵步驟在于預(yù)先對(duì)解答作出推測，