高中數(shù)學(xué)第二講直線與園的位置關(guān)系四弦切角的性質(zhì)學(xué)案含解析.docx

四 弦切角的性質(zhì)弦切角定理(1)文字語言敘述：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角(2)圖形語言敘述：如圖，AB與O切于A點(diǎn)，則BACD.弦切角的度數(shù)等于它所夾弧度數(shù)的一半，圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半，圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)弦切角定理如圖，已知圓上的，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線交于E點(diǎn)證明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.利用弦切角定理(1)因?yàn)?，所以BCDABC.又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，所以ACEABC.所以ACEBCD.(2)因?yàn)镋CBCDB，EBCBCD，所以BDCECB.故，即BC2BECD.利用弦切角定理進(jìn)行計(jì)算、證明時(shí)，要特別注意弦切角所夾弧所對的圓周角，有時(shí)與圓的直徑所對的圓周角結(jié)合運(yùn)用，同時(shí)要注意根據(jù)題目的需要添加輔助線構(gòu)造所需要的弦切角1如圖，CD是O的切線，T為切點(diǎn)，A是上的一點(diǎn)，若TAB100，則BTD的度數(shù)為()A20 B40 C60 D80解析：選D如圖，作四邊形ABET，因?yàn)樗倪呅蜛BET是圓內(nèi)接四邊形，所以E180TAB80.又CD是O的切線，T為切點(diǎn)，所以BTDE80.2如圖，AB是O的弦，CD是經(jīng)過O上的點(diǎn)M的切線，求證：(1)如果ABCD，那么AMMB；(2)如果AMBM，那么ABCD.證明：(1)CD切O于M點(diǎn)，CMAB.ABCD，CMAA.AB.AMMB.(2)AMBM，AB.CD切O于M點(diǎn)，CMAB，CMAA.ABCD.3.如圖，已知AB是O的直徑，直線CD與O相切于點(diǎn)C，AC平分DAB.(1)求證：ADCD；(2)若AD2，AC，求AB的長解：(1)證明：如圖，連接BC.直線CD與O相切于點(diǎn)C，DCAB.AC平分DAB，DACCAB.ADCACB.AB為O的直徑，ACB90.ADC90，即ADCD.(2)DCAB，DACCAB，ADCACB.，AC2ADAB.AD2，AC，AB.運(yùn)用弦切角定理證明比例式或乘積式如圖，PA，PB是O的切線，點(diǎn)C在上，CDAB，CEPA，CFPB，垂足分別為D，E，F(xiàn).求證：CD2CECF.連接CA，CB.PA，PB是O的切線，CAPCBA，CBPCAB.又CDAB，CEPA，CFPB，RtCAERtCBD，RtCBFRtCAD，.，即CD2CECF.證明乘積式成立，往往與相似三角形有關(guān)，若存在切線，常要尋找弦切角，確定三角形相似的條件，有時(shí)需要添加輔助線創(chuàng)造條件4如圖，已知MN是O的切線，A為切點(diǎn)，MN平行于弦CD，弦AB交CD于點(diǎn)E.求證：AC2AEAB.證明：連接BC.ACEABCAC2ABAE.5如圖，AD是ABC的角平分線，經(jīng)過點(diǎn)A，D的O和BC切于點(diǎn)D，且AB，AC與O相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DF，EF.求證：(1)EFBC；(2)DF2AFBE.證明：(1)O切BC于點(diǎn)D，CADCDF.AD是ABC的角平分線，BADCAD.又BADEFD，EFDCDF.EFBC.(2)連接DE.O切BC于D，BADBDE.由(1)可得BDEFAD，又O內(nèi)接四邊形AEDF，BEDDFA.BEDDFA.又BADCAD，DEDF.DF2AFBE.課時(shí)跟蹤檢測(九)一、選擇題1P在O外，PM切O于C，PAB交O于A，B，則()AMCBB BPACPCPCAB DPACBCA解析：選C由弦切角定理知PCAB.2如圖，PC與O相切于C點(diǎn)，割線PAB過圓心O，P40，則ACP等于()A20 B25 C30 D40解析：選B連接OC.PC切O于C點(diǎn)，OCPC.P40，POC50.連接BC，則BPOC25，ACPB25.3如圖，AB是O的直徑，EF切O于C，ADEF于D，AD2，AB6，則AC的長為()A2 B3 C2 D4解析：選C連接BC，則ACB90，又ADEF，ADC90，即ADCACB，又ACDABC，ABCACD，AC2ADAB12，即AC2.4如圖，AB是O的直徑，P在AB的延長線上，PD切O于C點(diǎn)，連接AC，若ACPC，PB1，則O的半徑為()A1 B2C3 D4解析：選A連接BC.ACPC，AP.BCPA，BCPP.BCBP1.由BCPCAP得.PC2PBPA，即AC2PBPA.而AC2AB2BC2，設(shè)O半徑為r，則4r2121(12r)，解得r1.二、填空題5如圖，AB是O的直徑，PB，PE分別切O于B，C，若ACE40，則P_.解析：連接BC，AB是O的直徑，ACB90.又ACE40，PCBPBC50.P80.答案：806如圖，點(diǎn)P在圓O直徑AB的延長線上，且PBOB2，PC切圓O于C點(diǎn)，CDAB于D點(diǎn)，則CD_.解析：連接OC.PC切O于C點(diǎn)，OCPC.PBOB2，OC2.PC2.OCPCOPCD，CD.答案：7如圖，過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB7，C是圓上一點(diǎn)使得BC5，BACAPB，則AB_.解析：由PA為O的切線，BA為弦，得PABBCA，又BACAPB，于是APBCAB，所以.而PB7，BC5，故AB2PBBC7535，即AB.答案：三、解答題8.如圖，AB是半圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)(異于A，B)，過C作圓O的切線l，過A作直線l的垂線AD，垂足為D，AD交半圓于點(diǎn)E.求證：CBCE.證明：連接AC，BE，在DC延長線上取一點(diǎn)F，因?yàn)锳B是半圓O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，所以ACB90，即BCFACD90.又因?yàn)锳Dl，所以DACACD90.所以BCFDAC.又因?yàn)橹本€l是圓O的切線，所以CEBBCF，又DACCBE，所以CBECEB，所以CBCE.9.如圖所示，ABC內(nèi)接于O，ABAC，直線XY切O于點(diǎn)C，弦BDXY，AC，BD相交于點(diǎn)E.(1)求證：ABEACD；(2)若AB6 cm，BC4 cm，求AE的長解：(1)證明：因?yàn)閄Y是O的切線，所以12.因?yàn)锽DXY，所以13，所以23.因?yàn)?4，所以24.因?yàn)锳BDACD，又因?yàn)锳BAC，所以ABEACD.(2)因?yàn)?2，ABCACB，所以BCEACB，所以，即ACCEBC2.因?yàn)锳BAC6 cm，BC4 cm，所以6(6AE)16.所以AE (cm)10.如圖，已知C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是ACB的角平分線，交AE于點(diǎn)F，交AB于D點(diǎn)(1)求ADF的度數(shù)；(2)若ABAC，求ACBC.解：(1)AC為