理)一輪復(fù)習(xí)配套講義第7篇 第2講 空間幾何體的表面.doc

第2講空間幾何體的表面積與體積 最新考綱1了解球體、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積的計(jì)算公式2了解球體、柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算公式.知 識(shí) 梳 理1柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)2rhVShr2h圓錐S側(cè)rlVShr2hr2圓臺(tái)S側(cè)(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S側(cè)ChVSh正棱錐S側(cè)ChVSh正棱臺(tái)S側(cè)(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR32.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和辨 析 感 悟1柱體、錐體、臺(tái)體與球的面積(1)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2S.()(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為3a2.()2柱體、錐體、臺(tái)體的體積(3)(教材練習(xí)改編)若一個(gè)球的體積為4，則它的表面積為12.()(4)(2013浙江卷改編)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于24 cm3.()(5)在ABC中，AB2，BC3，ABC120，使ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為9.()3柱體、錐體、臺(tái)體的展開(kāi)與折疊(6)將圓心角為，面積為3的扇形作為圓錐的側(cè)面，則圓錐的表面積等于4.()(7)(2014青州模擬改編)將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BDa，則三棱錐DABC的體積為a3.()感悟提升兩點(diǎn)注意一是求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解二是幾何體展開(kāi)、折疊問(wèn)題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系.學(xué)生用書(shū)第109頁(yè)考點(diǎn)一空間幾何體的表面積【例1】 (2014日照一模)如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖，其俯視圖是面積為8的矩形則該幾何體的表面積是()A8 B208 C16 D248解析由已知俯視圖是矩形，則該幾何體為一個(gè)三棱柱，根據(jù)三視圖的性質(zhì)，俯視圖的矩形寬為2，由面積8，得長(zhǎng)為4，則該幾何體的表面積為S22224224208.答案B規(guī)律方法 (1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和【訓(xùn)練1】 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_(kāi)解析如圖所示：該幾何體為長(zhǎng)為4，寬為3，高為1的長(zhǎng)方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱后剩下的部分S表(413431)221121238.答案38考點(diǎn)二空間幾何體的體積【例2】 (1)(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A168 B88C1616 D816(2)(2014福州模擬)如圖所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1底面ABC，則三棱錐B1ABC1的體積為 ()A. B.C. D.解析(1)由三視圖可知該幾何體由長(zhǎng)方體和圓柱的一半組成其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4,2,2，圓柱的底面半徑為2、高為4.所以V224224168.故選A.(2)三棱錐B1ABC1的體積等于三棱錐AB1BC1的體積，三棱錐AB1BC1的高為，底面積為，故其體積為.答案(1)A(2)A規(guī)律方法 (1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解【訓(xùn)練2】 如圖所示，已知E，F(xiàn)分別是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A，CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1B1EDF的體積解法一連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)O1，連接B1D，EF，過(guò)O1作O1HB1D于H.EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，EF平面B1EDF.A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離平面B1D1D平面B1EDF，且平面B1D1D平面B1EDFB1D，O1H平面B1EDF，即O1H為棱錐的高B1O1HB1DD1，O1Ha.O1Haaaa3.法二連接EF，B1D.設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1h2B1D1a.由題意得，SC1EF(h1h2)a3.考點(diǎn)三球與空間幾何體的接、切問(wèn)題【例3】 (1)(2013福建卷)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該球的表面積是_(2)(2013遼寧卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A. B2 C. D3審題路線(1)正方體內(nèi)接于球正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑求得球的半徑代入球的表面積公式(注意只算球的表面積)(2)BC為過(guò)底面ABC的截面圓的直徑取BC中點(diǎn)D，則球心在BC的垂直平分線上，再由對(duì)稱性求解解析(1)由三視圖知，棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)接于球，故正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2，即為球的直徑所以球的表面積為S4212.(2)因?yàn)樵谥比庵蠥B3，AC4，AA112，ABAC，所以BC5，且BC為過(guò)底面ABC的截面圓的直徑，取BC中點(diǎn)D，則OD底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對(duì)角線長(zhǎng)即為球的直徑，所以2r13，即r.答案(1)12(2)C學(xué)生用書(shū)第110頁(yè)規(guī)律方法 解決球與其他幾何體的切、接問(wèn)題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的【訓(xùn)練3】 (2013新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解析作出該球的軸截面，如圖所示，依題意BE2 cm，AECE4 cm，設(shè)DEx，故AD2x，因?yàn)锳D2AE2DE2，解得x3(cm)，故該球的半徑AD5 cm，所以VR3(cm3)答案A考點(diǎn)四幾何體的展開(kāi)與折疊問(wèn)題【例4】 (1)如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去AOB，將剩余部分沿OC，OD折疊，使OA，OB重合，則以A，B，C，D，O為頂點(diǎn)的四面體的體積為_(kāi)(2)如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為直角三角形，ACB90，AC4，BCCC13.P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CPPA1的最小值為_(kāi)(其中PA1表示P，A1兩點(diǎn)沿棱柱的表面距離)解析(1)折疊后的四面體如圖所示OA，OC，OD兩兩相互垂直，且OAOCOD2，體積V SOCDOA(2)3.(2)由題意知，把面BB1C1C沿BB1展開(kāi)與面AA1B1B在一個(gè)平面上，如圖所示，連接A1C即可則A1、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，CPPA1最小，ACB90，AC4，BCC1C3，A1B1AB5，A1C1538，A1C.故CPPA1的最小值為.答案(1)(2)規(guī)律方法 (1)有關(guān)折疊問(wèn)題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變(2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題【訓(xùn)練4】 如圖為一幾何體的展開(kāi)圖，其中ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，SDPD6，CRSC，AQAP，點(diǎn)S，D，A，Q共線，點(diǎn)P，D，C，R共線，沿圖中虛線將它們折疊起來(lái)，使P，Q，R，S四點(diǎn)重合，則需要_個(gè)這樣的幾何體，可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體解析由題意知，將該展開(kāi)圖沿虛線折疊起來(lái)以后，得到一個(gè)四棱錐PABCD(如圖所示)，其中PD平面ABCD，因此該四棱錐的體積V66672，而棱長(zhǎng)為6的正方體的體積V666216，故需要3個(gè)這樣的幾何體，才能拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體答案3 1對(duì)于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積的問(wèn)題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來(lái)解決2求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積3與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.方法優(yōu)化5特殊點(diǎn)在求解幾何體的體積中的應(yīng)用【典例】 (2012山東卷)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1EDF的體積為_(kāi)一般解法 三棱錐D1EDF的體積即為三棱錐FDD1E的體積因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點(diǎn)，所以在正方體ABCDA1B1C1D1中EDD1的面積為定值，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以1.優(yōu)美解法 E點(diǎn)移到A點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)移到C點(diǎn)，則111.答案反思感悟 (1)一般解法利用了轉(zhuǎn)化思想，把三棱錐D1EDF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐FDD1E的體積，但這種解法還是難度稍大，不如采用特殊點(diǎn)的解法易理解、也簡(jiǎn)單易求(2)在求幾何體體積時(shí)還經(jīng)常用到等積法、割補(bǔ)法【自主體驗(yàn)】如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1與側(cè)面BCC1B1的距離為2，側(cè)面BCC1B1的面積為4，此三棱柱ABCA1B1C1的體積為_(kāi)解析補(bǔ)形法將三棱柱補(bǔ)成四棱柱，如圖所示記A1到平面BCC1B1的距離為d，則d2.則V三棱柱V四棱柱424.答案4對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P309基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1(2013廣東卷)某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是()A4 B. C. D6解析由四棱臺(tái)的三視圖可知該四棱臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為1的正方形；下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為2.由棱臺(tái)的體積公式可知該四棱臺(tái)的體積V(1222)2，故選B.答案B2(2013湖南卷)已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于()A1 B. C. D.解析由俯視圖的面積為1可知，該正方體的放置如圖所示，當(dāng)正視圖的方向與正方體的側(cè)面垂直時(shí)，正視圖的面積最小，其值為1，當(dāng)正視圖的方向與正方體的對(duì)角面BDD1B1或ACC1A1垂直時(shí)，正視圖的面積最大，其值為，由于正視圖的方向不同，因此正視圖的面積S1，故選C.答案C3(2014許昌模擬)如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為()A4 B. C3 D2解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱，S表2211.答案B4.如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為()A. B. C. D.解析如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC1，VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.故選A.答案A5(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為()A. B4 C4 D6解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO，OM1，OM，即球的半徑為，V()34.答案B二、填空題6(2013遼寧卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為16；正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2，高為4，故體積為16，所以幾何體的體積為1616.答案16167(2013陜西卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為_(kāi)解析該幾何體為一個(gè)半圓錐，故其體積為V1222.答案8(2013江蘇卷)如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1V2_.解析設(shè)三棱柱A1B1C1ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1ShShV2，即V1V2124.答案124三、解答題9如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)：(1)畫(huà)出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫(xiě)畫(huà)法)；(2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積解(1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示(2)這個(gè)幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的組合體由PA1PD1 cm，A1D1AD2 cm，可得PA1PD1.故所求幾何體的表面積S522222()2224(cm2)，體積V23()2210(cm3)10有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度解如圖所示，作出軸截面，因軸截面是正三角形，根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水的深度為3r，水面半徑BC的長(zhǎng)為r，則容器內(nèi)水的體積為VV圓錐V球(r)23rr3r3，將球取出后，設(shè)容器中水的深度為h，則水面圓的半徑為h，從而容器內(nèi)水的體積為V2hh3，由VV，得hr.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1已知球的直徑SC4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB，ASCBSC30，則棱錐SABC的體積為()A3 B2 C. D1解析由題意知，如圖所示，在棱錐SABC中，SAC，SB