推理與證明教案范文VIP

推理與證明教案范文 推理與證明1第一課時2.1.1合情推理（一）教學(xué)要求結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解歸納推理的含義，能利用歸納進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.教學(xué)重點(diǎn)能利用歸納進(jìn)行簡單的推理.教學(xué)難點(diǎn)用歸納進(jìn)行推理，作出猜想.教學(xué)過程 一、新課引入1.哥德巴赫猜想觀察4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,50=13+37,100=3+97，猜測任一偶數(shù)（除去2，它本身是一素數(shù)）可以表示成兩個素數(shù)之和.1742年寫信提出，歐拉及以后的數(shù)學(xué)家無人能解，成為數(shù)學(xué)史上舉世聞名的猜想.1973年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤，證明了充分大的偶數(shù)可表示為一個素數(shù)與至多兩個素數(shù)乘積之和，數(shù)學(xué)上把它稱為“1+2”. 二、講授新課1.教學(xué)概念概念由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.歸納推理的幾個特點(diǎn);1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍.2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測性.3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)之上歸納推理的一般步驟對有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納；提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；檢驗猜想。 歸納練習(xí)(i)由銅、鐵、鋁、金、銀能導(dǎo)電，能歸納出什么結(jié)論？(ii)由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和180度，能歸納出什么結(jié)論？(iii)觀察等式2221342,13593,13579164?，能得出怎樣的結(jié)論？討論(i)統(tǒng)計學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，是否屬歸納推理？(ii)歸納推理有何作用？（發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結(jié)論，是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段）(iii)歸納推理的結(jié)果是否正確？（不一定）2.教學(xué)例題例1觀察圖，可以發(fā)現(xiàn)1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,由上述具體事實能得出怎樣的結(jié)論？出示例題已知數(shù)列?na的第1項12a?，且1(1,2,)1nnnaa na?，試歸納出通項公式.推理與證明2（分析思路試值n=1，2，3，4猜想na如何證明將遞推公式變形，再構(gòu)造新數(shù)列）例3:數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E,然后用歸納法推理得出它們之間的關(guān)系.尖頂塔截角正方體五棱柱正八面體立方體五棱錐三棱柱四棱錐三棱錐棱數(shù)(E)頂點(diǎn)數(shù)(V)面數(shù)(F)多面體46455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想歐拉公式3.小結(jié)歸納推理的藥店由部分到整體、由個別到一般；典型例子哥德巴赫猜想的提出；數(shù)列通項公式的歸納. 三、鞏固練習(xí)22221.:5124,7148,111120,131168,.24,?觀察所得的結(jié)果都是的倍數(shù)繼續(xù)試驗?zāi)隳艿玫绞裁床孪?122.,1,(*),2.nn nnaa a a n Na?在數(shù)列中試猜想這個數(shù)列的通項公式123.,2 (1).nn n?對于任意正整數(shù)猜想與的大小關(guān)系第二課時2.1.1合情推理（二）教學(xué)要求結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.教學(xué)重點(diǎn)了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理.教學(xué)難點(diǎn)用歸納和類比進(jìn)行推理，作出猜想.教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備導(dǎo)入魯班由帶齒的草發(fā)明鋸；人類仿照魚類外形及沉浮原理，發(fā)明潛水艇；地球上有生命，火星與地球有許多相似點(diǎn)，如都是繞太陽運(yùn)行、擾軸自轉(zhuǎn)的行星，有大氣層，也有季節(jié)變更，溫度也適合生物生推理與證明3存，科學(xué)家猜測火星上有生命存在.以上都是類比思維，即類比推理. 二、講授新課1.教學(xué)概念概念由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理.簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的幾個特點(diǎn);1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.3.類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠,單它卻有發(fā)現(xiàn)的功能圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(diǎn)(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)類比得出求的性質(zhì)球的體積34V=R3球的表面積2S=4R圓的周長S=2R圓的面積2S=R2.教學(xué)例題出示例1類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì).（得到如下表格）類比角度實數(shù)的加法實數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)果若,a bR?則a bR?若,a bR?則ab R?運(yùn)算律()()a bb aa b c a b c?()()ab baab c a bc?逆運(yùn)算加法的逆運(yùn)算是減法，使得方程0a x?有唯一解x a?乘法的逆運(yùn)算是除法，使得方程1ax?有唯一解1xa?單位元0a a?11a?出示例2類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.思維直角三角形中，090C?，3條邊的長度,a b c，2條直角邊,a b和1條斜邊c；3個面兩兩垂直的四面體中，090PDF PDEEDF?，4個面的面積123,S S S和S3個“直角面”123,SSS和1個“斜面”S.拓展三角形到四面體的類比.3.小結(jié)類比推理的一般步驟:推理與證明41.找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征2.用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想3.檢測猜想 四、課堂練習(xí)1122121211221212121.,.,?OM NOMNOM ONM MN NSOMONOP OQSOM ONORP QR R?如圖若射線上分別存在點(diǎn)與點(diǎn)則三角形面積之比若不在同一平面內(nèi)的射和上分別存在點(diǎn)點(diǎn)和點(diǎn)則類似的結(jié)論是什么OM1N1N2M2NMOP1P2Q2Q1R1R2R QP1012121992.,0,.(19,*).,1,?nn nna aa a a a a a nn Nbb?在等差數(shù)列中若則有且成立類比上述性質(zhì)在等比數(shù)列中若則存在怎樣的等式小結(jié)?歸納推理和類比推理的過程從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜想通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.合情推理歸納推理類比推理傳說在古老的印度有一座神廟，神廟中有三根針和套在一根針上的64個圓環(huán).古印度的天神指示他的僧侶們按下列規(guī)則,把圓環(huán)從一根針上全部移到另一根針上，第三根針起“過渡”的作用.1.每次只能移動1個圓環(huán)；2.較大的圓環(huán)不能放在較小的圓環(huán)上面.如果有一天，僧侶們將這64個圓環(huán)全部移到另一根針上，那么世界末日就來臨了.請你試著推測把個圓環(huán)從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?123n推理與證明5第三課時2.1.2演繹推理教學(xué)要求結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單的推理。 .教學(xué)重點(diǎn)了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進(jìn)行簡單的推理.教學(xué)難點(diǎn)分析證明過程中包含的“三段論”形式.教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備復(fù)習(xí):合情推理歸納推理的一般步驟類比推理的一般步驟 二、講授新課觀察與思考1.所有的金屬都能導(dǎo)電,因為銅是金屬,所以銅能夠?qū)щ?2.一切奇數(shù)都不能被2整除因為(2100+1)是奇數(shù),所以(2100+1)不能被2整除.3.三角函數(shù)都是周期函數(shù),因為tan三角函數(shù),所以是tan周期函數(shù)1.教學(xué)概念概念從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理。 要點(diǎn)由一般到特殊的推理。 討論演繹推理與合情推理有什么區(qū)別？合情推理?歸納推理由特殊到一般類比推理由特殊到特殊；演繹推理由一般到特殊.“三段論”是演繹推理的一般模式第一段大前提已知的一般原理；第二段小前提所研究的特殊情況；第三段結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.舉例舉出一些用“三段論”推理的例子.2.教學(xué)例題例.如圖;在銳角三角形ABC中,ADBC,BEAC,D,E是垂足,求證AB的中點(diǎn)M到D,E的距離相等.ADECM B (1)因為有一個內(nèi)角是只直角的三角形是直角三角形,在ABC中,ADBC,即ADB=900所以ABD是直角三角形同理ABD是直角三角形 (2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,M是RtABD斜邊AB的中點(diǎn),DM是斜邊上的中線所以DM=AB12同理EM=AB12所以DM=EM大前提小前提結(jié)論大前提小前提結(jié)論證明:例:證明函數(shù)f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函數(shù).滿足對于任意x1,x2D,若x10因為x1,x21所以x1+x2-20因此f(x1)-f(x2)0，y0，證明不等式11223332()()x yx y?.先討論方法分別運(yùn)用分析法、綜合法證明.出示例4見教材P48.討論如何尋找證明思路？（從結(jié)論出發(fā)，逐步反推）出示例5見教材P49.討論如何尋找證明思路？（從結(jié)論與已知出發(fā)，逐步探求）2.練習(xí):67225?1.求證21,2,(),22a bc Sab Sabc Sa?2.設(shè)為一個三角形的三邊且試證222tan sin,tan sin,()16abab ab?3.已知求證3.小結(jié)分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,P P?，直到所有的已知P都成立；比較好的證法是用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.（框圖示意） 三、鞏固練習(xí)1.設(shè)a,b,c是的ABC三邊，S是三角形的面積，求證222443cababS?.略證正弦、余弦定理代入得2cos423sin ab C ababC?，即證2cos23sin C C?，即3sincos2CC?，即證sin()16C?（成立）.2.作業(yè)教材P46練習(xí) 2、3題.第三課時2.2.2反證法教學(xué)要求結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備推理與證明10A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。 則C必定是在撒謊，為什么？分析假設(shè)C沒有撒謊，則C真.那么A假且B假;由A假，知B真.這與B假矛盾.那么假設(shè)C沒有撒謊不成立;則C必定是在撒謊. 二、講授新課1.教學(xué)反證法概念及步驟提出反證法一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟假設(shè)原命題的結(jié)論不成立從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾矛盾的原因是假設(shè)不成立，從而原命題的結(jié)論成立應(yīng)用關(guān)鍵在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.方法實質(zhì)反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進(jìn)行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.注結(jié)合準(zhǔn)備題分析以上知識.2.教學(xué)例題332,:2p qp q?例1.已知求證例2已知a0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。 例3求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析如何否定結(jié)論？如何從假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理？得到怎樣的矛盾？與教材不同的證法反設(shè)AB、CD被P平分，P不是圓心，連結(jié)OP，則由垂徑定理OP?AB，OP?CD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），不被P平分.222,2,2,2,236:,0.abcax yb yz cz xabc?例4.若均為實數(shù)且求證中至少有一個大于練習(xí)1.:2,3,5.求證不可能成等差數(shù)列3.,.2ABC abcB?的三邊的倒數(shù)成等差數(shù)列求證3.小結(jié)反證法是從否定結(jié)論入手，經(jīng)過一系列的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而說明原結(jié)論正確.注意證明步驟和適應(yīng)范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題） 三、鞏固練習(xí)1.練習(xí)教材P 451、2題2.作業(yè)教材P46A組3題.推理與證明11第一課時數(shù)學(xué)歸納法 （1）教學(xué)要求了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫.教學(xué)重點(diǎn)能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.教學(xué)難點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解.教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 1、已知數(shù)列a n中，a1=1,a n+1=a n/(an+1),試求出a2,a3,a4并猜想an的通項公式 2、費(fèi)馬猜想122342222*215211721257216553721()nn N?都是質(zhì)數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想任何形如的數(shù)都是質(zhì)數(shù)225522142949672976416700417nn?時，是一個合數(shù) 3、思考?從一個袋子里第一次摸出的是一個白球,接著,如果我們有這樣一個保證:“當(dāng)你這一次摸出的白球,則下一次摸出的一定也是白球.”能判斷這個袋子里裝的全是白球嗎? 4、多米諾骨牌游戲.成功的兩個條件 （1）第一張牌被推倒； （2）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒. 二、講授新課 1、數(shù)學(xué)歸納法的定義對于某些與正整數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性先證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(k?N*，kn0)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。 數(shù)學(xué)歸納法兩大步（i）歸納奠基證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立；（ii）歸納遞推假設(shè)n=k（kn0，kN*）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.