《運(yùn)算律》單元分析

運(yùn)算律單元分析本單位教學(xué)運(yùn)算律，包括加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、分配律。整數(shù)的運(yùn)算律在小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算中同樣存在，教材先在整數(shù)范圍內(nèi)教學(xué)運(yùn)算律，以后再推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算中去，是一種合理的安排。運(yùn)算律是整數(shù)加法和乘法計(jì)算法則的推理依據(jù)。多位數(shù)加法把相同數(shù)位上的數(shù)相加，即具有相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)直接相加，主要依據(jù)了加法結(jié)合律，也應(yīng)用了加法交換律。三位數(shù)乘一位數(shù)把三位數(shù)個(gè)位、十位、百位上的數(shù)依次分別乘一位數(shù)，主要依據(jù)了乘法分配律。三位數(shù)乘兩位數(shù)把三位數(shù)分別乘兩位數(shù)個(gè)位、十位上的數(shù)，再把兩次乘的結(jié)果相加，也是依據(jù)了乘法分配律。小學(xué)數(shù)學(xué)里，計(jì)算教學(xué)在前，運(yùn)算律教學(xué)在后，計(jì)算方法不從運(yùn)算律推出，是考慮了學(xué)生年齡與智力發(fā)展的階段性特點(diǎn)。不過，在教學(xué)運(yùn)算律以后，如果再認(rèn)計(jì)算法則，還會(huì)有深一層的理解。運(yùn)算律是繼續(xù)教學(xué)某些數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。尤其是應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，既提高了解決計(jì)算問題的效率，更提高了學(xué)生的計(jì)算能力。運(yùn)算律是高度概括的運(yùn)算知識(shí)，是在大量的計(jì)算現(xiàn)象中歸納出來的數(shù)學(xué)內(nèi)容。運(yùn)算律是加法、乘法計(jì)算中具有普遍意義的規(guī)律，經(jīng)過演繹推理能夠運(yùn)用到具體的計(jì)算中去，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維十分有益。所以，教學(xué)運(yùn)算律需要聯(lián)系實(shí)際，從現(xiàn)實(shí)的解題活動(dòng)中得出運(yùn)算律。教學(xué)運(yùn)算律不僅要解釋數(shù)學(xué)規(guī)律，還要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。全單元編排七道例題，具體安排如下：例1 加法交換律、結(jié)合律 例2 應(yīng)用加法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算例3 乘法交換律 例4 乘法結(jié)合律例5 乘法分配律 例6 應(yīng)用乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算例7 相遇問題從表格里可以看到，教材的安排是先教學(xué)加法的運(yùn)算律，再教學(xué)乘法的運(yùn)算律；先教學(xué)交換律和結(jié)合律，再教學(xué)分配律；先教學(xué)運(yùn)算律的含義，再教學(xué)運(yùn)算律的應(yīng)用。這樣安排有三點(diǎn)原因：首先是由易到難，便于教學(xué)。我們知道，交換律的內(nèi)容比結(jié)合律簡(jiǎn)單，分配律的內(nèi)容更加復(fù)雜，學(xué)生對(duì)交換律的感性認(rèn)識(shí)比結(jié)合律和分配律豐富，先教學(xué)比較容易的交換律，有利于激發(fā)學(xué)生探索運(yùn)算律的興趣。其次是提高教學(xué)效率，發(fā)揮學(xué)生的能動(dòng)性。交換律的教學(xué)容易組織和實(shí)施，而交換律的教學(xué)方法與學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可以應(yīng)用到結(jié)合律和分配律的教學(xué)中去。這種內(nèi)在的可遷移性，有利于確立學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位。再次是遵循了學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律。人們掌握運(yùn)算律，應(yīng)該先理解運(yùn)算律的具體含義，再應(yīng)用運(yùn)算律使一些計(jì)算簡(jiǎn)便，小學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算律，也應(yīng)該達(dá)到理解和掌握的程度，也需要有合理的安排。教材把相遇問題編排在本單元的最后教學(xué)，這是因?yàn)閮蓚€(gè)物體作相向運(yùn)動(dòng)，如果分別已知它們的運(yùn)動(dòng)速度，以及同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，求它們運(yùn)動(dòng)的路程和，通常有兩種算法，而兩種算法之間可以用乘法分配律溝通、轉(zhuǎn)換。所以，把相遇問題編排在運(yùn)算律的單元里教學(xué)，有助于學(xué)生聯(lián)系實(shí)際問題里的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步體驗(yàn)乘法分配律的含義，也有助于學(xué)生聯(lián)系乘法分配律，理解相遇問題兩種解法的關(guān)系。（一） 在觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等學(xué)習(xí)活動(dòng)中主動(dòng)認(rèn)識(shí)運(yùn)算律數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要學(xué)生獲得重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，還要發(fā)揮教學(xué)內(nèi)容的育人功能，使學(xué)生在各個(gè)方面有所發(fā)展。教材希望學(xué)生在本單元的教學(xué)中，掌握運(yùn)算律并發(fā)展初步的推理能力。為此，設(shè)計(jì)了一條鮮明的教學(xué)線索，在發(fā)現(xiàn)運(yùn)算律、總結(jié)運(yùn)算律的時(shí)候，都給學(xué)生留出自主探索、獨(dú)立思考的空間，為他們安排了豐富、多樣、有趣、高效的學(xué)習(xí)活動(dòng)。教材安排的教學(xué)過程是“解決一個(gè)實(shí)際問題看到一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象舉出更多的例子在眾多案例中抽象概括用符號(hào)表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律”，引導(dǎo)學(xué)生充分地觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比，形成正確的數(shù)學(xué)結(jié)論。1. 引出一個(gè)實(shí)例，解決一個(gè)實(shí)際問題。教材編排四道例題分別教學(xué)加法交換律與結(jié)合律、乘法交換律、結(jié)合律、分配律。例1教學(xué)加法交換律，呈現(xiàn)的實(shí)際問題里已知28個(gè)男生跳繩，17個(gè)女生跳繩，23個(gè)女生踢毽子，求跳繩的學(xué)生有多少人。解決這個(gè)問題，數(shù)量關(guān)系可以是“男生跳繩人數(shù)+女生跳繩人數(shù)”，或者是“女生跳繩人數(shù)+男生跳繩人數(shù)”，即可以列出算式28+17或17+28。由于兩個(gè)算式的得數(shù)相同，這兩個(gè)算式可以組成等式28+17=17+28，這是加法交換律的第一個(gè)實(shí)例。例1接著求跳繩和踢毽子的一共有多少人，數(shù)量關(guān)系可以是“跳繩人數(shù)+踢毽子人數(shù)”，列出算式（28+17）+23；數(shù)量關(guān)系也可以是“男生人數(shù)+女生人數(shù)”，列出算式28+（17+23）。兩個(gè)算式的得數(shù)相同，也能組成等式（28+17）+23=28+（17+23），這是教學(xué)加法結(jié)合律的第一個(gè)實(shí)例。例4教學(xué)乘法結(jié)合律，呈現(xiàn)的實(shí)際問題是“華豐小學(xué)舉行跳繩比賽，每個(gè)班選派23人參加。每個(gè)年級(jí)有5個(gè)班，6個(gè)年級(jí)一共選派多少人參加比賽？”解決這個(gè)問題的數(shù)量關(guān)系式可以是“一個(gè)年級(jí)參加的人數(shù)一共的年級(jí)數(shù)”或者是“每班參加的人數(shù)一共的班級(jí)數(shù)”，列出的算式是（235）6或者23（56）。兩個(gè)算式解決同一個(gè)問題，得數(shù)相同，能組成等式（235）6=23（56），這是乘法結(jié)合律的第一個(gè)實(shí)例。例5教學(xué)乘法分配律，呈現(xiàn)的實(shí)際問題是“四年級(jí)有6個(gè)班，五年級(jí)有4個(gè)班。每個(gè)班領(lǐng)24根跳繩，四、五年級(jí)一共領(lǐng)多少根跳繩？”解決問題的數(shù)量關(guān)系式是“四、五年級(jí)一共的班級(jí)數(shù)每班領(lǐng)的根數(shù)”或者是“四年級(jí)領(lǐng)的根數(shù)+五年級(jí)領(lǐng)的根數(shù)”，算式是（6+4）24或者624+424。兩個(gè)算式可以組成等式（6+4）24=624+424，是乘法分配律的第一個(gè)實(shí)例。各個(gè)實(shí)例的教學(xué)要點(diǎn)是等式表達(dá)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。在28+17=17+28這個(gè)等式里，等號(hào)兩邊的加數(shù)調(diào)換了位置；在（28+17）+23=28+（17+23）這個(gè)等式里，等號(hào)兩邊的運(yùn)算順序不同，分別是“先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加第三個(gè)數(shù)”和“先把后兩個(gè)數(shù)相加，再與第一個(gè)數(shù)相加”。在（235）6=23（56）這個(gè)等式里，等號(hào)兩邊的運(yùn)算順序不同，分別是“先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再與第三個(gè)數(shù)相乘”和“先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再與第一個(gè)數(shù)相乘”。在（6+4）24=624+424這個(gè)等式里，等號(hào)左邊是“兩個(gè)數(shù)相加的和乘一個(gè)數(shù)”，右邊是“兩個(gè)加數(shù)分別乘一個(gè)數(shù)，并把兩個(gè)乘積相加”。教學(xué)應(yīng)組織學(xué)生仔細(xì)觀察第一個(gè)實(shí)例的等式，了解等式表示的數(shù)學(xué)內(nèi)容，明白知識(shí)特點(diǎn)，產(chǎn)生進(jìn)一步探索規(guī)律的積極性。教學(xué)各條運(yùn)算律的第一個(gè)實(shí)例要注意兩點(diǎn)：一是教師要和學(xué)生共同參與列算式的活動(dòng)。例1的第二個(gè)問題“跳繩和踢毽子的一共有多少人”可以列出許多個(gè)算式，但不都是研究加法結(jié)合律所適宜的算式。這時(shí)，教師與學(xué)生一起列式，可以避免列算式環(huán)節(jié)上不必要的糾纏，及時(shí)排除與結(jié)合律無關(guān)的那些算式。二是挖掘等式里的數(shù)學(xué)內(nèi)容十分重要。必須把學(xué)生的注意力引導(dǎo)到對(duì)運(yùn)算律的研究上去，看到等式兩邊的加數(shù)位置調(diào)換了，看到等式兩邊的運(yùn)算順序變了。但是，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)緊密聯(lián)系算式實(shí)際，盡量具體一些，不要太多、太早地抽象概括，更不要僅此一例就得出運(yùn)算律。要充分聯(lián)系熟悉的問題情境與數(shù)量關(guān)系，使學(xué)生在首次感受運(yùn)算律時(shí)能體會(huì)到它的合理性。2.舉出更多的例子。從第一個(gè)實(shí)例中看到的數(shù)學(xué)現(xiàn)象是不是普遍規(guī)律，還需要在類似的情況里驗(yàn)證。教學(xué)加法交換律，例1要學(xué)生“再寫幾個(gè)這樣的等式”，在眾多實(shí)例中證實(shí)“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”。教學(xué)加法結(jié)合律，例1讓學(xué)生分別計(jì)算（45+25）+16與45+（25+16）、（39+18）+22與39+（18+22），看看每組的兩道算式中間能不能填上等號(hào)，在較多的實(shí)例里體會(huì)“三個(gè)數(shù)相加，可以先加前兩個(gè)數(shù)，再加第三個(gè)數(shù)，也可以先加后兩個(gè)數(shù)，再加第一個(gè)數(shù)”。例3、例4、例5分別教學(xué)乘法交換律、結(jié)合律、分配律，教材都要求學(xué)生仿照第一個(gè)實(shí)例，“再寫幾個(gè)這樣的等式”，證實(shí)在有關(guān)乘法算式里都存在交換律、結(jié)合律、分配律，體驗(yàn)第一個(gè)實(shí)例中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象在類似的例子中同樣存在，具有普遍性。加法和乘法的交換律比較簡(jiǎn)單，學(xué)生尋找其他實(shí)例也比較容易。結(jié)合律和分配律比較復(fù)雜，例1教學(xué)加法結(jié)合律，教材給出兩組算式，讓學(xué)生通過計(jì)算證實(shí)同組的兩道算式得數(shù)相同，組成的等式與解決實(shí)際問題的等式有相同的數(shù)學(xué)特征。例4、5教學(xué)乘法結(jié)合律、分配律，教材要求學(xué)生列舉實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，引導(dǎo)他們把加法結(jié)合律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算律上來，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)水平的層次性。教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生寫出算式、算出得數(shù)、比較結(jié)果、形成等式。同組的兩道算式之間不能隨意寫出等號(hào)，必須分別計(jì)算兩道算式，比較得數(shù)以后才確定。這一步教學(xué)，從個(gè)案的等式關(guān)系到若干同類現(xiàn)象的等式關(guān)系，豐富了對(duì)運(yùn)算律的感性認(rèn)識(shí)，也體現(xiàn)了科學(xué)的認(rèn)知方法與態(tài)度。3.在豐富的案例中概括。教學(xué)每一條運(yùn)算律，教材都要聯(lián)系實(shí)際問題里以及繼續(xù)列舉的那些等式，說說“有什么發(fā)現(xiàn)”，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)眾多案例進(jìn)行概括，把同一類案例的共同特征提取出來，并用數(shù)學(xué)語言描述。與過去教材不同的是，新教材沒有用文字語言講述各條運(yùn)算律的內(nèi)容。這并不是不需要概括性的描述，而是把概括運(yùn)算律的活動(dòng)留給學(xué)生進(jìn)行，以避免機(jī)械接受、死記硬背。學(xué)生經(jīng)過自己的觀察、驗(yàn)證，再用自己的語言講述運(yùn)算律的內(nèi)容，才是他們對(duì)運(yùn)算律實(shí)實(shí)在在的理解。教學(xué)應(yīng)十分重視這個(gè)環(huán)節(jié)，給學(xué)生提供充分的思考、交流時(shí)間，這是鍛煉數(shù)學(xué)思維的極好時(shí)機(jī)。當(dāng)然，對(duì)學(xué)生的口頭表述不應(yīng)提出過高的要求，能說得基本正確、能說得基本清楚就可以了。概括要聯(lián)系等式，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)有計(jì)劃地進(jìn)行，逐步達(dá)到要求。4.用字母表示運(yùn)算律。用字母表示運(yùn)算律，可以視為建立關(guān)于運(yùn)算律的數(shù)學(xué)模型。它簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確、概括地表達(dá)了各條運(yùn)算律的本質(zhì)數(shù)學(xué)內(nèi)容，有助于學(xué)生記憶與交流。教學(xué)加法交換律，教材鼓勵(lì)學(xué)生“用自己喜歡的方法表示”?？梢韵瘛胺选笨ㄍ菢佑谜Z言敘述，可以像“蘑菇”卡通那樣用圖形組成的式子表示，也可以像“辣椒”卡通那樣用文字寫成的等式表示，還可以用其他方法表示。學(xué)生采用任何一種方法表示，都反映了“交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”的規(guī)律，都經(jīng)歷了建立數(shù)學(xué)模型的過程。用含有字母的等式表示運(yùn)算律，是人們已有的約定。教材指出，如果用字母表示加數(shù)，運(yùn)算律可以寫成字母表示的等式，體現(xiàn)了這種表示方法的優(yōu)越性，既能加強(qiáng)對(duì)運(yùn)算律的理解，又有利于培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)，發(fā)展符號(hào)感。用符號(hào)表示各條運(yùn)算律的教學(xué)過程不盡相同。加法交換律先用圖形表示，再用字母表示。因?yàn)閳D形比字母生動(dòng)、有趣，學(xué)生容易接受，也喜歡采用。而字母表示，則相當(dāng)簡(jiǎn)明、方便。其他各條運(yùn)算律，直接用含有字母的等式表示，跳過了用圖形或別的方法表示的環(huán)節(jié)，這是考慮到學(xué)生已經(jīng)具有用字母表示運(yùn)算律的體驗(yàn)與能力，不必在其他表示方法上花費(fèi)時(shí)間和精力了。5.根據(jù)結(jié)合律和分配律進(jìn)行逆向推理。加法、乘法的結(jié)合律以及乘法分配律都可以逆向理解與應(yīng)用，逆向理解能深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)算律，逆向應(yīng)用能提高計(jì)算效率。三個(gè)數(shù)相加（或相乘），先把后兩個(gè)數(shù)相加（乘），再加（乘）第一個(gè)數(shù)，可以改變成先把前兩個(gè)數(shù)相加（乘），再加（乘）第三個(gè)數(shù)。兩個(gè)乘式相加，如果有一個(gè)相同乘數(shù)，那么可以先把不同的乘數(shù)相加，再乘相同的乘數(shù)。教材把這些逆向推理安排在練習(xí)里教學(xué)。（二） 體驗(yàn)簡(jiǎn)便運(yùn)算，培養(yǎng)主動(dòng)應(yīng)用運(yùn)算律的意識(shí)應(yīng)用運(yùn)算律能使一些計(jì)算簡(jiǎn)便，這是計(jì)算能力的重要組成部分。采用簡(jiǎn)便運(yùn)算不應(yīng)是教材或教師對(duì)學(xué)生的規(guī)定，而應(yīng)是學(xué)生的主動(dòng)追求和自覺行為。教材只編排少量例題作為簡(jiǎn)便計(jì)算的引導(dǎo)，而在練習(xí)里提供了許多實(shí)施簡(jiǎn)便計(jì)算的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。關(guān)于應(yīng)用運(yùn)算律的簡(jiǎn)便計(jì)算，分四步教學(xué):第一步是滲透簡(jiǎn)便運(yùn)算。第二步是教學(xué)簡(jiǎn)便計(jì)算第三步是靈活進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。第四步是拓展簡(jiǎn)便運(yùn)算。（三） 應(yīng)用解決問題的策略，聯(lián)系乘法分配律，探索相遇問題的解法例7是相遇問題的一種情形：小明和小芳同時(shí)從家出發(fā)走向?qū)W校，經(jīng)過4分鐘兩人在校門口相遇。已知兩人的行走速度，求兩人行走的路程和。學(xué)生解決相遇問題，應(yīng)該了解相遇問題的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，理解其數(shù)量關(guān)系。教材在文字?jǐn)⑹鰧?shí)際問題以后，畫出小明和小芳同時(shí)從家出發(fā)走向?qū)W校的示意圖，并分別給出兩人行走的速度，幫助學(xué)生直觀了解相遇問題的運(yùn)動(dòng)方式與特點(diǎn)。要求學(xué)生按解決問題的一般步驟，先整理實(shí)際問題里的數(shù)學(xué)信息，準(zhǔn)確理解題意；再根據(jù)整理的條件與問題，分析數(shù)量關(guān)系，形成解決問題的思考，并采用兩種不同的解法解決問題；然后回顧解決問題的方法與過程，交流體會(huì)，認(rèn)識(shí)相遇問題的特點(diǎn)，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)。整理實(shí)際問題里的條件與問題，可以采用畫圖形式，也可以采用列表形式。在線段圖上可以把兩家的房屋、學(xué)校等簡(jiǎn)化成端點(diǎn)、小旗等符號(hào)，清楚地表示出小明從家到學(xué)校走了4個(gè)70米，小芳從家到學(xué)校走了4個(gè)60米。在表格里應(yīng)該分別列出小明和小芳各人行走的速度與時(shí)間。無論采用哪一種形式整理，都應(yīng)讓學(xué)生看著自己的線段圖或表格復(fù)述題意，說出相遇問題的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)兩人從兩地同時(shí)出發(fā)，相對(duì)而行，在途中相遇；說出相遇問題里的數(shù)量?jī)扇说男凶咚俣雀魇嵌嗌?，?jīng)過多少時(shí)間兩人相遇；說出相遇問題的所求問題兩人一共行走多少路程。分析數(shù)量關(guān)系應(yīng)充分利用線段圖和表格。從線段圖上可以很清楚地看出：求兩家相距多少米就是求兩人一共行走多少米，其中小明走了4個(gè)70米，他一共走了（704）米；小芳走了4個(gè)60米，她一共走了（604）米；兩人一共走了（704+604）米。在表格里不僅能夠看到兩家相距4個(gè)70米與4個(gè)60米的和，還能看出兩家相距4個(gè)130米（70米+60米）。教材呈現(xiàn)的“番茄”卡通的想法，在線段圖上容易形成，需要三步計(jì)算才能解決問題。“蘑菇”卡通的想法，在表格里容易想到，只需要兩步計(jì)算就能解決問題。例題要求學(xué)生“先用不同的方法解答，再想一想兩種解法有什么聯(lián)系”。這里