高三數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題人教

高三數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題 例題選講1 已知A、B、C三點(diǎn)在曲線y=上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1m4)，當(dāng)ABC的面積最大時，m等于 ( )A 3 B C D 2 設(shè)u,vR，且|u|,v0,則(uv)2+()2的最小值為A 4B 2 C 8D 2 ( )3 一輛卡車高3米，寬1 6米，欲通過拋物線形隧道，拱口寬恰好是拋物線的通徑長，若拱口寬為a米，則能使卡車通過的a的最小整數(shù)值是_ 4.已知拋物線y=x21上一定點(diǎn)B(1，0)和兩個動點(diǎn)P、Q，當(dāng)P在拋物線上運(yùn)動時，BPPQ，則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_5、以P（2，2）為圓心的圓與橢圓x2+2y2=m，交于A、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程。6、已知橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸相交于E，過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BCx軸，求證：直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)。7、設(shè)橢圓（ab0）上有點(diǎn)P（x1 ,y1），使OPA=900，求的取值范圍（A為長軸右端點(diǎn)）。8、如圖，已知OFQ的面積為S，且=1，（1） 若S2，求向量與的夾角的取值范圍； （2）設(shè)|=c（c2），S=c。若以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，當(dāng)|取得最小值時，求此橢圓的方程。9、已知動點(diǎn)P（x，y）與雙曲線的兩個焦點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值，并且cosF1PF2的最小值為，求P點(diǎn)的軌跡方程；若Q是x軸正半軸上的點(diǎn)，當(dāng)|PQ|的最小值為1時，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)。10.如圖，已知橢圓=1(2m5),過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序為A、B、C、D，設(shè)f(m)=|AB|CD|(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值 11.艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30且與B相距4千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動物，某時刻A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后B、C同時發(fā)現(xiàn)這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈 設(shè)艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中g(shù)為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？ 鞏固練習(xí)1.已知圓k過定點(diǎn)A(a,0)(a0),圓心k在拋物線C y2=2ax上運(yùn)動，MN為圓k在y軸上截得的弦 (1)試問MN的長是否隨圓心k的運(yùn)動而變化？(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，拋物線C的準(zhǔn)線與圓k有怎樣的位置關(guān)系？2 已知直線y=kx1與雙曲線x2y2=1的左支交于A、B兩點(diǎn)，若另一條直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2，0)及線段AB的中點(diǎn)Q，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍 3 已知拋物線C y2=4x (1)若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線l分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F連線中點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若M(m,0)是x軸上的一定點(diǎn)，Q是(1)所求軌跡上任一點(diǎn)，試問|MQ|有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由 4 如圖，為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且ODAB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過Q點(diǎn)，動點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動且保持|PA|+|PB|的值不變 (1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；(2)過D點(diǎn)的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè)=，求的取值范圍 參考答案1 解析 由題意知A(1，1)，B(m,),C(4,2) 直線AC所在方程為x3y+2=0,點(diǎn)B到該直線的距離為d= m(1,4),當(dāng)時，SABC有最大值，此時m= 答案 B2 解析 考慮式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求圓x2+y2=2上的點(diǎn)與雙曲線xy=9上的點(diǎn)的距離的最小值 答案 C3 解析 設(shè)橢圓方程為=1(ab0),以O(shè)A為直徑的圓 x2ax+y2=0,兩式聯(lián)立消y得x2ax+b2=0 即e2x2ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為a,由韋達(dá)定理x2=a,0x2a，即0aae1 答案 e14 解析 由題意可設(shè)拋物線方程為x2=ay,當(dāng)x=時，y=；當(dāng)x=0 8時，y= 由題意知3,即a212a2 560 解得a的最小整數(shù)為13 答案 135 解析 設(shè)P(t,t21)，Q(s,s21)BPPQ,=1,即t2+(s1)ts+1=0tR,必須有=(s1)2+4(s1)0 即s2+2s30,解得s3或s1 答案 (,31,+)5.解析：如圖所示，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）則x12+2y12=m，x22+2y22=m兩式作差：（*）又設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y） PMAB 所求軌跡方程為xy+2x-4y=0，軌跡在橢圓的內(nèi)部6.證明：法一：如圖所示，由題設(shè)得半焦距c=1，右焦點(diǎn)為F（1，0），右準(zhǔn)線方程為x=2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0），EF的中點(diǎn)為N（，0）若AB垂直于x軸則A（1，y1），B（1，-y1），C（2，-y1） AC的中點(diǎn)為N（，0），即AC過EF的中點(diǎn)N若AB不垂直于x軸，由AB過點(diǎn)F，且BCx軸知點(diǎn)B不在x軸上故直線AB的方程為y=k(x-1)，k0A（x1，y1），B（x2，y2）則C（2，y2）且x1、x2滿足二次方程即(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0由韋達(dá)定理得又x12=2-2y122，得x10故直線AN與CN的斜率分別為， 分子(x1-1)-(x2-1)(2x1-3)=3(x1+x2)-2x1x2-4=12k2-4(k2-1)-4(1+2k2)=0 k1-k2=0，即k1=k2，故A、C、N三點(diǎn)共線所以，直線AC經(jīng)過EF的中點(diǎn)N點(diǎn)撥：關(guān)鍵是用韋達(dá)定理推出k1=k2，這一步技巧性強(qiáng)，該方法希望能給同學(xué)以啟示。法二：如圖所示，設(shè)直線AC與x軸的交點(diǎn)為N，過A作ADl，D為垂足，因為F是橢圓的右焦點(diǎn)，l是右準(zhǔn)線，BCx軸，即BCl，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得 e（e是橢圓的離心率） ADFEBC ，即得 N為EF的中點(diǎn)，即直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)N點(diǎn)撥：利用橢圓的第二定義結(jié)合有關(guān)平面幾何性質(zhì)也是解決幾何量的常用方法，該題引用了e但與e的大小無關(guān)，即將題中的橢圓換成雙曲線、拋物線結(jié)果仍成立。7.解析：設(shè)P（x1，y1） OPA=900 O、P、A三點(diǎn)確定的圓方程為：x12+y12-ax1=0由消去y1得(b2-a2)x12+a3x1-a2b2=0 (b2-a2)x1+ab2(x1-a)=0 x1a ， x1=又x1a， ， 8.解析：（1）由已知得： tan=2S S2 1tan4則arctan4（2） 以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)橢圓方程為（ab0）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x1，y1），則=(x1-c，y1) OFQ的面積為 y1=又由=1得，x1=（c2） 當(dāng)且僅當(dāng)c=2時，|最小，此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）由此可得解得 橢圓方程為9、（2，0）或（4，0）10.命題意圖 本題主要考查利用解析幾何的知識建立函數(shù)關(guān)系式，并求其最值，體現(xiàn)了圓錐曲線與代數(shù)間的科間綜合 知識依托 直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，韋達(dá)定理，根的判別式，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值 錯解分析 在第(1)問中，要注意驗證當(dāng)2m5時，直線與橢圓恒有交點(diǎn) 技巧與方法 第(1)問中，若注意到xA,xD為一對相反數(shù)，則可迅速將|AB|CD|化簡 第(2)問，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常用方法 解 (1)設(shè)橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1橢圓的焦點(diǎn)為F1(1,0),F2(1,0) 故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準(zhǔn)線方程為x=,即x=m A(m,m+1),D(m,m+1)考慮方程組,消去y得 (m1)x2+m(x+1)2=m(m1)整理得 (2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)22m5,0恒成立，xB+xC= 又A、B、C、D都在直線y=x+1上|AB|=|xBxA|=(xBxA),|CD|=(xDxC)|AB|CD|=|xBxA+xDxC|=|(xB+xC)(xA+xD)|又xA=m,xD=m,xA+xD=0|AB|CD|=|xB+xC|=|= (2m5)故f(m)=，m2,5 (2)由f(m)=，可知f(m)= 又222，f(m)故f(m)的最大值為，此時m=2;f(m)的最小值為，此時m=5 11.命題意圖 考查圓錐曲線在實際問題中的應(yīng)用，及將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力 知識依托 線段垂直平分線的性質(zhì)，雙曲線的定義，兩點(diǎn)間的距離公式，斜拋運(yùn)動的曲線方程 錯解分析 答好本題，除要準(zhǔn)確地把握好點(diǎn)P的位置(既在線段BC的垂直平分線上，又在以A、B為焦點(diǎn)的拋物線上)，還應(yīng)對方位角的概念掌握清楚 技巧與方法 通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將實際問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題來求解 對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程 解 取AB所在直線為x軸，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 由題意可知，A、B、C艦的坐標(biāo)為(3，0)、(3，0)、(5，2) 由于B、C同時發(fā)現(xiàn)動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC| 于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為x3y+7=0 又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動物信號的時間差為4秒，知|PB|PA|=4，故知P在雙曲線=1的右支上 直線與雙曲線的交點(diǎn)為(8，5)，此即為動物P的位置，利用兩點(diǎn)間距離公式，可得|PA|=10 據(jù)已知兩點(diǎn)的斜率公式，得kPA=,所以直線PA的傾斜角為60,于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30 設(shè)發(fā)射炮彈的仰角是，初速度v0=，則,sin2=,仰角=30 鞏固練習(xí)命題意圖 本題考查圓錐曲線科內(nèi)綜合的知識及學(xué)生綜合、靈活處理問題的能力 知識依托 弦長公式，韋達(dá)定理，等差中項，絕對值不等式，一元二次不等式等知識 錯解分析 在判斷d與R的關(guān)系時，x0的范圍是學(xué)生容易忽略的 技巧與方法 對第(2)問，需將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為判斷d=x0+與R=的大小 解 (1)設(shè)圓心k(x0,y0),且y02=2ax0,圓k的半徑R=|AK|=|MN|=2=2a(定值)弦MN的長不隨圓心k的運(yùn)動而變化 (2)設(shè)M(0,y1)、N(0,y2)在圓k (xx0)2+(yy0)2=x02+a2中，令x=0，得y22y0y+y02a2=0，y1y2=y02a2|OA|是|OM|與|ON|的等差中項 |OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a 又|MN|=|y1y2|=2a， |y1|+|y2|=|y1y2|y1y20，因此y02a20,即2ax0a20 0x0 圓心k到拋物線準(zhǔn)線距離d=x0+a,而圓k半徑R=a 且上兩式不能同時取等號，故圓k必與準(zhǔn)線相交2. 解 設(shè)A(x1,y1）,B(x2,y2) 由,得(1k2）x2+2kx2=0,又直線AB與雙曲線左支交于A、B兩點(diǎn)，故有解得k13. 解 由拋物線y2=4x,得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l x=1 (1)設(shè)P(x,y)，則B(2x1,2y),橢圓中心O,則|FO|BF|=e,又設(shè)點(diǎn)B到l的距離為d,則|BF|d=e,|FO|BF|=|BF|d,即(2x2)2+(2y)2=2x(2x2),化簡得P點(diǎn)軌跡方程為y2=x1(x1) (2)設(shè)Q(x,y),則|MQ|=()當(dāng)m1,即m時，函數(shù)t=x(m)2+m在(1，+)上遞增，故t無最小值，亦即|MQ|無最小值 ()當(dāng)m1,即m時，函數(shù)t=x2(m)2+m在x=m處有最小值m,|MQ|min= 4. 解 (1)以AB、OD所在直線分別為x軸、