隨機(jī)變量的分布函數(shù) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講 柯大觀電話 86689930 辦 手機(jī)號 674706Email kdg 辦公地點(diǎn) 溫州醫(yī)學(xué)院茶山校區(qū)4A417公共郵箱 kdgpublic 公共郵箱密碼 09shenggong 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 設(shè)X為一隨機(jī)變量 則對任意實(shí)數(shù)x X x 是一個隨機(jī)事件 稱 為隨機(jī)變量X的分布函數(shù) F x 是一個普通的函數(shù) DistributionFunction 分布函數(shù)的定義 分布函數(shù)的性質(zhì) F x 是單調(diào)不減函數(shù) 0 F x 1 且 F x 處處右連續(xù) 蒲豐投針問題BuffonNeedleproblem 1777年的一天 法國數(shù)學(xué)家蒲豐 ComtedeBuffon 1707 1788 把一些朋友請到家里 他事先在一張大白紙上畫好了一條條等距離的平行線 又拿出許多質(zhì)量均勻 長度恰好是平行線間距的一半的小針 請朋友們把針一枚一枚隨意投到白紙上 蒲豐則在一旁觀察每一枚投出的針是否與平行線相交 計(jì)數(shù)結(jié)果是 共投了2212枚 其中704枚與平行線相交 于是 蒲豐計(jì)算了這兩數(shù)之商 2212 704 3 142 然后宣布 這就是圓周率 的近似值 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義對于隨機(jī)變量 若存在一個非負(fù)可積函數(shù) 使對任意的 都有 1 成立 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量 稱為的概率密度函數(shù) 簡稱密度函數(shù)或概率密度 Probabilitydensityfunctionp d f 密度函數(shù)在區(qū)間上的積分 隨機(jī)變量在區(qū)間上取值的概率 概率密度函數(shù)的性質(zhì) 非負(fù)性 規(guī)范性 密度函數(shù)和分布函數(shù)的關(guān)系 積分關(guān)系 導(dǎo)數(shù)關(guān)系 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在實(shí)數(shù)域內(nèi)處處連續(xù) P X a 0 P a X b P a X b P a X b P a X b X取值在某區(qū)間的概率等于密度函數(shù)在此區(qū)間上的定積分 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì) 因此 連續(xù)型隨機(jī)變量取任意指定實(shí)數(shù)值a的概率為0 解Step1 利用密度函數(shù)的性質(zhì)求出a 例 已知密度函數(shù)求概率 Step2 密度函數(shù)在區(qū)間的積分得到此區(qū)間的概率 例 已知分布函數(shù)求密度函數(shù) 2 X的密度函數(shù) 2 密度函數(shù)為 解 解 當(dāng)x 1時 當(dāng)1 x 5時 例 已知密度函數(shù)求分布函數(shù) 已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 求X的分布函數(shù) 當(dāng)x 5時 所以 練一練 已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 2 求X的分布函數(shù) 練一練 2 求X的密度函數(shù) 均勻分布 若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 則稱X在區(qū)間 a b 上服從均勻分布 記為X U a b UniformDistribution 定義 分布函數(shù) X 等可能 地取區(qū)間 a b 中的值 這里的 等可能 理解為 X落在區(qū)間 a b 中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的 或者說它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān) 意義 102電車每5分鐘發(fā)一班 在任一時刻某一乘客到了車站 求乘客候車時間不超過2分鐘的概率 設(shè)隨機(jī)變量X為候車時間 則X服從 0 5 上的均勻分布 解 例 X U 0 5 幾何概型 一維 思考 設(shè) 在 1 5 上服從均勻分布 求方程 有實(shí)根的概率 解方程有實(shí)數(shù)根 即 而的密度函數(shù)為 所求概率為 指數(shù)分布 若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 ExponentialDistribution 定義 分布函數(shù) 則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布 例 設(shè)X服從參數(shù)為3的指數(shù)分布 求它的密度函數(shù) 及 和 解 X的概率密度 例如E 抽樣調(diào)查15 18歲青少年的身高X與體重Y 以研究當(dāng)前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況 前面我們討論的是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中單獨(dú)的一個隨機(jī)變量 又稱為一維隨機(jī)變量 然而在許多實(shí)際問題中 常常需要同時研究一個試驗(yàn)中的兩個甚至更多個隨機(jī)變量 不過此時我們需要研究的不僅僅是X及Y各自的性質(zhì) 更需要了解這兩個隨機(jī)變量的相互依賴和制約關(guān)系 因此 我們將二者作為一個整體來進(jìn)行研究 記為 X Y 稱為二維隨機(jī)變 向 量 設(shè)X Y為定義在同一樣本空間 上的隨機(jī)變量 則稱向量 X Y 為 上的一個二維隨機(jī)變量 定義 二維隨機(jī)變量 二維隨機(jī)變量 X Y 的取值可看作平面上的點(diǎn) 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) 若 X Y 是隨機(jī)變量 對于任意的實(shí)數(shù)x y 定義 稱為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) 性質(zhì) 3 P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1 聯(lián)合分布函數(shù)表示矩形域概率 P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1 二維離散型隨機(jī)變量 若二維隨機(jī)變量 X Y 的所有可能取值只有限對或可列對 則稱 X Y 為二維離散型隨機(jī)變量 如何反映 X Y 的取值規(guī)律呢 定義 研究問題 聯(lián)想一維離散型隨機(jī)變量的分布律 X Y 的聯(lián)合概率分布 分布律 表達(dá)式形式 表格形式 常見形式 性質(zhì) 的可能取值為 1 2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 例 解 若存在非負(fù)函數(shù)f x y 使對任意實(shí)數(shù)x y 二元隨機(jī)變量 X Y 的分布函數(shù)可表示成如下形式 則稱 X Y 是二元連續(xù)型隨機(jī)變量 f x y 稱為二元隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合概率密度函數(shù) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度 定義 聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì) 非負(fù)性 幾何解釋 隨機(jī)事件的概率 曲頂柱體的體積 設(shè)二維隨機(jī)變量 的概率密度為 1 確定常數(shù)k 4 求 例 1 所以 解 2 當(dāng)時 當(dāng)時 所以 3 或解 4 解 續(xù)解 x y 3 1 解答 蒲豐投針問題求解 平面上畫有距離為a的一些平行線 向平面上任意投一根長為l l a 的針 試求針與平行線相交的概率P 解如圖一所示 以M表示針落