函數(shù)方程思想的應用舉例

函數(shù)方程思想的應用舉例函數(shù)方程思想的應用舉例 函數(shù)方程思想是中學數(shù)學中最基本 最重要的數(shù)學思想 也是歷年高考的重點 函數(shù)的思想就是用運動和變化的觀點 分析和研究數(shù)學問題 具體來說 即先構(gòu)造函數(shù) 把給定問題轉(zhuǎn) 化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)性 奇偶性 周期性 圖象的交點個數(shù) 最值 極值等 問題 研究后 得出所需要的結(jié)論 函數(shù)方程思想就是將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組問題 通過解方程 或方程組 或者運用方程的性質(zhì)來分析 轉(zhuǎn)化問題 使問題得以解決 函數(shù)與方程思想是密切相關(guān)的 函數(shù) 當時 就轉(zhuǎn)化為方程或看作方程 而方程的解是函 數(shù)圖象與 x 軸交點的橫坐標 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化 對函數(shù) 當時 就是不等式 而求的解則可比較函數(shù)圖象位置而得到 一 構(gòu)造函數(shù)思想 例 1 證明不等式 分析 由所證不等式很容易想到比商法 但 a b 的正負無法確定 即使分類后 當 a b 都為正數(shù)時 其商也無法與 1 比大小 思路受阻 再觀察不等式兩邊形式類似 稍加變形即為 即 可聯(lián)想到函數(shù) 就只需證了 利用函數(shù)單調(diào)性 問題得以巧妙解決 解 令 在上 則在上為增函數(shù) 則 即 所以 點評 應用函數(shù)性質(zhì)證明不等式 關(guān)鍵在于構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù) 且能方便地判斷函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 例 2 已知 對于值域內(nèi)的所有實數(shù) m 不等式 恒成立 求 x 的范圍 分析 我們習慣上把 x 當作自變量 構(gòu)造函數(shù) 于是問題轉(zhuǎn)化為 當 時 恒成立 求 x 范圍 但要解決這個問題要用到二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原 理 相當復雜 而如果把 m 看作自變量 x 視為參數(shù) 原不等式化為 構(gòu)造函數(shù) 為 m 的一次函數(shù) 在上恒大于 0 這樣就非常簡單 解 因為 所以 即 原不等式可化為恒成立 又 所以 令為 m 的一次函數(shù) 問題轉(zhuǎn)化為在上恒大于 0 的問題 則只需 解得或 即 點評 注意到本題有兩個變量 x m 且 x 本來為主元 但為了解題方便 把原不等式看為 m 的一次函數(shù) 大大簡化了運算 在多字母的關(guān)系式中 應對參數(shù)的策略常常是 反客為主 變更主元 重新構(gòu)造函 數(shù) 二 構(gòu)造方程思想 例 3 已知 則有 A B C D 分析 原式變?yōu)?則是實系數(shù)一元二次方程的一個實根 故 故選 C 點評 通過簡單轉(zhuǎn)化 敏銳地抓住了數(shù)與式的特點 運用方程思想使問題迎刃而解 例 4 已知 且 則 a 的范圍為 解 由平方得 又 則 由此得到啟示與都可用 a 表示 故 b c 是關(guān)于 x 的一元二次方程的兩根 故 解得 點評 當問題出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時 是構(gòu)造一元二次方程的明顯信號 構(gòu)造方程后再用方程特點可 使問題巧妙解決 三 函數(shù)方程統(tǒng)一思想 例 5 已知三次方程恰有三個相異實根 求實數(shù) m 的范圍方程的根 即函 數(shù)圖象與 x 軸交點橫坐標 由題意函數(shù)應與 x 軸有三個不同產(chǎn)點 因三 次曲線連續(xù)且光滑 故只需函數(shù)極大值與極小值異號即可 解 令 則 令 得 為使與 x 軸交于不同的三個點 只須 即 點評 方程函數(shù)互相轉(zhuǎn)化 為得到方程根的情況 用函數(shù)圖象特點 特別用導數(shù)法求得極值 點 用限制極值的方法使圖象穿 x 軸三次 問題解決 利