45[1].專項復(fù)習(xí)（直角三角形、圓）

專項復(fù)習(xí) 直角三角形 圓 專項復(fù)習(xí) 直角三角形 圓 例題精選例題精選 例例 1 已知的四個三角函數(shù)值 ABCCABBCA中 求 9064 解解 C90 ABBCAC AC AC AA tgActgA 222 222 6420 2 5 4 6 2 3 2 5 6 5 3 4 2 5 2 5 5 2 5 4 5 2 sin cos 例例 2 已知 在 ABCC中 90 解答下列問題 1 化簡 12 sincosAA 2 如果tgBA 2 sin 求的值 3 如果 11 5 sin cos AtgA A 求的值 解解 1 122 22 sincossincossincosAAAAAA sincos sincos sincos cossin AAAA AAA AAA 2 4590 045 小結(jié)小結(jié) 是個很重要的關(guān)系 它還可以寫成sincos 22 1AA sincos 22 1AA 等 應(yīng)用它有利于化簡或運算或證明 cossin 22 1AA 2 tgB b a 2 設(shè) 則 bk ak cabkkk A a c k k 2 23 3 1 3 3 3 2222 sin 3 tgA a b a c b c A A sin cos 1111 5 sinsin cos sin cos sinAtgAA A A A A 15 15 1 15 11 15 1 125 1 2624 12 13 2 cossin coscos coscoscos coscos cos cos cos cos AA AA AAA AA AA A A 例例 3 在 ABCCabcABC中 分別為 的對邊 90 1 已知cSab 3 59 求 2 已知tgAB 52 sin 斜邊上的中線為 求 解解 1 Sab 9 1 2 9 ab ab 181 45 22 又 ababab ab abab 222 2453681 91 12 3663 由與 或 2 斜邊上的中線為2 c4 ab a b a b B b c 22 16 5 2 30 3 2 6 3 2 6 3 4 6 6 解得 sin 例例 4 在 ABCABBCABBD中 求 的值 30452 解解 過CCD ABD作于 在中 Rt DBC BBC B CD BC CDBCB BDCD Rt ACD ACDctgA AD CD ADCDctgA ABBD 452 2 2 2 2 2 302 236 622 并且 在中 sin sin 例例 5 在求 ABCCDBCctgBtg ADCBD中 是上一點 902 4 3 5 AD 解解 在中 Rt ACD tg ADC AC CD ACxCDx Rt ACBctgB BC AC BCACx BDBCCDxxx BDxx ACCD AD 4 3 43 2 28 835 5551 43 5 設(shè) 又在中 例例 6 已知 如圖 在上的三分之一點 ABCAABACDAC中 是 90 求 的正切值及它的正弦值 DBC 分析分析 因為所要求的是 的三角函數(shù)值 所以需把 放入一個 DBC DBC 直角三角形中 自然想到過 D 點作而題目DE BCE 于 的已知條件中沒有給出線段長度的任何具體數(shù)據(jù) 這種 情況我們常常考慮運用設(shè)參數(shù) 或叫輔助元 的方法 使之量化 完成量與量之間的溝通 解解 過 點作于 點DDE BCE 設(shè) 是的三分之一點 ABACa DAC ADaDCa 3 2 在中 在中 Rt BAD BDABADaaa Rt DECC 2222 310 45 DEECDCa Rt ABCBCABa BEaaa tg DBC DE BE a a DBC DE BD a a 2 2 2 23 2 3 222 2 2 2 2 1 2 2 10 5 5 在中 sin 例例 7 一只船以每小時 30 海里的速度向西南方向航行 上午 9 時在 M 處發(fā)現(xiàn)船 的南偏西方向有一燈塔 P 上午 11 時到這座燈塔正西30 的 N 處 求這時船與燈塔的距離 解解 延長交于NPMAD 在中 在中 Rt NMDNMD MN MDNDMN Rt PMDPMD 45 30260 2 2 30 2 30 PDMDtg PMDtg NPNDPD 30 23030 2 3 3 10 6 30 210 6 答答 這時船與燈塔的距離為 海里 30 210 6 例例 8 已知 如圖 ABCBABDBC中是 45 5 6 2 上一點 的度數(shù)及 AC 的長 AD 5 CD 3 求 ADC 解解 過 作于AAH BCH 在中 Rt ABH AHBHAB 2 2 5 3 2 在中 Rt ADH sin ADH AH AD 5 3 2 5 3 2 ADH60 DH CDHC Rt AHC ACAHHC 5 2 3 1 2 75 4 1 4 19 22 又 在中 小結(jié)小結(jié) 先將所求的角和邊放入直角三角形 然后找可解直角三角形 通過 可解直角三角形的求解為所要求的邊或角提供條件 例例 9 如圖 且 ABCBACBDBC中 是上一點 30120 ADC 458 若求長CDBD 解法解法 1 過 作交延長線于AAH BCBCH 設(shè) 在中 又在中 在中 CHxRt ACH ACBACH AHx Rt ADHADH AHDH DC xx x AHDH Rt ABHB 12060 3 45 8 38 431 4 331124 3 30 BHAH BDBHDH 312 312 12 31284 34 8 3 解法解法 2 由解法 1求出后CHx 431 ACCH ACHBBAC BBAC ACBC BDBCCD 2831 831 8 3888 3 由 可得 小結(jié)小結(jié) 在解直角三角形的有關(guān)題目時 直接求解不可解時注意利用方程或 方程組的知識 例例 10 在以 BC 為底邊的等腰三角形 ABC 中 其高 AD BE 的長分別為 20 和 24 M 為 AD 的中點 連結(jié) BM 并延長交 AC 于 F 求 BF 的長 解解 過作交于MMNBCACN 設(shè) 又在中 由 解出 BCx ACABy BCADACBE xy Rt ADB ABBDAD y x xy BCBDDC 1 2 1 2 20241 2 202 123025 3015 222 2 2 2 在中 Rt BDM BMBDMD MF BF MN BC BFBM BF BF BF BF 2222 15105 13 1 4 1 4 5 131 4 20 3 13 例例 11 在 已知關(guān)于 ABCABCabc中 的對邊分別為 x的方程 如果 是這個方程的兩個根 xcxcc 2 448044 2 ab 求證 若在這個直角三角形中又有求三邊的長 CRt 259aAcsin 解解 ab 是方程的兩個根 abcabc ABC abababcc cccc CRtRt ABC A a c 448 242 48 816816 2222 22 sin 在中 又在中 而由 可得 設(shè)則 259 9 25 9 25 9 25 3 5 3504 2 2 aAcA c a a c c a a c a c ak ck kbk sinsin 又 abckkk 43454 kabc26810 例例 12 如圖 已知 P 為直徑是 2 的圓 O 內(nèi)的一個定點 且 PO 線段 AB 1 2 2 為過點 P 的任一弦 且它所對的圓心角再過 A 和 B 作圓 O 的切線 AOB2 交于 C 設(shè) P 到 AC BC 距離分別為 a b 求證 的兩個根 abxABx 是方程 220 22 sin sin 證明證明 弦切角等于所夾弧對的圓周角 又圓心角 AOB2 CABCBA aPAbPB abPAPBAB sin sin sinsinsin abPAPB PAPB PODE PAPBPDPE ab 過 點作圓 的直徑 則 sinsin sin sin 2 2 1 1 2 21 1 2 2 1 2 1 2 abxABx 為方程 的兩個根220 22 sin sin 例例 13 已知 的一個內(nèi)角 關(guān)于 的一元二次方程 AABC是 x 有兩個相等的實數(shù)根 且這個方程的根恰好是x tg A x 2 2 69 30 又 ABCbcbc的兩邊 與 的和 其中 S ABC 3 3 2 求 1 的度數(shù) A 2 的值 bc 分析分析 因為方程有兩個相等的實數(shù)根 所以 進(jìn)x tg A x 2 2 69 30 0 而可求出 A 的度數(shù) 再利用題目中的已知條件 列出 的等量關(guān)系 從而bc和 解決問題 解解 1 方程有兩個相等實根x tg A x 2 2 69 30 649 3 2 0 2 3 3 1 2 3060 2 tg A tg A AA 2 方程的二根為 3 3 69 303 3 2 12 xxxx 依題意bc 3 3 SbcA ABC 1 2 sin 又 S ABC 3 3 2 1 2 3 3 2 60 3 2 6 3 3 6 00 bcA A A bc bc bc bc bc sin sin bc2 33 專項訓(xùn)練專項訓(xùn)練 一 填空題 一 填空題 1 已知 120 cos xx則 2 確定下列各式的符號 tgtg5070 coscos3590 3 化簡 tg ctg 55 35 0 cos 4 如果直角三角形斜邊長為 4 一條直角邊的長為 則斜邊上的高為2 3 二 選擇題 二 選擇題 1 當(dāng)?shù)姆秶?AAA為銳角 且時 1 2 3 2 cos A B 030 A3060 A C D 6090 A3045 A 2 在的值為 ABCABCctgBtgA中 則 1 2 3 A B 1C D 3 1 3 1 3 3 在 10 則是S A 3B 300C D 150 50 3 4 Rt ABCCBa b c 中 則 90 2 3 cos A B 25 3 1 2 3 C D 123 253 5 已知 斜邊 AB 的坡度為 1 2 若則Rt ABCC 中 90BCAC BC CA AB 等于 A 1 2 B 1 253 C 1 D 1 2 535 6 在的值為Rt ABCCAAB 中 則 9030 sincos A 1B C D 13 2 12 2 1 4 7 在 則Rt ABCCACBCDACCBD 中 點 在上 9030 AD DC A B C D 不能確定3 2 2 31 三 計算 三 計算 1 ctg 45cos 45sin 45cos 222 30 2 ctgtgctg226068 3555 22 sinsin 3 coscostgctg4530302301 2 4 sin cos sin 50 40 145 3060 2 22 ctg tg 四 在銳角三角形 的長 ABCABACBD ACAD CDBCAB中 求 2 315 五 已知 如圖 ABCCBADC中 904560 的長 BDAC 10 求 六 的兩個根分別是一個直角三mmxmx為何值時 方程 1535120 2 角形中兩個銳角的正弦值 答案答案 一 一 1 2 3 04 45 3 二 二 1 B2 C3 D4 A5 A 6 A7 C 三 三 1 02 3 4 3 3 2 19 5 四 5 2 2 五 AC 155 3 六 m 10 專項復(fù)習(xí) 圓 專項復(fù)習(xí) 圓 例題精選例題精選 例例 1 如圖 已知 O 中 M N 分別是兩條弦 AB CD 的中點 且 AB CD 求證 AMNCNM 分析 分析 要證 由已知 M N 分別是弦 AMNCNM AB CD 的中點 連結(jié) OM ON 根據(jù)垂徑定理得 只要證得即可 因為OM ABON CD OMNONM 中 所以證明 由已知 AB CD 可以證得 OMNONMMON和在 OMON OM ON 證明 證明 連結(jié) OM ON 分別為 AB CD 的中點 M N OM ABON CDAMOCNO 90 ABCDOMON OMNONMAMNCNM 例例 2 如圖 已知 AB CD 為 O 的弦 且 AB CDMOH ADH 于 于 求證 OHBC 1 2 分析 分析 觀察圖形發(fā)現(xiàn) OH 與 BC 之間沒有直接聯(lián)系 這就需要找到一個相關(guān)聯(lián)的量 使它與 OH BC 聯(lián)系起 來 由可得 AH DH 連結(jié) AO 并延長交 O 于 E 得到直徑 AOE 再連OH AD 結(jié) DE 則 只要證明 DE BC 問題就得以解決了 DE BC 是 OOHDE 1 2 中的兩條弦 故證明 只需證明 由圖形可知 DAECAB 又 所以 ACDEAB CDAD DE DAECAB 證明 證明 連結(jié) AO 并延長交 O 于 E 連結(jié) DE AC 為 AD 中點 OH ADH 又 O 為 AE 中點 故OHDE 1 2 AEADE為直徑 90 AB CDCMA ACDECABEAD 又 90 BC DE OHBC 1 2 例例 3 如圖 已知 在 AE 平分Rt ABCACBCD ABD 中 于 90 交 BC 于 E 過 C E D 三點作圓交 AE BAC 于 G CD AE 交于 F 點 求證 AG FG 分析 分析 要證明 AG FG 從圖形可知 即證 明 G 是 AF 的中點 又因為是直角 所 CDA 以 AF 就是斜邊 我們利用 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 就可 以把 AG FG 兩條線段聯(lián)系起來 連結(jié) DG 只要證明 DG AG FG 問題就得 以解決 但要證明 DG AG 則要證明 要證明 DG FG 則要 DAGGDA 證明 在圓中角等的條件比較豐富 所以在證明角等時 首先 GDFDFG 要認(rèn)清所證的角是圓周角 圓心角 還是圓內(nèi)接四邊形的外角 這樣就可利用 有關(guān)知識證明出相等的角 但如果所要證的角不是以上提到的這些角 就找與 證明的角相關(guān)的角 從這些相關(guān)的角中發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系 從而證得題目要證的相 等的角 證明 證明 連結(jié) DG BCDDGE ACBCD AB BCDBAC BACDGE EGDGADGDA BACGADGDA AEBAC DAEBAC 90 1 2 則 平分 DAGGDA AGGD CD ABDFABAC ADGGDF 1 2 90 90 GDFDFG GDFG AGFG 例例 4 如圖 已知 內(nèi)接于 ABC O PA 切 O 于 A P 在 BC 的延長線 上 D 為 AB 的中點 PD 交 AC 于 E 求證 PA PC AE EC 2 2 分析 分析 題目要證明線段的平方比等于兩條線段之比 首先要結(jié)合已知圖形 進(jìn)行分析 PA 切 O 于 A PA2 PC PB 這樣可以把化簡為 所以 PA PC 2 2 PB PC 只要證明此問題就可以得到解決 要證我們發(fā)現(xiàn)這四條線 PB PC AE EC PB PC AE EC 段 分別在兩條線段上 這時添加輔助線 尋求等比代換 便問題得以證明 證明 證明 PAOAPCBO切 于 是 的割線 PAPCPB PA PC PCPB PC PB PC CFABPDF PB PC BD CF AE EC AD CF DABADBD PB PC AE EC PA PC AE EC 2 2 22 2 2 作交于 則 為的中點 例例 5 如圖 已知內(nèi)接于 O 的平分線交 BC 于 D 交 O ABC BAC 于 E 求證 ABACADBDDC 2 分析 分析 從求證的結(jié)論形式上看 等式右邊的形式較復(fù)雜 首先把它簡化 從圖形可知 根據(jù)相交弦定理得 BD DC AD DE 而 AD2 BD DC AD2 AD DE AD AD DE AD AE 這樣 就可以把較復(fù)雜的形式變形為兩條線段的乘積 從而使題目中要證的結(jié)論轉(zhuǎn)化 為證明 AB AC AD AE 證明 證明 在 中 相交于OAEBCD BDDCADDE ADBDDCADADDE 22 ADADDE ADAE 連結(jié) 平分CEAEBAC BADEAC 又 BE ABDAEC AB AE AD AC ABACADAE 即 ABACADBDDC 2 例例 6 如圖 已知分別為 O 的割線和PBAPC 切線 CAP45 PBC60 求 SS APCBPC 分析 分析 要求兩個三角形的面積之比 由已知和圖 形可知 我們可以求這兩個三角形相比的平方 從而求得面積的 APCBPC 比 由題目本身所給的條件發(fā)現(xiàn) 已知中給的條件是 CAP45 而我們所要的是邊的關(guān)系 因此就應(yīng)該把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān) PBC60 系 因為已知給的角都是特殊角 故只需添加高線即可構(gòu)成特殊的直角三角形 找到邊與邊之間的關(guān)系 使問題得到解決 解 解 過 C 作CF APFBFa 于設(shè) 在中 在中 切 于 Rt BFC CBF BC a aCFatga Rt AFC CAF AC CF A a a PCOC PCBA PP 60 60 2603 45 3 2 2 6 cos sin PACPCB S S AC BC a a SS PAC PCB PACPCB 即 2 2 2 6 4 3 2 32 例例 7 如圖 已知內(nèi)接于 O P 為 O 外一 ABC 點 作 使 PD 交 O 于 D E 兩點并與 CPDA AB AC 分別交于 M N 1 求證 DNNEMNNP 2 若 PD CB 求證 PC 是 O 的切線 分析 分析 1 要證 發(fā)現(xiàn)這四條線段都在同一條線段DNNEMNNP PD 上 因此要通過相交弦定理使 這樣只要證明 DNNEANNC 即可 故證明 ANNCMNNP AMN PNC 2 要證明 PC 是 O 的切線 連結(jié) CO 證明這就要在圓中出現(xiàn)直CO PC 角 從而找到與直角的關(guān)系 根據(jù)直徑所對的圓周角是直角 延長 CO OCP 到 F 連結(jié) DB 則可證明從而證得 PC 是 O 的切線 FBCPCO90 證明 證明 1 在 O 中 DEACN DNNEANNC APANMPNC AMNPNC MN CN AN NP MNNPANCN DNNEMNNP 相交于 即 故 2 連結(jié) OC 并延長交 O 于 F 連 BF CF FBC DPBCABCAMN AMNPCNAMNPCN ABCPCN FBAFCA FBAABCPCNFCA FBCFCP FCP OC 為直徑 又 即 為半徑 90 90 O 的切線 PC是 例例 8 如圖 四邊形 ABCD 內(nèi)接于半圓 O AB 為直徑 過點 D 的切線交 BC 的延長線于點 E 若 O 的半徑為 求 BC 的長及BE DEADDC 40 50 3 的值 tg CDB 分析 分析 要求 BC 觀察圖形發(fā)現(xiàn) BC 是半圓 O 的割線 ECB 在 O 內(nèi)的部分 又 DE 切半圓 O 于 D 可以考慮利用切割線定理來求得 BC 首先根據(jù)題目的條 件求得 DC CE 再利用勾股定理求得 DE 要求的值 可以構(gòu)造一個直角三角形 使其中的一個銳角等于tg CDB 連結(jié) AC 因為 AB 是直徑 所以是直角 可得 CDB ACB 所以只要求得即可 CABCDBtg CAB 證明 證明 連結(jié) AC ABACB BE CEDEC 為直徑 90 90 DECACBDEAC EDCDCA 則 DEOD切半圓 于 EDCDAC DCADACADDC則 ADDCDCAD ABCD 4020 四邊形內(nèi)接半圓 ECDDAB DECADB DECBDA CE AD DC AB 的半徑是 為直徑 在中 切半圓 于 是割線 在中 OAB AB CE DCAD AB Rt DEC DEDCCE DEODECB DEECEB EB DE EC BCEBEC Rt ABC 50 3 100 3 2020 100 3 12 201216 16 12 64 3 64 3 12 28 3 2222 2 22 ACABBC CABCDB tg CAB BC AC BCtg CDB 22 22 100 3 28 3 32 28 3 32 7 24 28 3 7 24 的長為 的值為 專項訓(xùn)練專項訓(xùn)練 一 填空 一 填空 1 已知的圓心角所對的弦長為 3cm 那么所在圓的直徑為 60 2 已知 O 中 D 是 AB 的中點 E 是 AC 的中點 則 ODE30 CED 3 已知 C 點是半徑為 OB 的 O 延長線上的一點 CA 切 O 于 A 于 D AD 6 AC 10 則 O 的半徑為 AD OC 4 如圖弦 AB 的長等于 O 的半徑 C 是上任意一點 則 sinC 5 O 的割線 PAB 交 O 于 A B 兩點 PA 1 AB 2 PO 3 則 O 的半徑 等于 6 如圖 PA PB CE 分別切 O 于 A B D 三 點 PA PB 5 則的周長為