七上第一章走進(jìn)數(shù)學(xué)世界教案同步輔導(dǎo)教材（第2講）

1 走走進(jìn)進(jìn)數(shù)學(xué)世界數(shù)學(xué)世界 第第 2 2 講講 引言引言 中學(xué)生朋友們 祝賀你們跨進(jìn)了中學(xué)校園 數(shù)學(xué)世界歡迎你 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)將結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容 從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā) 創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情 境 引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐 思考 探索 交流去獲取知識(shí) 建立數(shù)學(xué)模型 形成解題技能 發(fā)展數(shù)學(xué)思維 掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí) 發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)與能力 我們將在輕松 愉快的氣氛中與數(shù)學(xué)交朋友 學(xué)會(huì)去分析生活中的有趣的數(shù)學(xué)問題 了解宇宙之大 粒子之微 驚嘆火箭之速 化工之巧 探索生物 之謎 地球之變 讓我們走進(jìn)數(shù)學(xué)世界去了解數(shù)學(xué)的奧秘 誠(chéng)然我們從小學(xué)已經(jīng)開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科 知道了整數(shù)和分?jǐn)?shù) 學(xué)會(huì)了加 減 乘 除 認(rèn)識(shí)了三角形 長(zhǎng)方形 正方形 圓以及長(zhǎng)方體 正方體 圓柱體和球體等圖形 數(shù)學(xué)無處不在 數(shù)學(xué)伴我們成長(zhǎng) 下面我們準(zhǔn)備了十個(gè)例題 考查一下你的思維 是不是很聰明 典型例典型例題題分析分析 例 1 李白買酒歌 李白街上走 提壺去買酒 遇店加一倍 見花喝一斗 三遇店和花 喝光壺中酒 試問壺中原有多少酒 算術(shù)頭腦分析 倒推法 喝光壺中酒第三次見花前應(yīng)有酒 1 斗第三次遇店前應(yīng)有酒斗第 2 1 二次見花前應(yīng)有酒 1 斗第二次遇店前應(yīng)有酒 1 斗第一次見花前應(yīng)有酒 2 1 2 1 2 1 1 1 斗第一次遇店前應(yīng)有酒 1 1 斗 此即壺里原有的酒 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 解 1 1 1 斗 答 略 2 1 2 1 2 1 8 7 說明 算術(shù)方法注重的是結(jié)論 運(yùn)用例推的思維方法就可以解決李白買酒的數(shù)學(xué)問題 其實(shí)我們也有一 些聰明的孩子已經(jīng)掌握了代數(shù)的方法 代數(shù)頭腦分析 代數(shù)方法是用字母來代替數(shù) 順著讀題的順序把每次買酒的數(shù)量用一個(gè)含字母的式子來 表示 下面我們具體用分析如下 設(shè)壺中原有酒 x 斗第一次遇店后 壺中酒變?yōu)?2x 斗第一次見 花后 壺中酒變?yōu)?2x 1 斗第二次遇店后 壺中酒為 2 2x 1 斗第二次見花后 壺中酒變?yōu)?2 2x 1 1 4x 3 斗第三次遇店后為 2 4x 3 斗第三次見花后為 2 4x 3 1 0 解 2 8x 7 0 得斗 答 略 8 7 x 例 2 我國(guó)四大發(fā)明之一的黑火藥 它所用的原料是硫磺 硝酸鉀和木炭 其比例是 2 15 3 要配制 這種火藥 640 克 三種原料應(yīng)各取多少克 分析 在這個(gè)問題中 黑火藥是一個(gè)整體 它包含三種物質(zhì)硫磺 硝酸鉀和木炭 用算術(shù)頭腦分析 三種原料混合在一起共重 640 克 由比例的性質(zhì)知 硫磺占 即 克 10 1 3152 2 64 10 1 640 硝酸鉀占 即 克 4 3 3152 15 480 4 3 640 木炭占 即 克 20 3 3152 3 96 20 3 640 答 三種原料各取 64 克 480 克 96 克 用代數(shù)頭腦分析 在比例問題中 通常設(shè)每一份為 x 根據(jù)題意得 2x 15x 3x 640 解得 x 32 所以 2x 64 克 15x 480 克 3x 96 克 答 略 2 例 3 時(shí)鐘大家都很熟悉 請(qǐng)你觀察并計(jì)算一下 在兩點(diǎn)和三點(diǎn)之間 時(shí)鐘上的分針和時(shí)針重合的時(shí)刻 分析 針面是圓的 可以用兩種計(jì)時(shí)單位來計(jì)算 解法一 把鐘面的圓盤邊緣分成 60 格 分針每分鐘走 1 格 時(shí)針每分鐘走格 設(shè)在兩點(diǎn) x 分時(shí) 時(shí) 12 1 針和分針重合 這時(shí)分針走了 x 格 時(shí)針走了x 格 重合時(shí)時(shí)針比分針少走了 10 格 時(shí)針是從第 10 12 1 個(gè)格出發(fā)走的 由題意得 x x 10 解得 x 12 1 11 10 10 11 120 答 在兩點(diǎn)分時(shí) 時(shí)針與分針重合 11 10 10 解法二 由于時(shí)針 分針是繞圓心旋轉(zhuǎn) 分針 60 分鐘可旋轉(zhuǎn)一圈 360 那么分針每分鐘轉(zhuǎn) 6 時(shí)針 每分鐘轉(zhuǎn)度 設(shè)在兩點(diǎn) x 分時(shí) 時(shí)針和分針重合 這時(shí)分針轉(zhuǎn)了 6x 度 時(shí)針轉(zhuǎn)了x 度 重合時(shí)時(shí) 2 1 2 1 針比分針少轉(zhuǎn)了 60 度 時(shí)針是從鐘面上 2 處開始旋轉(zhuǎn)的 由題意得 解得 60 2 1 6 xx 11 10 10 11 120 x 答 略 同學(xué)們 你們可以仿造上面的例題編一個(gè)在三點(diǎn)和四點(diǎn)之間 分針和時(shí)針成一條直線的應(yīng)用題 再 試著求一求 你感到難不難 例 4 萊蒙托夫是俄國(guó)著名的詩(shī)人 愛好數(shù)學(xué) 有一次 他給一些軍官表演猜數(shù)游戲 他請(qǐng)一名軍官隨 便想好一個(gè)數(shù) 不要說出來 然后請(qǐng)這個(gè)軍官將想好的這個(gè)數(shù)加上 25 再加上 125 減去 37 再減去 最初想好的這個(gè)數(shù) 把得到的數(shù)乘以 5 最后再除以 2 這時(shí) 萊蒙托夫說 我可以猜出你算出的結(jié)果 他問那個(gè)軍官 此數(shù)是 282 5 對(duì)嗎 那個(gè)軍官非常吃驚 因?yàn)槿R蒙托夫并不知道他想的是什么數(shù) 卻得到了和他完全一樣的結(jié)果 奧秘在哪里呢 請(qǐng)你用字母表示這個(gè)數(shù) 就能解開這個(gè)謎 解 設(shè)那個(gè)軍官想好的數(shù)為 a 由題意得 a 25 125 37 a 5 2 282 5 例 5 托爾斯泰的割草問題 割草隊(duì)要收割兩塊草地 其中一塊比另一塊大 1 倍 全隊(duì)在大的一塊草地上割了一上午 到了下午 就分成兩半 一半人繼續(xù)留在大塊草地上 到晚上正好把大塊草地的草割完 另一半人轉(zhuǎn)移到小塊草地 上 到了晚上還未割完 還剩下一小塊 第二天 這剩下的一小塊由一個(gè)割草隊(duì)員花了一整天剛好割完 問這個(gè)割草隊(duì)共有幾人 算術(shù)頭腦分析 在大塊草地上割草隊(duì)全體割了半天 全隊(duì)的一半人又割了半天 這就是 這一半人要 花 3 個(gè)半天收割完這大塊草地 也就是說 全隊(duì)一半的人在半天時(shí)間內(nèi)收割了大塊草地的 由于大塊 3 1 草地比小塊草地大一倍 所以在小塊草地上 半隊(duì)人割半天后剩下的草地為大塊草地的 由于 6 1 3 1 2 1 這剩下的一小塊地正好由一個(gè)割草隊(duì)員割完 即一個(gè)割草隊(duì)員一天可割大塊草地的 而全隊(duì)人在一天 6 1 中共割了大塊草地的 所以割草隊(duì)的總?cè)藬?shù)為 3 4 3 1 1 8 6 1 3 1 1 我們?nèi)绻脠D解法也很方便 如右圖 代數(shù)頭腦分析 設(shè)割草隊(duì)人數(shù)為 x 每人每天割草面積為 a 由題意可知 大塊草地面積為 axaxax 4 3 4 1 2 1 小塊草地面積為 1 4 1 4 1 xaaax 3 1 3 1 3 1 3 1 6 1 大塊草地 小塊草地 3 由于大塊草地比小塊草地大一倍 故有 1 4 1 2 4 3 xaax 兩邊都除以 0 解得 x 8 答 割草隊(duì)共有 8 人 aa 例 6 立達(dá)中學(xué)第 5 中隊(duì)的少先隊(duì)員們?nèi)ミ\(yùn)河公園植樹 已知樹苗的成活率在 75 80 之間 為了確 保 1200 棵樹成活 第 5 中隊(duì)的少年隊(duì)員們 最少要栽種多少棵樹苗 分析 樹苗的成活率在 75 到 80 之間 那么也就是說如果成活率低需要的樹苗就多 需 1600 棵 如 果成活率高 需要的樹苗就少 需 1500 棵 因此為了確保 1200 棵樹成活 就要細(xì)心呵護(hù)小樹苗 讓成 活率達(dá)到最高時(shí) 栽種的最少樹苗為 1500 棵 例 7 一幢八層樓房 由第一層到第二層有 21 級(jí)臺(tái)階 以后每上一層少 2 級(jí)臺(tái)階 求小強(qiáng)由第三層到 達(dá)第八層共走了多少級(jí)臺(tái)階 分析 上樓走樓梯與種樹的道理一樣 由一層到八層共有 7 個(gè)樓梯 它們是 21 19 17 15 13 11 9 由第三層到達(dá)第八層共走了 17 15 13 11 9 65 級(jí) 注意 由于缺乏生活經(jīng)驗(yàn) 可能會(huì)出現(xiàn)走 8 個(gè)樓梯的錯(cuò)誤 例 8 果子成熟后 從樹上落到地面 它落下的高度與經(jīng)過的時(shí)間有下面的關(guān)系 時(shí)間 t 秒 0 50 60 70 80 91 高度 h 米 5 0 255 0 365 0 495 0 645 0 815 1 請(qǐng)你猜測(cè)一下用 t 表示 h 的公式 并用公式計(jì)算一下果子經(jīng)過 0 55 秒落到地上 這個(gè)果子離地面的高度 是多少米 精確到 0 01 分析 通過列表給出的數(shù)據(jù) 我們發(fā)現(xiàn)了規(guī)律 5 0 25 5 0 52 5 0 36 5 0 62 公式 h 5t2 當(dāng) t 0 55 秒時(shí) 高度 h 5 0 552 1 5125 1 51 米 請(qǐng)同學(xué)們自己來完成解題過程 要注意表述完整 清晰 例 9 將正方體用刀切去一塊 可得到下列哪些圖形 不能得到的圖形是哪一個(gè) 分析 這是一道空間想象能力的題目 要通過觀察 實(shí)踐 摸索 總結(jié) 才能夠全面地給出答案 我們 不注重你的結(jié)論 而更看重的是你思考的過程 實(shí)踐出真知 讓我們動(dòng)手 動(dòng)腦 試一試吧 例 10 閱讀科學(xué)家的故事 哥德巴赫猜想與陳景潤(rùn) 早在 1742 年 6 月 7 日數(shù)學(xué)家哥德巴赫寫信告訴歐拉 說他想發(fā)表一個(gè)猜想 任何一個(gè)不小于 6 的 偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和 同年 6 月 30 日歐拉給他回信說 每一個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和 雖然我還 不能證明它 但我確信這個(gè)論斷是完全正確的 我們可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論 例如 6 3 3 8 3 5 10 3 7 5 5 12 5 7 14 3 11 16 3 13 5 11 18 5 13 7 11 20 3 17 7 13 1 2 3 4 5 6 7 8 4 1 2 3 4 5 每排座位數(shù)排 數(shù) 2 181 3 4 5 20 22 24 26 22 3 19 5 17 11 11 24 5 19 7 17 11 13 26 3 23 5 21 7 19 13 13 同學(xué)們也可自己試一試 任意取一個(gè)偶數(shù) 例如 1000 1998 將它寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和 有人對(duì)一個(gè)一個(gè)偶數(shù)都進(jìn)行了驗(yàn)算 一直算到 3 億多 都表明這個(gè)猜想是對(duì)的 但是這還不能說明 哥德巴赫猜想對(duì)于全部大偶數(shù)都是正確的 它的正確性還有待于研究 歐拉和哥德巴赫一生都沒能證明這個(gè)論斷 以后的 200 年里 也沒有哪位數(shù)學(xué)家給出證明 因此 直到今日 這只能稱為一個(gè)猜想 這個(gè)猜想也就是著名的哥德巴赫猜想 這是一個(gè)世界上有名的難題 被譽(yù)為數(shù)學(xué)王冠上的一顆明珠 1900 年 德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎召開的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上 提出了 23 個(gè)他認(rèn)為最重要的沒有解決的數(shù)學(xué)問題 這 23 個(gè)問題預(yù)示著 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的方向 許多 數(shù)學(xué)家分別在解決這些問題方面作了巨大的努力 取得了豐碩的成果 哥德巴赫猜想問題就是希爾伯特 第 8 問題 素?cái)?shù)問題 的一部分 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)潛心研究了一系列著名的數(shù)論問題 特別是在哥德巴赫猜想問題的研究上 得到了目前世界上最好的結(jié)果 1966 年 5 月 他證明了 每一個(gè)充分大的偶數(shù)都可以表示為一個(gè)素?cái)?shù) 和一個(gè)不超過 2 個(gè)素因子的積的和 這個(gè)結(jié)果就是國(guó)際上公認(rèn)的以陳景潤(rùn)的名字命名的陳氏定理 陳景潤(rùn)寫出的 1 2 的證明長(zhǎng)達(dá) 200 頁(yè) 他的證明引起國(guó)際數(shù)學(xué)界的關(guān)注 稱他的論文是解析數(shù)論的名作 是篩法的光輝頂點(diǎn) 是對(duì)研 究哥德巴赫猜想的重大貢獻(xiàn) 至今為止 對(duì)哥德巴赫猜想的研究還沒有結(jié)束 還有從 1 2 到 1 1 這最艱難的一步 英國(guó) 數(shù)學(xué)家哈代 1877 1947 1921 年在哥本哈根數(shù)學(xué)會(huì)上說 哥德巴赫猜想可能是沒有解決的數(shù)學(xué)問 題中最困難的一個(gè) 現(xiàn)在這顆皇冠上的明珠正在峰頂上閃耀 但她只屬于那些勤奮踏實(shí) 不畏艱險(xiǎn) 勇于攀登的攀登者 同步同步練習(xí)練習(xí) 1 小華買了 60 分和 80 分的郵票共 10 枚 花了 7 元 2 角 那么 60 分和 80 分的郵票各買了幾枚 2 銀行計(jì)算利息是存入的錢數(shù) 本金 與存入的時(shí)間數(shù) 期數(shù) 及每期的利率的積 某人將 1 萬元按 一年定期儲(chǔ)蓄存入銀行 月利率是 1 88 讀作千分之一點(diǎn)八八 到期后交利息稅 20 問此人最 后可得利息為多少元 3 運(yùn)用加 減 乘 除四種運(yùn)算 如何由四個(gè)數(shù) 2 7 10 4 每個(gè)數(shù)只能用一次 得到 24 你能想 出幾個(gè)算式 寫出來 4 今年 5 月 1 日是星期三 你能否推算出今年 10 月 1 日是星期幾 5 如圖 線與線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由 1 2 3 4 5 得 15 個(gè) 1 圖中的三角形個(gè)數(shù)為多少個(gè) 2 是點(diǎn)多呢 還是三角形多 3 你能寫出數(shù)三角形個(gè)數(shù)的方法嗎 如果再增加一排 會(huì)有多少個(gè)三角形呢 6 電影院的座位數(shù)如下表所示 1 如果電影院有 20 排座位 那么電影院共有多少座位 2 記為第 n 排的座位數(shù) 試用 n 的代數(shù)式表示 n a n a 5 7 某中隊(duì) 48 人去游樂場(chǎng)游覽 游樂場(chǎng)售票處規(guī)定 門票一人券每張 10 元 十人券每張 70 元 他們動(dòng) 腦筋想出了一種購(gòu)買門票花費(fèi)最少的辦法 請(qǐng)你想一想最少要花多少元 8 從 1999 年 11 月 1 日起 全國(guó)儲(chǔ)蓄存款開始征收利息稅 利息稅的稅率為 20 即儲(chǔ)蓄利息的 20 由各銀行儲(chǔ)蓄點(diǎn)代扣代收 某人在 2002 年 1 月 5 日存入人民幣 30000 元 年利率為 2 25 一年 到期后應(yīng)繳納利息稅多少元 9 某服裝店同時(shí)賣出兩套服裝 每套均賣 168 元 以成本計(jì)算 其中一套盈利 20 另一套虧本 20 問這次出售服裝 是賺錢還是賠錢 10 媽媽讓小明給客人燒水沏茶 他計(jì)算了一下時(shí)間 洗水壺需用 1 分 燒開水需用 15 分 洗茶壺需 用 1 分 洗茶杯需用 1 分 拿茶葉需用 2 分 小明估算了一下 完成這些工作需花 20 分 為了使客人 早喝上茶 按你認(rèn)為最合理的安排 多少分就能沏茶了 練習(xí)練習(xí)答案答案 1 買 60 分郵票 4 枚 80 分郵票 6 枚 2 180 48 元 3 10 2 7 4 2 4 10 7 7 4 2 10 等 4 今年 10 月 1 日是星期二 5 1 共計(jì) 27 個(gè) 2 此圖中三角形的個(gè)數(shù)多 3 數(shù)三角形的個(gè)數(shù)要掌握規(guī)律 從小到大來數(shù) 有一個(gè)小三角形的有 1 3