【走向高考】（2013春季發(fā)行）高三數(shù)學第一輪總復習 8-8曲線與方程 理 新人教A版

1 8 88 8 曲線與方程曲線與方程 理理 基礎鞏固強化 1 若點P到直線y 2 的距離比它到點A 0 1 的距離大 1 則點P的軌跡為 A 圓 B 橢圓 C 雙曲線 D 拋物線 答案 D 解析 由條件知 點P到直線y 1 的距離與它到點A 0 1 的距離相等 P點軌 跡是以A為焦點 直線y 1 為準線的拋物線 2 已知橢圓的焦點為F1 F2 P是橢圓上一個動點 延長F1P到點Q 使 PQ PF2 則動點Q的軌跡為 A 圓 B 橢圓 C 雙曲線一支 D 拋物線 答案 A 解析 QF1 PF1 PQ PF1 PF2 2a 動點Q的軌跡是以F1為圓心 2a為半徑的圓 3 過橢圓 1 內(nèi)一點R 1 0 作動弦MN 則弦MN中點P的軌跡是 x2 9 y2 4 A 圓 B 橢圓 C 雙曲線 D 拋物線 答案 B 解析 設M x1 y1 N x2 y2 P x y 則 4x 9y 36 4x 9y 36 2 12 12 22 2 相減得 4 x1 x2 x1 x2 9 y1 y2 y1 y2 0 將x1 x2 2x y1 y2 2y 代入可知軌跡為橢圓 y1 y2 x1 x2 y x 1 4 高 12m 和 16m 的兩根旗桿筆直地豎在水平地面上 且相距 50m 則地面上觀察兩旗 桿頂端仰角相等的點的軌跡為 A 圓 B 橢圓 C 雙曲線 D 拋物線 答案 A 解析 本題是解析幾何問題 假設長度為 12m 16m 的兩旗桿的底部分別為A B 地 面上的觀察點為P 以AB的中點為原點 直線AB為x軸建立平面直角坐標系 則 A B的坐標分別為A 25 0 B 25 0 設P x y 且PA b PB a tan b a 12 b 16 a 3 4 2 x 25 2 y2 3 4 x 25 2 y2 化簡得方程為圓的方程 所以軌跡為圓 故選 A 5 平面 的斜線AB交 于點B 過定點A的動直線l與AB垂直 且交 于點C 則動點C的軌跡是 A 一條直線 B 一個圓 C 一個橢圓 D 雙曲線的一支 答案 A 解析 過定點A且與AB垂直的直線l都在過定點A且與AB垂直的平面 內(nèi) 直線 l與 的交點C也是平面 的公共點 點C的軌跡是平面 的交線 6 2012 長沙一中月考 方程 2x 3y 1 1 0 表示的曲線是 x 3 A 兩條直線 B 兩條射線 C 兩條線段 D 一條直線和一條射線 答案 D 解析 原方程化為 Error 或 1 0 x 3 2x 3y 1 0 x 3 或x 4 故選 D 7 2011 聊城月考 過點P 1 1 且互相垂直的兩條直線l1與l2分別與x y軸交于 A B兩點 則AB中點M的軌跡方程為 答案 x y 1 0 解析 設l1 y 1 k x 1 則l2 y 1 x 1 l1與x軸交點A 1 0 1 k 1 k l2與y軸交點B 0 1 設AB中點M x y 則Error 消去k得 x y 1 0 1 k 8 2011 宿遷模擬 已知兩條直線l1 2x 3y 2 0 和l2 3x 2y 3 0 有一動圓 圓心和半徑都動 與l1 l2都相交 且l1 l2被圓截得的弦長分別是定值 26 和 24 則圓心 的軌跡方程是 答案 x 1 2 y2 65 3 解析 設圓心P x y 動圓半徑為r P到l1 l2的距離分別為d1 d2 由題意知d 169 r2 d 144 d d 25 即 25 2 12 22 22 1 3x 2y 3 2 13 2x 3y 2 2 13 整理得 x 1 2 y2 65 9 2011 北京理 14 曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1 1 0 和F2 1 0 的距離的積等 于常數(shù)a2 a 1 的點的軌跡 給出下列三個結(jié)論 曲線C過坐標原點 曲線C關于坐標原點對稱 若點P在曲線C上 則 F1PF2的面積不大于a2 1 2 其中 所有正確結(jié)論的序號是 答案 解析 由 PF1 PF2 a2得 a2 a 1 將原點O 0 0 代入等式不成立 故 錯 x 1 2 y2 x 1 2 y2 將 x y 代入方程中 方程不變 故曲線C關于原點對稱 故 正確 設 F1PF2 則S F1PF2 PF1 PF2 sin a2sin a2 故 正確 1 2 1 2 1 2 10 2011 新課標全國理 20 在平面直角坐標系中xOy中 已知點A 0 1 B點 在直線y 3 上 M點滿足 M點的軌跡為曲線C MB OA MA AB MB BA 1 求C的方程 2 P為C上的動點 l為C在P點處的切線 求O點到l距離的最小值 解析 1 設M x y 由已知得B x 3 又A 0 1 所以 x 1 y MA 0 3 y x 2 MB AB 再由題意可知 0 MA MB AB 即 x 4 2y x 2 0 所以曲線C的方程為y x2 2 1 4 2 設P x0 y0 為曲線C y x2 2 上一點 1 4 因為y x 所以l的斜率為x0 1 2 1 2 因此直線l的方程為y y0 x0 x x0 1 2 4 即x0 x 2y 2y0 x 0 2 0 所以O點到l的距離d 又y0 x 2 2y0 x2 0 x2 0 4 1 4 2 0 所以d 2 1 2x2 0 4 x2 0 4 1 2 x2 0 4 4 x2 0 4 當x0 0 時取等號 所以O點到l距離的最小值為 2 能力拓展提升 11 在一張矩形紙片上 畫有一個圓 圓心為O 和一個定點F F在圓外 在圓上任取一 點M 將紙片折疊使點M與點F重合 得到折痕CD 設直線CD與直線OM交于點P 則點P 的軌跡為 A 雙曲線 B 橢圓 C 圓 D 拋物線 答案 A 解析 由OP交 O于M可知 PO PF PO PM OM AC 5 M點軌跡是以A C為焦點 長軸長為 5 的橢圓 a c 1 則b2 a2 c2 5 2 21 4 橢圓的標準方程是 1 4x2 25 4y2 21 14 2011 北京模擬 ABC的頂點A 5 0 B 5 0 ABC的內(nèi)切圓圓心在直線 x 3 上 則頂點C的軌跡方程是 答案 1 x 3 x2 9 y2 16 解析 如圖 CA CB AE BF AD BD 63 x2 9 y2 16 15 2011 西安模擬 已知定點A 0 1 點B在圓F x2 y 1 2 16 上運動 F 為圓心 線段AB的垂直平分線交BF于P 1 求動點P的軌跡E的方程 若曲線Q x2 2ax y2 a2 1 被軌跡E包圍著 求實數(shù) a的最小值 2 已知M 2 0 N 2 0 動點G在圓F內(nèi) 且滿足 MG NG OG 2 O為坐標原 點 求 的取值范圍 MG NG 解析 1 由題意得 PA PB PA PF PB PF 4 AF 2 動點P的軌跡E是以A F為焦點的橢圓 設該橢圓的方程為 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 則 2a 4 2c 2 即a 2 c 1 故b2 a2 c2 3 動點P的軌跡E的方程為 1 y2 4 x2 3 6 x2 2ax y2 a2 1 即 x a 2 y2 1 曲線Q是圓心為 a 0 半徑為 1 的圓 而軌跡E為焦點在y軸上的橢圓 其左 右頂點分別為 0 0 33 若曲線Q被軌跡E包圍著 則 1 a 1 33 a的最小值為 1 3 2 設G x y 由 MG NG OG 2得 x2 y2 x 2 2 y2 x 2 2 y2 化簡得x2 y2 2 即x2 y2 2 x 2 y x 2 y MG NG x2 y2 4 2 y2 1 點G在圓F x2 y 1 2 16 內(nèi) x2 y 1 2 16 0 y 1 2 16 3 y 5 0 y2 25 2 2 y2 1 48 的取值范圍是 2 48 MG NG 16 已知直線l y kx b 曲線M y x2 2 1 若k 1 且直線與曲線恰有三個公共點時 求實數(shù)b的取值 2 若b 1 直線與曲線M的交點依次為A B C D四點 求 AB CD 的取值范 圍 解析 1 分兩種情況 1 當 x 時 Error 有唯一解 22 即x2 x b 2 0 在 內(nèi)有一解 22 由 1 4b 8 0 得b 符合 9 4 2 直線過點 0 得 0 b 得b 222 2 由Error 得x2 kx 3 0 則有 AD 且 k k2 1 k2 12 2 2 2 2 由Error 得x2 kx 1 0 則有 BC 且k R R k2 1 k2 4 所以 AB CD AD BC k2 1 k2 12 k2 1 k2 4 8k2 1 k2 12 k2 4 7 且 k 8 1 11 k2 1 1 3 k2 1 2 2 2 2 令t k2 則 0 t 1 2 則y 0 t OF 又 OM 為 O的半徑為定值 故點P的軌跡是以F O為焦點的橢圓 3 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動 并且總保持 AP BD1 則動點P的軌跡是 A 線段B1C B 線段BC1 C BB1中點與CC1中點連成的線段 D BC中點與B1C1中點連成的線段 答案 A 解析 設P1 P2為P的軌跡上兩點 則AP1 BD1 AP2 BD1 AP1 AP2 A 直線AP1與AP2確定一個平面 與面BCC1B1交于直線P1P2 且知BD1 平面 P1P2 BD1 9 又 BD1在平面BCC1B1內(nèi)的射影為BC1 P1P2 BC1 而在面BCC1B1內(nèi)只有B1C與BC1垂 直 P點的軌跡為B1C 4 2011 青島模擬 圓O x2 y2 16 A 2 0 B 2 0 為兩個定點 直線l是圓O 的一條切線 若經(jīng)過A B兩點的拋物線以直線l為準線 則拋物線焦點的軌跡是 A 雙曲線 B 橢圓 C 拋物線 D 圓 答案 B 解析 設拋物線的焦點為F 因為A B在拋物線上 所以由拋物線的定義知 A B到F的距離AF BF分別等于A B到準線l的距離 AM BN 過O作OP l 由于l是圓O的一條切線 所以四邊形AMNB是直角梯形 OP是中位線 故有 AF BF AM BN 2 OP 8 4 AB 根據(jù)橢圓的定義知 焦點F的軌跡是一個橢圓 5 已知A B分別是直線y x和y x上的兩個動點 線段AB的長為 2 P 3 3 3 33 是AB的中點 則動點P的軌跡C的方程為 10 答案 y2 1 x2 9 解析 設P x y A x1 y1 B x2 y2 P是線段AB的中點 Error A B分別是直線y x和y x上的點 3 3 3 3 y1 x1和y2 x2 3 3 3 3 代入 中得 Error 又 2 x1 x2 2 y1 y2 2 12 AB 3 12y2 x2 12 動點P的軌跡C的方程為 y2 1 4 3 x2 9 6 2011 蘇州模擬 已知 1 m 0 n 0 當mn取得最小值時 直線 1 m 2 n y x