高中物理10大難點強行突破之三圓周運動的實例分析

第 - 1 - 頁 共 14 頁 難點之三：圓周運動的實例分析 一 、難點形成的原因 1、對 向心力和向心加速度的定義把握不牢固，解題時不能靈活的應(yīng)用。 2、 圓周運動線速度與角速度的關(guān)系及速度的合成與分解的綜合知識應(yīng)用不熟練，只是了解大概，在解題過程中不 能 靈活 應(yīng)用 ； 3、圓周運動有一些要求思維長度較長的題目， 受力分析不按照一定的步驟，漏掉重力或其它力，因為一點 小 失誤，導致全盤皆錯。 4、 圓周運動的周期性把握不準。 5、 缺少生活經(jīng)驗，缺少仔細觀察事物的經(jīng)歷，很多實例知道大概卻不能理解本質(zhì)，更不能把物理知識與生活實例很好的聯(lián)系起來。 二 、難點突破 （ 1）勻速圓周運動與非勻速圓周運動 為 物體的運動方向（即速度方向）在不斷變化。圓周運動 也不可能是勻變速運動，因為即使是勻速圓周運動，其加速度方向也是時刻變化的。 見 的圓周運動有：天體（包括人造天體）在萬有引力作用下的運動；核外電子 在庫侖力作用下繞原子核的運動；帶電粒子在垂直勻強磁場的平面里在磁場力作用下的運動；物體在各種外力（重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力等）作用下的圓周運動。 速度大小不變。做勻速圓周運動的物體，它所受的所有 力的合力提供向心力，其方向一定指向圓心。非勻速圓周運動的物體所受的合外力沿著半徑指向圓心的分力，提供向心力，產(chǎn)生向心加速度；合 外 力沿切線方向的分力，產(chǎn)生切向加速度，其效果是改變速度的大小。 例 1：如圖 3示，兩根輕繩同系一個質(zhì)量 m=小球，兩繩的另一端分別 固 定在軸上的 A、 B 兩處，上面繩 L=2m，當兩繩都拉直時，與軸的夾角分別為 30和 45，求當小球隨軸一起在水平面內(nèi)做勻速圓周運動角速度為 =4s 時，上下兩輕繩拉力各為多少？ 【 審題 】 兩繩張緊時，小球受的力 由 0 逐漸增大時，可能出 現(xiàn)兩個臨界值。 【 解析 】 如圖 3示，當 好被拉直，但其拉力 此時角速度為 1，上拉力設(shè)為 小球有： 30 30s 0s 代入數(shù)據(jù)得： ， 要使 有拉力，應(yīng)有 1，當 恰被拉直，但其拉力 此時角速度為 2， 拉力為 有 45 =m 22 代入數(shù)據(jù)得： 2=s。要使 有拉力，必須 2，故 已無拉力， 是松馳狀態(tài)， 與桿的夾角 45，對小球有： 圖 3 - 2 - 頁 共 14 頁 圖 3-3 m 2 而 = 2 m 由、可解得 ； 01 T 【 總結(jié) 】 當物體做勻速圓周運動時，所受合外力一定指向圓心，在圓周的切線方向上和垂直圓周平面的 方向 上的合外力必然為零。 （ 2）同軸裝置與皮帶傳動裝置 在考查皮帶轉(zhuǎn)動現(xiàn)象的問題中，要注意以下兩點： a、 同一轉(zhuǎn)動軸上的各點角速度相等； b、 和同一皮帶接觸的各點線速度大小相等，這兩點 往往是我們解決皮帶傳動的基本方法。 例 2： 如圖 3示為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為 r， a 是它邊緣上的一點，左側(cè)是一輪軸，大輪半徑為 4r，小輪半徑為 2r，b 點在小輪上，到小輪中心距離為 r， c 點和 d 點分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動過程中，皮帶不打滑，則 A a 點與 b 點線速度大小相等 B a 點與 c 點角速度大小相等 C a 點與 d 點向心加速度大小相等 D a、 b、 c、 d 四點，加速度最小的是 b 點 【 審題 】 分析本題的關(guān)鍵有兩點：其一是同一輪軸上的各點角速度 相同；其二是皮帶不打滑時，與皮帶接觸的各點線速度 大小 相同 。 這兩點抓住了，然后再根據(jù)描述圓周運動的各物理量之間的關(guān)系就不難得出正確的結(jié)論 。 【 解析 】由圖 3知， a 點和 c 點是與皮帶接觸的兩個點，所以在傳動過程中二者的線速度 大小 相等，即 v R ， 所以 c2 r，即 a 2 c而 b、 c、 們的角速度相等，則 b c d21 a，所以選項錯又 b r 21 以選項 A 也錯向心加速度： r（2a） 2r41 1 r（21 a） 22 r 21 1 r（21 a）24 r 以選項 C、 D 均正確 。 【 總結(jié) 】 該題除了同軸角速度相等和同皮帶線速度 大小 相等的關(guān)系外， 在皮帶傳動裝置中，從動輪的轉(zhuǎn)動是靜摩擦力 作 用的結(jié)果從動輪 受到 的摩擦力帶動輪子轉(zhuǎn)動，故輪子受到的摩擦力方向沿從動輪的切線與輪的轉(zhuǎn)動方向相同；主動輪靠摩擦 力帶動皮帶，故主動輪所受摩擦力方向沿輪的切線與輪的轉(zhuǎn)動方 向相反 。 是不是所有 的題目都要是 例 1 這種類型的呢？當然不是，當輪與輪之間不是依靠皮帶相連圖 3 - 3 - 頁 共 14 頁 轉(zhuǎn)動，而是依靠摩擦力的作用或者是齒輪的嚙合，如圖 3示，同樣符合 例 1 的條件。 （ 3）向心力 的 來源 a 向心力是根據(jù)力的效果命名的在分析做圓周運動的質(zhì)點受力情況時， 切記 在物體的作用力（重力、彈力、摩擦力等）以外 不要 再添加一個向心力 。 b對于勻速圓周運動的問題，一般可按如下步驟進行分析： 確定做勻速圓周運動的物體作為研究對象。 明確運動情況，包括搞清運動速率 v，軌跡半徑 R 及軌跡圓心 O 的位置等。只有明確了上述幾點后，才能知道運動物體在運動過程中所需的向心力大小 ( )和向心力方向（指向圓心）。 分析受力情況，對物體實際受力情況做出正確的分析，畫出受力圖，確 定指向圓心的合外力 F（即提供向心力）。 選用公式 F=2 T 解得結(jié)果。 c圓周運動中向心力的特點： 勻速圓周運動：由于勻速圓周運動僅是速度方向變化而速度大小不變，故只存在向心加速度，物體受到外力的合力就是向心力?？梢?，合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，是物體做勻速圓周運動的條件。 變速圓周運動：速度大小發(fā)生變化，向心加速度和向心力都會相應(yīng)變化。求物體在某一點受到的向心力時，應(yīng)使用該點 的瞬時速度，在變速圓周運動中，合外力不僅大小隨時間改變，其方向也不沿半徑指向圓心。合外力沿半徑方向的分力（或所有外力沿半徑方向的分力的矢量和）提供向心力，使物體產(chǎn)生向心加速度，改變速度的方向；合外力沿軌道切線方向的分力，使物體產(chǎn)生切向加速度，改變速度的大小。 當物體所受的合外力 F 小于所需要提供的向心力 時，物體做離心運動。 例 3：如圖 3示，半徑為 R 的半球形碗內(nèi)，有一個具有一定質(zhì)量的物體 A，A 與碗壁間的動摩擦因數(shù)為 ，當碗繞豎直軸 速轉(zhuǎn)動時，物體 A 剛好能緊貼在碗口附近隨碗一起勻速轉(zhuǎn)動而 不發(fā)生相對滑動，求碗轉(zhuǎn)動的角速度 【 審題 】 物體 A 隨碗一起轉(zhuǎn)動而不發(fā)生相對滑動， 則 物體做勻速圓周運動的角速度就等于碗轉(zhuǎn)動的角速度。物體 A 做勻速圓周運動所需的向心力方向指向球心 O，故此向心力不是 由重力而是由碗壁對物體的彈力提供，此時物體所受的摩擦力與重力平衡。 【 解析 】 物體 A 做勻速圓周運動，向心力： 而摩擦力與重力平衡，則有： 即： 由以上兩式可得： 2即碗勻速轉(zhuǎn)動的角速度為： 圖 3 - 4 - 頁 共 14 頁 【 總結(jié) 】 分析受力時一定要明確向心力的來源，即搞清楚什么力充當向心力 本題還考查了摩擦力的有關(guān)知識：水平方向的彈力為提供摩擦力的正壓力，若在剛好緊貼碗口的基礎(chǔ)上，角速度再大，此后摩擦力為靜摩擦力，摩擦力大小不變，正壓力變大。 例 4： 如圖 3示，在電機距軸 O為 r 處固定一質(zhì)量為 m 的鐵塊電機啟動后，鐵塊以角速度 繞軸 O 勻速轉(zhuǎn)動則電機對地面的最大壓力和最小壓力之差為_。 【 審題 】鐵 塊在豎直面內(nèi)做勻速圓周運動，其向心力是重力 輪對它的力 F 的合力由圓周運動的規(guī)律可知：當 m 轉(zhuǎn)到最低點時 F 最大，當 m 轉(zhuǎn)到最高點時 F 最小 。 【 解析 】設(shè)鐵塊在最高點和最低點時，電機對其 作 用力分別為 2，且都指向軸心，根據(jù)牛頓第二定律有： 在最高點： r 在最低點： r 電機對地面的最大壓力和最小壓力分別出現(xiàn)在鐵塊 m 位于最低點和最高點時，且壓力差的大小為： 由 式可解得： 2r 【 總結(jié) 】 （ 1）若 m 在最高點時突然與電機脫離，它將如何運動 （ 2）當角速度 為何值時，鐵塊在最高點與電機恰無 作 用力 （ 3）本題也可認為是一電動打夯機的原理示意圖 。 若電機的質(zhì)量為 M，則 多大時，電機可以 “ 跳 ” 起來 ?此情況下，對地面的最大壓力是多少 解： （ 1） 做初速度沿圓周切線方向，只受重力的平拋運動。 （ 2）電機對鐵塊無 作 用力時，重力提供鐵塊的向心力，則 2r 即 1（ 3）鐵塊在最高點時，鐵塊與電動機的相互做用力大小為 2r 即當 2( 時，電動機可以跳起來，當 2 mr ( 時，鐵塊在最低點時電機對地面壓力最大，則 2r 解得電機對地面的最大壓力為 2（ M m） g （ 4）圓周運動的周期性 利用圓周運動的周期性把另一種運動（例如勻速直線運動、平拋運動）聯(lián)系起來。 圓周運動是一個獨立的運動，而另一個運動通常也是獨立的，分別明確兩個運動過程，注意用時間相等來聯(lián)系。 在 這類問題中，要注意尋找兩種運動之間的聯(lián)系，往往是通過時間相等來建立聯(lián)系的。同時，要注意圓周運動具有周期性，因此往往有多個答案 。 例 5：如圖 3示，半徑為 R 的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉(zhuǎn)動，其正圖 3 3 - 5 - 頁 共 14 頁 上方 h 處沿 使球與盤只碰一次，且落點為 B，則小球的初速度 v _，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度 _。 【 審題 】 小球做的是平拋運動，在小球做平拋運動的這段時間內(nèi)，圓盤做了一定角度的圓周運動。 【 解析 】 小球做平拋運動，在豎直方向上： h21運動時間 t又因為水平位移為 R 所以球的速度 vR時間 t 內(nèi)，盤轉(zhuǎn)過的角度 n 2 ，又因為 t 則轉(zhuǎn)盤角速度： 2 2n 1， 2， 3 ) 【 總結(jié) 】 上題中涉及圓周運動和平拋運動這兩種不同的運動，這兩種不同運動規(guī)律在解決同一問題時， 常常用“時間”這一物理量把兩種運動聯(lián)系起來 。 例 6：如圖 3示，小球 Q 在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，當 Q 球轉(zhuǎn)到圖示位置時，有另一小球 P 在距圓周最高點為 h 處開始自由下落 應(yīng)滿足什么條件？ 【 審題 】 下落的小球 P 做的是自由落體運動，小球 Q 做的是圓周運動，若要想碰，必須滿足時間相等這個條件。 【 解析 】 設(shè) P 球自由落體到圓周最高點的時間為 t，由自由落體可得 21h 求得 t= 由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點的時間也是 t，但做勻速圓周運動，周期為 T，有 t=(4n+1)4T(n=0， 1， 2， 3 ) 兩式聯(lián)立再由 T=2得 (4n+1)2= =2(4n+1) (n=0， 1， 2， 3 ) 【 總結(jié) 】 由于圓周運動每個周期會重復經(jīng) 過同一個位置，故具有重復性。在做這類題目圖 3 - 6 - 頁 共 14 頁 時，應(yīng)該考慮 圓周運動 的周期性。 （ 5）豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界問題 圓周運動的臨界問題： （ 1）如 上 圖 3示，沒有物體支撐的小球， 在繩和軌道的約束下， 在豎直平面做圓周運動過最高點的情況： 臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的做用： v 臨界 能過最高點的條件： v 當 v ，繩對球產(chǎn)生拉力，軌道對球產(chǎn)生壓力 。 不能過最高點的條件： v v 臨界 （實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道） （ 2）如圖 3過最高點時，輕質(zhì)桿對球產(chǎn)生的彈力情況： 當 v 0 時， 。 當 0 v ， v 增大而減小，且 0， 當 v ， 0。 當 v ， v 的增大 而增大 。 如圖所示 3小球在軌道的最高點時，如果 v 時將脫離軌道做平拋運動，因為軌道對小球不能產(chǎn)生拉力 。 例 7：半徑為 R 的光滑半圓球固定在水平面上，如圖 3示。頂部有一小物體甲，今給它一個水平初速度 0 ，則物體甲將（ ） A沿球面下滑至 M 點 B先沿球面下滑至某點 N，然后便離開球面作斜下拋運動 C按半徑大于 R 的新的圓弧軌道作圓周運動 D立即離開半圓球作平拋運動 【 審題 】 物體在初始位置受豎直向下的重力，因為 所以，球面支持力為零，又因為物體在豎直方向向下運動，所以運動速率將逐漸增大，若假設(shè)物體能夠沿球面或某一大于 R 的新的圓弧做圓周運動，則所需的向心力應(yīng)不斷增大。而重力沿半徑方向的分力逐漸減少，對以上兩種情況又不能提供其他相應(yīng)的指向圓心的力的作用，故不能提供不斷增大的圖 3 3 3 3 - 7 - 頁 共 14 頁 向心力，所以不能維持圓周運動。 【 解析 】 物體應(yīng)該 立即離開半圓球做平拋運動， 故選 D。 【 總結(jié) 】 當物體到達最高點，速度等于 ，半圓對物體的支持力等于 零， 所以接下來物體的運動不會沿著半圓面，而是做平拋運動。 （ 6）圓周運動的應(yīng)用 受力分析：如圖所示 3 車受到的支持力和重力的合力水平指向圓心，成為使火車拐彎的向心力。 動力學方程：根據(jù)牛頓第二定律得 其中 r 是轉(zhuǎn)彎處軌道的半徑，0向 力的最佳速度 。 分析結(jié)論：解上述方程可知 20v 可見，最佳情況是由0v、 r、 共同決定的 。 當火車實際速度為 v 時，可有三種可能， 當 v0外軌均不受側(cè)向擠壓的力； 當 v0軌受到側(cè)向擠壓的力（這時向心力增大，外軌提供一部分力）； 當 v0內(nèi) 軌受到側(cè)向擠壓的力（這時向心力減少，內(nèi)軌 抵消 一部分力） 。 還有一些實例和這一模型相同，如自行車轉(zhuǎn)彎 ，高速公路上汽車轉(zhuǎn)彎等等 我們討論的火車轉(zhuǎn) 彎問題，實質(zhì)是物體在水平面的勻速圓周運動，從力的角度看其特點是： 合外力的方向一定在水平方向上，由于重力方向在豎直方向，因此物體除了重力外，至少再受到一個力，才有可能使物體產(chǎn)生在水平面 做 勻速圓周運動的向心力 實際在修筑鐵路時，要根據(jù)轉(zhuǎn)彎處的半徑 r 和規(guī)定的行駛速度 當選擇內(nèi)外軌的高度差，使轉(zhuǎn)彎時所需的向心力完全由重力 G 和支持力 上圖 3示 然內(nèi)外軌有一定的高度差，但火車仍在水平面內(nèi)做圓周運動，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿 “ 斜面 ” 向上 ， F= 故 汽車靜止在橋頂與通過橋頂是否同種狀 態(tài)？不是的，汽車靜止在橋頂、或通過橋頂，雖然都受到重力和支持力。但前者這兩個力的合力為零，后者合力不為零。 汽車過拱橋橋頂?shù)南蛐牧θ绾萎a(chǎn)生？方向如何？汽車在橋頂受到重力和支持力，如圖3示，向心力由二者的合力提供，方向豎直向下 。 圖 3 3 - 8 - 頁 共 14 頁 運動有什么特點？動力學方程： 由牛頓第二定律 G1F 解得 1F G m mg=汽車處于失重狀態(tài) 汽車具有豎直向下的加速度， 1F 橋的壓力小于重力這也是為什么橋一般做成拱形的原因 汽車在橋頂運動的最大速度為 根據(jù)動力學方程可知，當汽車行駛速度越大，汽車和橋面的壓力越 小，當汽車的速度為，壓力為零， 這是汽車保持在橋頂運動的最大速度，超過這個速度，汽車將飛出橋頂，做平拋運動。 另： c人騎自行車轉(zhuǎn)彎 由于速度較大，人、車要向圓心處傾斜，與豎直方向成 角，如圖 3、車的重力 地面的作用力 F 的合力作為向心力地面的作用力是地面對人、車的支持力 地面的摩擦力的合力，實際上仍是地面的摩擦力作為向心力 。 由圖知， F 向 =2圓錐擺 擺線張力與擺球重力 的合力提供擺球做勻速圓周運動的向心力如圖 3示，質(zhì)量為 的細線連接著，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動細線與豎直方向夾角為 ，試分析其角速度 的大小 。 對小球而言，只受兩個力：重力 線的拉力 T這兩個力的合力 徑 r 所以由 F 得， 2 整理得 速度越大，角 也越大 。 3雜技節(jié)目“水流星” 表演時，用一根繩子兩端各拴一個盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面內(nèi)做圓周運動，在最高點杯口朝下，但水不會流下 ，如圖所示，這是為什么？ 圖 3 3 3 - 9 - 頁 共 14 頁 分析：以杯中之水為研究對象進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可知： F 向 此時重力 G 與 向 G ： G 由上式可知 v 減小 ， F 減小 ，當 0 時， v 有最小值為 討論： 當 即 v ，水恰能過最高點不灑出，這就是水能過最高點的臨界條件； 當 即 v ，水不能過最高點而不灑出； 當 即 v ，水能過最高點不灑出，這時水的 重力和杯對水的壓力提供向心力。 例 8：繩系著裝有水的水桶，在豎直面內(nèi)做圓周運動，水的質(zhì)量 m 0.5 長 L 60 ： 最高點水不流出的最小速率 。 水在最高點速率 v 3 m/s 時，水對桶底的壓力。 【 審題 】 當 ，水恰好不流出，要求水對桶底的壓力和判斷是否能通過最高點，也要和這個速度 v 比較， v 壓力； v=好無壓力； v 能到達最高點。 【 解析 】 水在最高點不流出的條件是重力不大于水做圓周運動所需要的向心力即 則最小速度 m/s。 當水在最高點的速率大于 ，只靠重力提供向心力已不足，此時水桶底對水有一向下的壓力，設(shè)為 F，由牛頓第二定律 F ： F 。 由牛頓第三定律知，水對水桶的作用力 F F ， 即方向豎直向上 。 【 總結(jié) 】 當速度大于臨界速率時，重力已不足以提供向心力 ，所缺部分由桶底提供，因此桶底對水產(chǎn)生向下的壓力 。 例 2：汽車質(zhì)量 m 為 104 不變的速率先后駛過凹圖 3 - 10 - 頁 共 14 頁 形路面和凸形路面，路面圓弧半徑均為 15 m，如圖 3示如果路面承受的最大壓力不得超過 2 105 N，汽車允許的最大速率是多少？汽車以此速率駛過路面的最小壓力是多少？ 【 審題 】 首先要確定汽車在何位置時對路面的壓力最大，汽車經(jīng)過凹形路面時，向心加速度方向向上，汽車處于超重狀態(tài)；經(jīng)過凸形路面時，向心加速度向下，汽車處 于失重狀態(tài)，所以汽車經(jīng)過凹形路面最低點時，汽車對路面的壓力最大。 【 解析 】 當汽 車經(jīng)過凹形路面最低點時，設(shè)路面支持力為 力情況如圖 3示，由牛頓第二定律， 有 要求 2 105 N 解得允許的最大速率 m/s 由上面分析知，汽車經(jīng)過凸形路面頂點時對路面壓力最小，設(shè)為 圖 3示，由牛頓第二定律有 解得 1 105 N。 【 總結(jié) 】 汽車過拱橋時，一定要按照實際情況受力分析，沿加速度方向列式。 （ 7）離心運動 離心現(xiàn)象條件分析 做圓周運動的物體，由于本身具有慣性，總是想沿著切線方向運動，只是由于向心力作用，使它不能沿切線方向飛出，而被限制著沿圓周運動，如圖 3 B 所示。 當產(chǎn)生向心力的合外力消失， F 0，物體便沿所在位置的切線方向飛出去，如圖 3A 所示。 當提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于應(yīng)當具有的向心力，即合外力不足以提供所需的向心力的情況下，物體沿切線與圓周之間的一條曲線運動，如圖 3示。 圖 3 3 3 - 11 - 頁 共 14 頁 在實際 中，有一些利用離心運動的機械，這些機械叫做離心機械。離心機械的種類很多，應(yīng)用也很廣。例如，離心干燥（脫水）器，離心分離器，離心水泵。 例 9： 一把雨傘邊緣的半徑為 r，且高出水平地面 h當雨傘以角速度 旋轉(zhuǎn)時，雨滴自邊緣甩出落在地面上成一個大圓周這個大圓的半徑為 _。 【 審題 】 想象著實際情況，當以一定速度旋轉(zhuǎn)雨傘時，雨滴甩出做離心運動，落在地上，形成 一個大圓。 【 解析 】雨滴離開雨傘的速度為 r 雨滴做平拋運動的時間為 t雨滴的水平位移為 s 雨滴落在地上形成的大圓的半徑為 Rr=r=s+r 222222 【 總結(jié) 】 通過題目的分析，雨滴從傘邊 緣沿 切線方向，以一定的初速度飛出，豎直方向上是自由落體運動，雨滴做的是平拋運動，把 示意圖 畫出來，通過 示意圖 就可以求出大圓半徑。 （ 8）難點突破 圓周運動的功和能 應(yīng)用圓周運動的規(guī)律解決實際生活中的問題，由于較多知識交織在一起，所以分析問題時利用能量守恒定律和機械能守恒定律的特點作為解題的切入點，可能大大 降低 難度。 例 9： 使一小球沿半徑為 R 的圓形軌道從最低點上升，那么需給它最小速度為多大時，才能使它達到軌道的最高點？ 【 審題 】 小球到達最高點 A 時的速度 則小球早在到達 A 點之前就離開了圓形軌道。要使小球到達 A 點（自然不脫離圓形軌道），則小球在 A 點的速度必須滿足 A= 式中， 式表示小球在 A 點作圓周運動所需要的向心力由軌道對它的彈力和它本身的重力共同提供。當 時， 這 就是說，要使小球到達 A 點，則應(yīng)該使小球在 A 點具有的速度 【 解析 】 以小球為研究對象。小球在軌道最高點時，受重力和軌道給的彈力。 小球在圓形軌道最高點 A 時滿足方程 根據(jù)機械能守恒，小球在圓形軌道最低點 B 時的速度滿足方程 22mg+ （ 2） 解 (1)， (2)方程組得 圖 3 - 12 -