2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測（十八）圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題（大題練）.docx

課時(shí)跟蹤檢測（十八） 圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題（大題練）A卷大題保分練1(2018長春模擬)已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且經(jīng)過E.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若，且20)，聯(lián)立方程整理得y2y90，1440，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，又，所以y1y2，所以y1y2(y1y2)2，則，2，因?yàn)?3，所以2，即0，解得0b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，由M(a，b)，N(a，b)，F(xiàn)2和F1這4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)高為，面積為3的等腰梯形(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)F1的直線和橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求F2AB面積的最大值解：(1)由已知條件，得b，且3，ac3.又a2c23，a2，c1，橢圓的方程為1.(2)顯然直線的斜率不能為0，設(shè)直線的方程為xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立方程消去x得，(3m24)y26my90.直線過橢圓內(nèi)的點(diǎn)，無論m為何值，直線和橢圓總相交y1y2，y1y2.SF2AB|F1F2|y1y2|y1y2|1244，令tm211，設(shè)f(t)t，易知t時(shí)，函數(shù)f(t)單調(diào)遞減，t時(shí)，函數(shù)f(t)單調(diào)遞增，當(dāng)tm211，即m0時(shí)，f(t)取得最小值，f(t)min，此時(shí)SF2AB取得最大值3.3(2018鄭州模擬)已知圓C：x2y22x2y10和拋物線E：y22px(p0)，圓心C到拋物線焦點(diǎn)F的距離為.(1)求拋物線E的方程；(2)不過原點(diǎn)O的動直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且滿足OAOB，設(shè)點(diǎn)M為圓C上一動點(diǎn)，求當(dāng)動點(diǎn)M到直線l的距離最大時(shí)的直線l的方程解：(1)x2y22x2y10可化為(x1)2(y1)21，則圓心C的坐標(biāo)為(1,1)F，|CF| ，解得p6.拋物線E的方程為y212x.(2)顯然直線l的斜率非零，設(shè)直線l的方程為xmyt(t0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y212my12t0，(12m)248t48(3m2t)0，y1y212m，y1y212t，由OAOB，得0，x1x2y1y20，即(m21)y1y2mt(y1y2)t20，整理可得t212t0，t0，t12，滿足0，符合題意直線l的方程為xmy12，故直線l過定點(diǎn)P(12,0)當(dāng)CPl，即線段MP經(jīng)過圓心C(1,1)時(shí)，動點(diǎn)M到動直線l的距離取得最大值，此時(shí)kCP，得m，此時(shí)直線l的方程為xy12，即13xy1560.4(2018全國卷)已知斜率為k的直線l與橢圓C：1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m0)(1)證明：k；(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且0.證明：|，|，|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差證明：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k得k0.由題設(shè)知1，m，于是k.由題設(shè)得0m，故k.(2)由題意得F(1,0)設(shè)P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及題設(shè)得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2mb0且a，b2均為整數(shù))過點(diǎn)，且右頂點(diǎn)到直線l：x4的距離為2.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，l1與橢圓交于點(diǎn)A，B，l2與橢圓交于點(diǎn)C，D.求四邊形ACBD面積的最小值解：(1)由題意，得1，且|4a|2，若a2，則b23；若a6，則b2(舍去)，所以橢圓的方程為1.(2)由(1)知，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)當(dāng)l1，l2中有一條直線的斜率不存在時(shí)，可得|AB|4，|CD|3或者|AB|3，|CD|4，此時(shí)四邊形ACBD的面積S436.當(dāng)l1，l2的斜率均存在時(shí)，設(shè)直線l1的斜率為k，則k0，且直線l2的斜率為.直線l1：yk(x1)，l2：y(x1)聯(lián)立得(34k2)x28k2x4k2120.由直線l1過橢圓內(nèi)的點(diǎn)，知0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.|AB|x1x2|.以代替k，得|CD|.所以四邊形ACBD的面積S|AB|CD|，當(dāng)且僅當(dāng)k21，即k1時(shí)等號成立由于b0)，定義橢圓C的“相關(guān)圓”方程為x2y2.若拋物線y24x的焦點(diǎn)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形(1)求橢圓C的方程和“相關(guān)圓”E的方程；(2)過“相關(guān)圓”E上任意一點(diǎn)P作“相關(guān)圓”E的切線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)證明：AOB為定值解：(1)因?yàn)閽佄锞€y24x的焦點(diǎn)(1,0)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，所以c1.又橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，所以bc1，故橢圓C的方程為y21，“相關(guān)圓”E的方程為x2y2.(2)證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線AB的方程為x，A，B，則AOB.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得x22(kxm)22，即(12k2)x24kmx2m220，16k2m24(12k2)(2m22)8(2k2m21)0，即2k2m210，因?yàn)橹本€l與“相關(guān)圓”E相切，所以，即3m222k2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2m20，所以，所以AOB.綜上，AOB，為定值3已知橢圓C1：1(ab1)的離心率為，其右焦點(diǎn)到直線2axby0的距離為.(1)求橢圓C1的方程；(2)過點(diǎn)P的直線l交橢圓C1于A，B兩點(diǎn)證明：以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)解：(1)由題意，e，e2，a22b2.所以ab，cb.又，ab1，所以b1，a22，故橢圓C1的方程為y21.(2)證明：當(dāng)ABx軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x2y21.當(dāng)ABy軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x22，由可得由此可知，若以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必為Q(0,1)下證Q(0,1)符合題意當(dāng)AB不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)直線AB方程為ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(12k2)x2kx0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2，x1x2，(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2(1k2)x1x2k(x1x2)(1k2)k0，故，即Q(0,1)在以AB為直徑的圓上綜上，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)(0,1)4(2018沈陽模擬)已知橢圓1(ab0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|6，直線ykx與橢圓交于A，B兩點(diǎn)(1)若AF1F2的周長為16，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若k，且A，B，F(xiàn)1，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率e的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)P(x0，y0)為橢圓上一點(diǎn)，且直線PA的斜率k1(2，1)，試求直線PB的斜率k2的取值范圍解：(1)由題意得c3，根據(jù)2a2c16，得a5.結(jié)合a2b2c2，解得a225，b216.所以橢圓的方程為1.(2)由得x2a2b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1x20，x1x2，由AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓，易知，AF2BF2，因?yàn)?x13