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幾何經(jīng)典難題1、已知:如圖,O是半圓的圓心,C、E是圓上的兩點(diǎn),CDAB,EFAB,EGCOAFGCEBOD求證:CDGF(初三)APCDB2、已知:如圖,P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn),PADPDA150 求證:PBC是正三角形(初二)D2C2B2A2D1C1B1CBDAA13、如圖,已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)求證:四邊形A2B2C2D2是正方形(初二)ANFECDMB4、已知:如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn),AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F求證:DENF5、已知:ABC中,H為垂心(各邊高線的交點(diǎn)),O為外心,且OMBC于MADHEMCBO(1)求證:AH2OM;(2)若BAC600,求證:AHAO(初三)GAODBECQPNM6、設(shè)MN是圓O外一直線,過(guò)O作OAMN于A,自A引圓的兩條直線,交圓于B、C及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q求證:APAQ(初三)7、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi),則由此可得以下命題:OQPBDECNMA設(shè)MN是圓O的弦,過(guò)MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE,設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q求證:APAQ(初三 )PCGFBQADE8、如圖,分別以ABC的AC和BC為一邊,在ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)求證:點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半(初二)9、如圖,四邊形ABCD為正方形,DEAC,AEAC,AE與CD相交于FAFDECB求證:CECF(初二)10、如圖,四邊形ABCD為正方形,DEAC,且CECA,直線EC交DA延長(zhǎng)線于FEDACBF求證:AEAF(初二)11、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn),PFAP,CF平分DCEDFEPCBA求證:PAPF(初二)ODBFAECP12、如圖,PC切圓O于C,AC為圓的直徑,PEF為圓的割線,AE、AF與直線PO相交于B、D求證:ABDC,BCAD(初三)13、已知:ABC是正三角形,P是三角形內(nèi)一點(diǎn),PA3,PB4,PC5APCB求:APB的度數(shù)(初二)14、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn),且PBAPDAPADCB求證:PABPCB(初二)CBDA15、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形,求證:ABCDADBCACBD(初三)16、平行四邊形ABCD中,設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn),AE與CF相交于P,且FPDECBAAECF求證:DPADPC(初二)17、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正ABC內(nèi)任一點(diǎn),LPAPBPC,求證:L2ACBPDAPCB18、已知:P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),求PAPBPC的最小值A(chǔ)CBPD19、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),并且PAa,PB2a,PC3a,求正方形的邊長(zhǎng)EDCBA20、如圖,ABC中,ABCACB800,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),DCA300,EBA200,求BED的度數(shù)解答1.如下圖做GHAB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓,所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又CO=EO,所以CD=GF得證。2. 如下圖做DGC使與ADP全等,可得PDG為等邊,從而可得DGCAPDCGP,得出PC=AD=DC,和DCG=PCG150所以DCP=300 ,從而得出PBC是正三角形3.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn),連接EB2并延長(zhǎng)交C2Q于H點(diǎn),連接FB2并延長(zhǎng)交A2Q于G點(diǎn),由A2E=A1B1=B1C1= FB2 ,EB2=AB=BC=FC1 ,又GFQ+Q=900和GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ又B2FC2=A2EB2 ,可得B2FC2A2EB2 ,所以A2B2=B2C2 , 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 ,從而可得A2B2 C2=900 ,同理可得其他邊垂直且相等,從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q,連接QN和QM,所以可得QMF=F,QNM=DEN和QMN=QNM,從而得出DENF。5.(1)延長(zhǎng)AD到F連BF,做OGAF,又F=ACB=BHD,可得BH=BF,從而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接OB,OC,既得BOC=1200, 從而可得BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。6.證明:作E點(diǎn)關(guān)于GA的對(duì)稱點(diǎn)F,連FQ、FA,F(xiàn)C,OAMN,EFOA,則有FAP=EAQ,EAP=FAQ,F(xiàn)A=EA,PAF=AFE=AEF=180-FCD,PAF=180-FAQ,F(xiàn)CD=FAQ,F(xiàn)CAQ四點(diǎn)共圓,AFQ=ACQ=BED,在EPA和FQA中PEA=QFAAF=AEPAE=QAF,EPAFQA,AP=AQ7.作OFCD,OGBE,連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。 由于, 由此可得ADFABG,從而可得AFC=AGE。 又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓,可得AFC=AOP和AGE=AOQ, AOP=AOQ,從而可得AP=AQ。8.過(guò)E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG,CI,F(xiàn)H??傻肞Q=。 由EGAAIC,可得EG=AI,由BFHCBI,可得FH=BI。 從而可得PQ= = ,從而得證。9.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ADE,到ABG,連接CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 從而可得B,G,D在一條直線上,可得AGBCGB。 推出AE=AG=AC=GC,可得AGC為等邊三角形。 AGB=300,既得EAC=300,從而可得A EC=750。 又EFC=DFA=450+300=750. 可證:CE=CF。10.連接BD作CHDE,可得四邊形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH, 可得CEH=300,所以CAE=CEA=AED=150,又FAE=900+450+150=1500,從而可知道F=150,從而得出AE=AF。11.作FGCD,F(xiàn)EBE,可以得出GFEC為正方形。 令A(yù)B=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF=,可得YZ=XY-X2+XZ, 即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出ABPPEF , 得到PAPF ,得證 。12.證明:作CQPD于Q,連接EO,EQ,EC,OF,QF,CF,所以PC2=PQPO(射影定理),又PC2=PEPF,所以EFOQ四點(diǎn)共圓,EQF=EOF=2BAD,又PQE=OFE=OEF=OQF,而CQPD,所以EQC=FQC,因?yàn)锳EC=PQC=90,故B、E、C、Q四點(diǎn)共圓,所以EBC=EQC=1/2EQF=1/2EOF=BAD,CBAD,所以BO=DO,即四邊形ABCD是平行四邊形,AB=DC,BC=AD13.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABP 600 ,連接PQ ,則PBQ是正三角形??傻肞QC是直角三角形。所以APB=1500 。14.作過(guò)P點(diǎn)平行于AD的直線,并選一點(diǎn)E,使AEDC,BEPC.可以得出ABP=ADP=AEP,可得:AEBP共圓(一邊所對(duì)兩角相等)。可得BAP=BEP=BCP,得證。15.在BD取一點(diǎn)E,使BCE=ACD,既得BECADC,可得: =,即ADBC=BEAC, 又ACB=DCE,可得ABCDEC,既得 =,即ABCD=DEAC, 由+可得: ABCD+ADBC=AC(BE+DE)= ACBD ,得證。16.過(guò)D作AQAE ,AGCF ,由=,可得: =,由AE=FC。 可得DQ=DG,可得DPADPC(角平分線逆定理)。17.(1)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BPC 600 ,可得PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上,即如下圖:可得最小L= ; (2)過(guò)P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D,F(xiàn)。 由于APDATP=ADP,推出ADAP 又BP+DPBP 和PF+FCPC 又DF=AF 由可得:最大L 2 ; 由(1)和(2)既得:L2 。 18.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BPC 600 ,可得PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上,即如下圖:可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF= = = = = = 。19.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABP 900 ,可得如下圖: 既得正方形邊長(zhǎng)L = = 。20.在AB上找一點(diǎn)F,使BCF=600 , 連接EF,DG,既得
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