高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章 本章小結(jié).ppt

選修2 1第三章空間向量與立體幾何 本章小結(jié) 1 復(fù)習(xí)目標(biāo) 1 回顧本章知識 了解本章知識結(jié)構(gòu) 各知識點(diǎn)之間聯(lián)系2 能利用向量方法解決必修2中常見題型 比較兩種方法的優(yōu)劣3 歸納總結(jié)本章常見題型的解題方法和策略 知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu) 熱點(diǎn)專題剖析 一 空間向量的線性運(yùn)算選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量 并用它們表示出指定的向量 是用向量解決立體幾何問題的基本要求 解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形 聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等 就近表示所需向量 再對照目標(biāo) 將不符合目標(biāo)要求的向量作新的調(diào)整 如此反復(fù) 直到所有向量都符合目標(biāo)要求 評析 用已知向量表示未知向量 一定要結(jié)合圖形 以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵 二 空間向量與線面位置關(guān)系證明平行問題 除了應(yīng)用傳統(tǒng)的線面平行的判定定理外 還可以利用向量共線及平面的法向量進(jìn)行證明 證明垂直問題 除了應(yīng)用傳統(tǒng)的垂直問題的判定定理外 還可利用向量數(shù)量積進(jìn)行判斷 是非常有效的方法 例2 如圖2 在矩形ABCD中AB 2BC P Q分別為線段AB CD的中點(diǎn) EP 平面ABCD 1 求證 AQ 平面CEP 2 求證 平面AEQ 平面DEP 分析 證明線面平行問題 可以利用與平面內(nèi)的直線平行進(jìn)行判定 也可以利用直線與平面的法向量垂直 也可用傳統(tǒng)方法求證 面面垂直可以利用面面垂直的判定定理求證 也可用向量法求證 同時(shí) 也可用兩平面的法向量垂直求證 證法一 1 EP 矩形ABCD所在的平面 且P Q均為AB DC的中點(diǎn) PQ AB 故以P為坐標(biāo)原點(diǎn) 以PA PQ PE分別為x軸 y軸 z軸建系如右圖3 令A(yù)B 2 PE a 則A 1 0 0 Q 0 1 0 E 0 0 a C 1 1 0 即AQ PD AQ PE AQ 面EPD AQ 面AEQ 面AEQ 面DEP 證法二 傳統(tǒng)法 1 在矩形ABCD中 AP PB DQ QC AP綊QC 四邊形AQCP為平行四邊形 CP AQ CP 平面CEP AQ 平面CEP AQ 平面CEP 2 EP 平面ABCD AQ 平面ABCD AQ EP AB 2BC P為AB中點(diǎn) AP AD 連結(jié)PQ 則ADQP為正方形 AQ DP EP DP P AQ 平面DEP AQ 面AEQ 面AEQ 面DEP 三 空間向量與空間角1 縱觀近幾年高考發(fā)現(xiàn) 對于空間角的考查 每年都有 不論在選擇 還是填空中均有考查 而解答題中更是考查重點(diǎn) 因此空間角必是高考的一個(gè)生長點(diǎn) 2 對于空間角中線線角 線面角及二面角 一是利用傳統(tǒng)解法 如平移法 利用定義求解等 但向量法求解更能體現(xiàn)解題的優(yōu)越性 例3 如圖4所示 在長方體ABCD A1B1C1D1中 AB 5 AD 8 AA1 4 M為B1C1上一點(diǎn)且B1M 2 點(diǎn)N在線段A1D上 A1D AN 解 1 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖5 例4 如圖6 在直三棱柱ABC A1B1C1中 平面A1BC 側(cè)面A1ABB1 1 求證 AB BC 2 若直線AC與平面A1BC所成的角為 二面角A1 BC A的大小為 試判斷 與 的大小關(guān)系 并予以證明 解 1 證明 如圖6 過點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作AD A1B于D 則由平面A1BC 側(cè)面A1ABB1 且平面A1BC 側(cè)面A1ABB1 A1B 得AD 平面A1BC 又BC 平面A1BC AD BC 三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱 則AA1 底面ABC AA1 BC 又AA1 AD A 從而BC 側(cè)面A1ABB1 又AB 側(cè)面A1ABB1 故AB BC 2 解 由 1 知 以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn) 以BC BA BB1所在的直線分別為x軸 y軸 z軸 建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系 評析 要建立空間直角坐標(biāo)系 先要有三條互相垂直且交于一點(diǎn)的直線 四 空間向量與空間距離空間距離在高考中考查較多的是兩點(diǎn)距和點(diǎn)面距 兩點(diǎn)距主要利用向量的模即兩點(diǎn)間的距離公式求解 點(diǎn)面距利用平面的法向量代入公式求解 有了向量 距離的求法也都公式化了 例5 在長方體OABC O1A1B1C1中 OA 2 AB 3 AA1 2 E是BC的中點(diǎn) 1 求直線AO1與B1E所成角的余弦值 2 作O1D AC于D 求點(diǎn)O1到點(diǎn)D的距離 解 1 以O(shè)為原點(diǎn) 分別以 為x軸 y軸 z軸的正方向 如圖8建立空間直角坐標(biāo)系 OA 2 AB 3 AA1 2 E是BC的中點(diǎn) A 2 0 0 O1 0 0 2 B1 2 3 2 E 1 3 0 五 利用空間解決探索存在性問題存在性問題要在一定條件下論證會(huì)不會(huì)出現(xiàn)某個(gè)結(jié)論 這類題型常以適合某種條件的結(jié)論 存在 不存在 是否存在 等語句表述 解答這類問題 一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè) 然后由此肯定的假設(shè)出發(fā) 結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證 若導(dǎo)致合理的結(jié)論 則存在性也隨之解決 若導(dǎo)致矛盾 則否定了存在性 例6 如圖9所示 直三棱柱ABC A1B1C1中 底面是以 ABC為直角的等腰直角三角形 AC 2a BB1 3a D是A1C1的中點(diǎn) 在線段AA1上是否存在點(diǎn)F 使CF 平面B1DF