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文檔簡介

第二講 集合的運算一、知識梳理(1)集合的基本運算集合與集合B的交集:由所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合,記作,即;集合與集合的并集:由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合,記作,即;在研究某一集合問題過程中,所有集合都是一個給定集合的子集,這個給定集合就稱為全集,記作,設,由中所有不屬于集合的元素組成的集合,叫做集合在集合中的補集,記作,即.(2)集合運算的性質性質:.; .; .; .若,則和; .;.二、典型例題講解【例1】設集合.若,求實數(shù)a的值【思維分析】條件,又可分為三種情況,故須先求,再對分類討論解:或非空或,且. 當,即時,由一元二次方程根與系數(shù)的關系得, 當非空,即或時, 時,而時,此時,故舍去 時,同樣此時舍去,而時,此時,故舍也去. 當時, 綜上所述,.【例2】如圖所示,I是全集,M、P、S是I的3個子集,則陰影部分所表示的集合是( )AB CD 解:此陰影部分是屬于M且屬于P,即 。但又不屬于S集,所以為,故選C?!纠?】設, ,若A、B、C中至少有一個不是空集,求實數(shù)a的取值范圍.思維分析:本題可以從兩個角度出發(fā),一是直接求;二是從反面出發(fā),先將問題的反面結果求出來,再求其補集即為結果。解法一:若,則,解之得; 若,則,解之得; 若,則,解之得; 故由題意,a的取值范圍 .解法二:若A、B、C都是空集,則 ,解之得,從而a范圍.評注:處理含參數(shù)集合問題時,要注意端點值的取舍,必要時可單獨考慮.三、課堂練習(1)基礎訓練1下列各式正確的是( )A BC D解析:A中式子左邊不表示集合,故;B中;C中 .答案:D2如果集合,那么()A B C D解析:元素和集合之間用和連結;集合與集合之間用和連結.答案:D3若I=1, 2, 3, 4, 5, 6,M=1, 3, 4,則等于()A4, 5, 6 B1, 5, 6 C2, 3, 5 D2, 5, 6解析:根據(jù)補集的概念答案:D4己知,,則() A B R C D解析:根據(jù)并集概念答案:B5設,,則()A B C D解析:,則.答案:B6設全集為實數(shù)集R,集合, ,則下列關系一定成立的是()AAB BBA CD解析:,則AB.答案:A7已知全集I=1,2,則I的真子集的個數(shù)為()A1B2C3D4解析:I的真子集的個數(shù)為答案:D8已知集合A,B,且AB,則 ( )AAB=A BAB=B CAB=B DAB=解析:AB可以得出以下結論:AB=B, AB=A答案:C9設全集,集合,則的值是 ( )A2 B8 C-2或8 D2或8解析:(驗證)若,則,不合條件,若,則, ,滿足條件;若,則,仍符合條件,則a的值為2或8.答案:D10已知集合,則MN= ( ) A BC D解析:,則MN=答案:B11設全集,則集合等于 ( ) A B C D解析:(驗證),.答案:A12設集合,.若,則實數(shù) 的取值范圍是 ( )A B C D解析:,由答案:D13已知集合,若,則實數(shù)m的取值范圍是 ( )A B C D解析:(檢驗)若,則B=1不合條件,若則B=符合條件答案:D14如圖,U是全集,M,N,S是U的子集,則圖中陰影部分所示的集合是 ( )A BC D解析:陰影部分在S中不在M和N中,排除C和D,而B中答案:A15設A=等于 ( )A0 B0 C D1,0,1解析:,則=0答案:B16設集合,則滿足的集合的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析:其實本題不需要求出,因為二元一次方程組最多只有一個解,利用數(shù)形結合的思想,本題中兩條直線的斜率不等,故有一個元素,其子集有2個.答案:C17設集合若,則實數(shù)a的取值范圍( )A B C D解析:說明A非空,也就是方程有實數(shù)解,即 答案:B18、用集合表示右圖的陰影部分為()A BC D解析:陰影部分在M和P中不在S中.答案:C19設全集,集合,則等于()ABCD解析:,從而.答案:B20設,則等于()A0B1,2C3,4D1,2,3,4解析:,則答案:C21已知集合,則AB=( )A B C(0,0) D0解析: AB=.答案:A22若集合,且,則實數(shù)m的可取值組成的集合是( )A B C D解析:,由于,若,根據(jù)數(shù)形結合思想,直線與x軸無交點,即斜率;若,則;若,則.答案:C23已知全集S=1,2,3,4,5,6,7,8,9,A、B都是全集S的子集,且B=1,9,AB=2,=4,6,8,那么A、B分別為( )A2,3,5,7、1,2,9 B1,2,9、2,3,5,7 C2,3,5,7、2,9 D2,5,7、1,2,9解析:根據(jù)題目中條件,知A中含2,不含1,4,6,8,9;B中含1,2,9,不含4,6,8,排除B,C,根據(jù)=4,6,8,A,B中有且有一個含3答案:A24設全集I=不大于10的自然數(shù),A=1,4,7,B=2,4,6,則CIAB= 解析:CIA=0,2,3,5,6,8,9,10,則CIAB=2,6答案:2,625設集合,則AB= .解析:根據(jù)數(shù)形結合思想,聯(lián)立方程即可得AB=答案:26設集合A=m|關于x的方程x2-2x+m=0有實根,mR, B=m|關于x的二次方程mx2-x+1=0無實根,mR,則AB= .解析:由得,對于B,首先,其次由 得,AB=答案:27不等式的解集是,則 .解析:由根與系數(shù)的關系,得答案:728已知集合P=和Q=,若PQ,則b的取值范圍是 解析:P與Q均是點集,兩者交集,即為兩者圖像的交點,而由于PQ,說明二者圖像不相交,根據(jù)函數(shù)解析式發(fā)現(xiàn)P表示的是:以原點為圓心,5為半徑的下半圓;Q表示的是:斜率為1過點的直線,我們先找臨界點,即當直線與半圓只有一個交點時,根據(jù)圖像在下方有一點相切,此時應滿足原點到直線距離,得 ,觀察發(fā)現(xiàn)應,上面還有一臨界點是,此時,根據(jù)圖像得b的范圍為或答案:或29集合A中有m個元素,若在A中增加一個元素,則它的子集個數(shù)將增加 個.解析:答案:30設集合,則的元素個數(shù)為 _個.解析:,.答案:131已知集合,若,則實數(shù)的取值范圍為.解析:由于且,則答案:32設集合,且全集,則到的映射共有個.解析:,由于全集為Z,即在整數(shù)集中考慮,則.A中每個元素的象有3中可能,從而映射共有個映射.答案:9評注:當所處理的集合問題中,告訴了全集就表示在這個全集下考慮問題.33已知全集,集合,則解析:,從而答案:34已知集合,則 解析:兩集合均表示一元二次函數(shù)的值域, ,則.答案:35滿足的集合B的個數(shù)是 解析:B必須包含z,而另外的兩個元素分別有兩種選擇,即在B中或不在B中,從而集合B的個數(shù)為個.答案:436已知集合,且則的值為 解析:.若,即時, 符合條件;若,即時, 或都符合條件; 若,即時,符合條件.答案:37設 .若,求a的值.解: B至多有兩個元素.,根據(jù)根與系數(shù)的關系,得.38已知為全集,求解 由已知因為為減函數(shù),所由 解得,所以由,解得,所以于是故39設若,求實數(shù)的值解:, 而, 當時,即直線與x軸平行,也就是; 當時,; 當時,; 當時,不存在.綜上所述,的值為.評注:注意空集是任何集合的子集.40.已知命題。若,求實數(shù)的值.解:由題意可知:或由,可得即有(2)能力培養(yǎng)41設P、Q為兩個非空實數(shù)集合,定義集合P+Q=,則P+Q中元素的個數(shù)是( )A6B7C8D 9解析:答案:C42若AB=a,b,AB=a,b,c,d,則符合條件的不同的集合A、B有 ( )A16對 B8對 C4對 D3對解析:a,b兩元素都在A,B中,而c要么在A中要么在B中,d要么在A中要么在B中,所以符合條件的不同的集合A、B有對答案:C43已知集合A是全集S的任一子集,下列關系中正確的是( ) A B C D解析:當時,答案A錯;當時,答案B錯;D中應該.答案:C44設全集,集合,則集合等于( )A()() B()N C()() DM()解析:中元素不在M和N中,答案:A45.給出了以下三個命題:;.其中正確命題的個數(shù)是().A.0 B.1 C.2 D.3解析:為真,為假.答案:C46.已知集合,如果集合恰有四個不同的子集,那么實數(shù)的取值范圍為 .解析:集合恰有四個不同的子集,說明有兩個元素,P與Q均表示點集,根據(jù)圖像,P表示的直線應該與Q表示的圓有兩個交點,先求相切時的情形,即圓心到 直線的距離,得或,從而b的取值范圍為.答案:47.設集合,則的取值范圍是 .解析:A表示兩半平面并,B表示一個半平面,說明兩者區(qū)域有重合部分,如圖: XOY22-2y=x-2y=-x+2y=-x+b則答案:48對于集合.若有集合S滿足,則這樣的S有_個.解析:易知,有,則可以這樣組成,問題歸結為求A的個數(shù),亦即集合6,12,27的子集數(shù),所以,S有23=8個.答案:849已知全集,如果,則這樣的實數(shù)x是否存在?若存在,求出x,若不存在,說明理由.解:,但,故當時,A中已有元素1;當時,3S;當時,但5S.故實數(shù)x的值存在,它只能是.50已知函數(shù)的定義域為集合,函數(shù)的定義域為集合,若,求實數(shù)的值及實數(shù)的取值范圍.解:, 又即不等式的解集為由,方程的兩根都在解得故, 51.設集合,且,求實數(shù)的取值范圍。解:由題意可得:又,即有時,時,時,顯然不滿足題意綜上所述,所求的實數(shù)的取值范圍為或(3)探究創(chuàng)新四、同步練習1如果集合,那么()等于( )A B C D 2. 設集合,若,則的取值范圍是( )A B C D 3若集合,且,則 4已知集合Mx|1x10,xN,對它的非空子集A,將A中每個元素k,都乘以(1)k再求和(如A=1,3,6,可求得和為(1)1(1)33(1)662,則對M的所有非空子集,這些和的總和是 5設,函數(shù)若的解集為A,求實數(shù)的取值范圍。參考答案:1、D 2、C 3、或 4、25605、解:,令f(x)0解得其兩根為由此可知(i)當時,的充要條件是,即解得(ii)當時,的充要條件是,即解得綜上,使成立的a的取值范圍為.五、高考鏈接1(2009全國卷理)設集合,全集U=AB,則集合中的元素共有( )A3個 B4個 C5個 D6個 解析:,故選A。也可用德摩根律:答案:A2(2007遼寧理)設集合,則( ) A B C D解析:可以直接算,但用德摩根律:更方便快捷答案:B3(2009浙江理)設,則( ) A B C D 解析:對于,因此答案:B 4(2009浙江理)設,則( ) A B C D . 解析:對于,因此答案:B 5(2009北京文)設集合,則( ) A B C D解析:, ,故選A.答案:A6(2009山東卷理)集合,若,則的值為( )A.0 B.1 C.2 D.4解析:,故選D.答案:D7(2009廣東卷理)已知全集,集合和的關系的韋恩(Venn)圖如圖1所示,則陰影部分所示的集合的元素共有( )A. 3個 B. 2個C. 1個 D. 無窮多個解析:由得,則,有2個

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