2009年全國高考文科數(shù)學(xué)試題及答案-全國1.pdf

2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 文科數(shù)學(xué) 必修 選修 2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 文科數(shù)學(xué) 必修 選修 本試卷分第卷 選擇題 和第卷 非選擇題 兩部分 第卷本試卷分第卷 選擇題 和第卷 非選擇題 兩部分 第卷 1 至至 2 頁 第卷頁 第卷 3 至至 4 頁 考 試結(jié)束后 將本試卷和答題卡一并交回 頁 考 試結(jié)束后 將本試卷和答題卡一并交回 第 卷第 卷 注意事項 注意事項 1 答題前 考生在答題卡上務(wù)必用直徑 答題前 考生在答題卡上務(wù)必用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名 準(zhǔn)考 證號 填寫清楚 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名 準(zhǔn)考 證號 填寫清楚 并貼好條形碼 請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號 姓名和科目 并貼好條形碼 請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號 姓名和科目 2 每小題選出答案后 用 每小題選出答案后 用 2 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑 如需改動 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標(biāo)號 在試題卷上作答無效 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑 如需改動 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標(biāo)號 在試題卷上作答無效 3 本卷共 本卷共 12 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 60 分 在每小題給出的四個選項中 只有一項是 符合題目要求的 分 在每小題給出的四個選項中 只有一項是 符合題目要求的 參考公式 參考公式 如果事件AB 互斥 那么 球的表面積公式 P ABP AP B 2 4 SR 如果事件AB 相互獨立 那么 其中R表示球的半徑 P A BP A P B 球的體積公式 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P 那么 3 4 3 VR n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑 1 01 2 kkn k nn P kC PPkn 一 選擇題一 選擇題 1 o 585sin的值為 A 2 2 B 2 2 C 3 2 D 3 2 解析 本小題考查誘導(dǎo)公式 特殊角的三角函數(shù)值 基礎(chǔ)題 解 2 2 45sin 45180sin 225360sin 585sin oooooo 故選擇 A 2 設(shè)集合 A 4 5 7 9 B 3 4 7 8 9 全集UAB 則集合 U AB 中 的元素共有 A 3 個 B 4 個 C 5 個 D 6 個 解析 本小題考查集合的運算 基礎(chǔ)題 同理 1 解 3 4 5 7 8 9 AB 4 7 9 3 5 8 U ABAB 故選 A 也可用摩根 定律 故選 A 也可用摩根 定律 UUU ABAB 痧 3 不等式1 1 1 x x 的解集為 A 011xxx x B 01xx C 10 xx D 0 x x 解析 本小題考查解含有絕對值的不等式 基礎(chǔ)題 解 0040 1 1 1 1 1 1 1 22 xxxxxx x x 故選擇 D 4 已知 tana 4 cot 1 3 則 tan a A 7 11 B 7 11 C 7 13 D 7 13 解析 本小題考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系 正切的和角公式 基礎(chǔ)題 解 由題3tan 11 7 121 34 tantan1 tantan tan 故選擇 B 5 設(shè)雙曲線 22 22 00 xy ab ab 1 的漸近線與拋物線 2 1y x 相切 則該雙曲線的 離心率等于 A 3 B 2 C 5 D 6 解析 本小題考查雙曲線的漸近線方程 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 雙曲線的離心率 基礎(chǔ)題 解 由題雙曲線 22 22 00 xy ab ab 1 的一條漸近線方程為 a bx y 代入拋物線方程 整 理 得0 2 abxax 因 漸 近 線 與 拋 物 線 相 切 所 以04 22 ab 即 55 22 eac 故選擇 C 6 已知函數(shù) f x的反函數(shù)為 10g xx 2lgx 則 1 1 gf A 0 B 1 C 2 D 4 解析 本小題考查反函數(shù) 基礎(chǔ)題 解 由題令1lg21 x得1 x 即1 1 f 又1 1 g 所以2 1 1 gf 故選擇 C 7 甲組有 5 名男同學(xué) 3 名女同學(xué) 乙組有 6 名男同學(xué) 2 名女同學(xué) 若從甲 乙兩組中 各選出 2 名同學(xué) 則選出的 4 人中恰有 1 名女同學(xué)的不同選法共有 A 150 種 B 180 種 C 300 種 D 345 種 解析 本小題考查分類計算原理 分步計數(shù)原理 組合等問題 基礎(chǔ)題 解 由題共有345 2 6 1 3 1 5 1 2 1 6 2 5 CCCCCC 故選擇 D 8 設(shè)非零向量a b c滿足cbacba 則 ba A 150 B 120 C 60 D 30 解析 本小題考查向量的幾何運算 考查數(shù)形結(jié)合的思想 基礎(chǔ)題 解 由向量加法的平行四邊形法則 知a b可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊 且a b為起點處 的對角線長等于菱形的邊長 故選擇 B 9 已知三棱柱 111 ABCABC 的側(cè)棱與底面邊長都相等 1 A在底面ABC上的射影為BC 的中點 則異面直線AB與 1 CC所成的角的余弦值為 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 解析 本小題考查棱柱的性質(zhì) 異面直線所成的角 基礎(chǔ)題 同理 7 解 設(shè)BC的中點為 D 連結(jié) 1 AD AD 易知 1 A AB 即為異面直線AB與 1 CC所成的 角 由三角余弦定理 易知 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 故選 D 10 如果函數(shù)3cos 2 yx 的圖像關(guān)于點 4 0 3 中心對稱 那么 的最小值為 A 6 B 4 C 3 D 2 解析 本小題考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì) 基礎(chǔ)題 解 函數(shù) cos 2yx 3 的圖像關(guān)于點 4 3 0中心對稱 4 2 32 k 13 6 kkZ 由此易得 min 6 故選 A 11 已知二面角l 為 600 動點 P Q 分別在面 內(nèi) P 到 的距離為3 Q 到 的距離為2 3 則 P Q 兩點之間距離的最小值為 解析 本小題考查二面角 空間里的距離 最值問題 綜合題 同理 10 解 如圖分別作 QAA AClC PBB 于于于 PDlD 于 連 60 CQ BDACQPBD 則 2 3 3AQBP 2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 當(dāng)且僅當(dāng)0AP 即AP點 與點重合時取最小值 故答案選 C 12 已知橢圓 2 2 1 2 x Cy 的右焦點為 F 右準(zhǔn)線l 點Al 線段 AF 交 C 于點 B 若 3FAFB 則AF A 2 B 2 C 3 D 3 解析 本小題考查橢圓的準(zhǔn)線 向量的運用 橢圓的定義 基礎(chǔ)題 解 過點 B 作BMl 于 M 并設(shè)右準(zhǔn)線l與 X 軸的交點為 N 易知 FN 1 由題意3FAFB 故 2 3 BM 又由橢圓的第二定義 得 2 22 233 BF 2AF 故選 A 2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 文科數(shù)學(xué) 必修 2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 文科數(shù)學(xué) 必修 選修 選修 第 卷第 卷 Q A P B C D 注意事項 注意事項 1 答題前 考生先在答題卡上用直徑 答題前 考生先在答題卡上用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名 準(zhǔn)考證號填 寫清楚 然后貼好條形碼 請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號 姓名和科目 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名 準(zhǔn)考證號填 寫清楚 然后貼好條形碼 請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號 姓名和科目 2 第 卷共 第 卷共 7 頁 請用直徑頁 請用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答 在試題卷上作答無效 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答 在試題卷上作答無效 3 本卷共 本卷共 10 小題 共小題 共 90 分 分 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 20 分 把答案填在題中橫線上 分 把答案填在題中橫線上 注意 在試題卷上作答無效 注意 在試題卷上作答無效 13 10 xy 的展開式中 73 x y的系數(shù)與 37 x y的系數(shù)之和等于 解析 本小題考查二項展開式通項 基礎(chǔ)題 同理 13 解 因 rrrr r yxCT 10 101 1 所以有 373 101010 2240CCC 14 設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S 若 9 72S 則 249 aaa 解析 本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì) 前n項和 基礎(chǔ)題 同理 14 解 n a 是等差數(shù)列 由 9 72S 得 59 9 Sa 5 8a 2492945645 324aaaaaaaaaa 15 已知OA為球O的半徑 過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M 若圓 M的面積為3 則球O的表面積等于 解析 本小題考查球的截面圓性質(zhì) 球的表面積 基礎(chǔ)題 解 設(shè)球半徑為R 圓 M 的半徑為r 則 3 2 r 即3 2 r由題得3 2 22 R R 所以 1644 22 RR 16 若直線m被兩平行線 12 10 30lxylxy 與所截得的線段的長為22 則m的傾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正確答案的序號是 寫出所有正確答案的序號 解析 本小題考查直線的斜率 直線的傾斜角 兩條平行線間的距離 考查數(shù)形結(jié)合的思 想 解 兩平行線間的距離為2 11 13 d 由圖知直線m與 1 l的夾角為 o 30 1 l的傾斜 角為 o 45 所以直線m的傾斜角等于 00 754530 o 或 00 153045 o 故填寫 或 三 解答題 本大題共三 解答題 本大題共 6 小題 共小題 共 70 分分 解答應(yīng)寫出文字說明解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟證明過程或演算步驟 17 本小題滿分 10 分 注意注意 在試題卷上作答無效在試題卷上作答無效 設(shè)等差數(shù)列 n a 的前n項和為 n s 公比是正數(shù)的等比數(shù)列 n b 的前n項和為 n T 已知 113333 1 3 17 12 nn ababTSb 求 a的通項公式 解析 本小題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式 前n項和 基礎(chǔ)題 解 設(shè) n a的公差為d 數(shù)列 n b的公比為0 q 由 33 17ab 得 2 12317dq 33 12TS 得 2 4qqd 由 及0q 解得2 2 dq 故所求的通項公式為 1 12 1 21 3 2n nn annb 18 本小題滿分 12 分 注意 在試用題卷上作答無效 注意 在試用題卷上作答無效 在ABC 中 內(nèi)角ABC 的對邊長分別為abc 已知 22 2acb 且 sin4cossinBAC 求b 解析 本小題考查正弦定理 余弦定理 解 由余弦定理得Abcbcacos2 222 又 0 2 22 bbca bAbcb2cos2 2 即2cos2 Acb 由正弦定理得 sin sin bB cC 又由已知得 sin4cossinBAC sin 4cos sin B A C 所以4 cosbcA 故由 解得 4 b 19 本小題滿分 12 分 注決 在試題卷上作答無效 注決 在試題卷上作答無效 如圖 四棱錐SABCD 中 底面ABCD為矩形 SD 底面 ABCD 2AD 2DCSD 點M在 側(cè) 棱SC上 60ABM 證明 M是側(cè)棱SC的中點 求二面角SAMB 的大小 同理 18 解法一 解法一 I 作ME CD交SD于點 E 則ME AB ME 平面 SAD 連接 AE 則四邊形 ABME 為直角梯形 作MFAB 垂足為 F 則 AFME 為矩形 設(shè)MEx 則SEx 222 2 2AEEDADx 2 2 2 2MFAExFBx 由 2 tan60 2 23 2 MFFBxx 得 解得1x 即1ME 從而 1 2 MEDC 所以M為側(cè)棱SC的中點 22 2MBBCMC 又60 2ABMAB 所以ABM 為等邊三角形 又由 知 M 為 SC 中點 2 6 2SMSAAM 故 222 90SASMAMSMA 取 AM 中點 G 連結(jié) BG 取 SA 中點 H 連結(jié) GH 則 BGAM GHAM 由此知BGH 為二面角SAMB 的平面角 連接BH 在BGH 中 22 31222 3 2222 BGAMGHSMBHABAH 所以 222 6 cos 23 BGGHBH BGH BG GH 二面角SAMB 的大小為 6 arccos 3 解法二 解法二 以 D 為坐標(biāo)原點 射線 DA 為 x 軸正半軸 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 D xyz 設(shè) 2 0 0 A 則 2 2 0 0 2 0 0 0 2 BCS 設(shè) 0 SMMC 則 2222 0 2 1111 MMB 又 0 2 0 60ABMB AB 故 cos60MBABMBAB 即 222 422 2 111 解得1 即SMMC 所以 M 為側(cè)棱 SC 的中點 II 由 0 1 1 2 0 0 MA 得 AM 的中點 2 1 1 22 2 G 又 2 31 0 1 1 2 1 1 222 GBMSAM 0 0GBAMMSAM 所以 GBAM MSAM 因此 GB MS等于二面角SAMB 的平面角 6 cos 3 GB MS GB MS GBMS 所以二面角SAMB 的大小為 6 arccos 3 20 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 注意 在試題卷上作答無效 甲 乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽 約定先勝 3 局者獲得這次比賽的勝利 比賽結(jié)束 假 設(shè)在一局中 甲獲勝的概率為 0 6 乙獲勝的概率為 0 4 各局比賽結(jié)果相互獨立 已知前 2 局中 甲 乙各勝 1 局 求再賽 2 局結(jié)束這次比賽的概率 求甲獲得這次比賽勝利的概率 解析 本小題考查互斥事件有一個發(fā)生的概率 相互獨立事件同時發(fā)生的概率 綜 合題 解 記 第i局甲獲勝 為事件 5 4 3 iAi 第j局乙獲勝 為事件 3 4 5 j Bj 設(shè) 再賽 2 局結(jié)束這次比賽 為事件 A 則 4343 BBAAA 由于各局比賽結(jié)果相互獨立 故 34343434 P AP AABBP AAP BB 3434 P A P AP B P B 52 04 04 06 06 0 記 甲獲得這次比賽勝利 為事件 B 因前兩局中 甲 乙各勝 1 局 故甲獲得 這次比賽勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中 甲先勝 2 局 從而 54354343 ABAAABAAB 由于各局比賽結(jié)果相互獨立 故 54354343 ABAAABAAPBP 648 06 04 06 06 06 04 06 06 0 54354343 54354343 APBPAPAPAPBPAPAP ABAPAABPAAP 21 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 注意 在試題卷上作答無效 已知函數(shù) 42 36f xxx 討論 f x的單調(diào)性 設(shè)點 P 在曲線 yf x 上 若該曲線在點 P 處的切線l通過坐標(biāo)原點 求l的方 程 解析 本小題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 函數(shù)的單調(diào)性 綜合題 解 3 66 464 22 fxxxx xx 令 0fx 得0 2 6 x或 2 6 x 令 0fx 得 2 6 x或 2 6 0 x 因此 xf在區(qū)間 0 2 6 和 2 6 為增函數(shù) 在區(qū)間 2 6 和 2 6 0 為減函數(shù) 設(shè)點 00 xfxP 由l過原點知 l的方程為 0 yfx x 因此 000 f xx fx 即0 64 63 0 3 00 2 0 4 0 xxxxx 整理得0 2 1 2 0 2 0 xx 解得2 0 x或2 0 x 因此切線l的方程為xy2 或2 2yx 22 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 注意 在試題卷上作答無效 如圖 已知拋物線 2 E yx 與圓 222 4 0 Mxyrr 相交于 A B C D 四 個點 求r的取值范圍 當(dāng)四邊形 ABCD 的面積最大時 求對角線 AC BD 的交 點 P 的坐標(biāo) 解 解 將拋物線 2 E yx 代入圓 222 4 0 Mxyrr 的方程 消去 2 y 整理得 22 7160 xxr E與M有四個交點的充要條件是 方程 有兩個不相等的正根 12 xx 由此得 22 12 2 12 7 4 16 0 70 160 r xx xxr 解得 2 15 16 4 r 又0r 所以r的取值范圍是 15 4 2 II