比較簡單的練習題.pdf

常微分方程練習卷 三 綜合題常微分方程練習卷 三 綜合題 只提供部分方法 不提供具體答案 前兩大部分略只提供部分方法 不提供具體答案 前兩大部分略 感謝學習交流 by NOAK 47 感謝學習交流 by NOAK 47 選擇題 1 設 yf x 是方程 2 40yyy 的一個解 若 且 0 0f x 0 0fx 則函數(shù) f x在點 0 x A 取得極大值 B 取得最小值 C 某個領域內單調增加 D 某個鄰域內單調減少 2 若連續(xù)函數(shù) f x滿足關系式 2 2 0 ln2 x t f xfdt 則 f x A ln2 x e B 2 ln2 x e C ln2 x e D 2 ln2 x e 3 設函數(shù) f x處處可微且有 并對任何實數(shù) x 和 y 恒有 0 1f x f xyef y 則 y e f x f x A x e B x xe C 1 x x e D 1 x x e 4 設 y 是由方程所確定的 x 函數(shù) 則 00 cos0 yx t e dttdt dy dx A cos 1 sin x x B cos sin1 x x C cos y x e D 0 5 已知 2 aay dxydy xy 為某函數(shù)的全微分 則 a 等于 A 1 B 0 C 1 D 2 6 設 a b A 均是待定常數(shù) 則方程 cosyyx 的一個特解具有形式 A cossinaxxbx B sin Axx C cos xAx D sin xAx 7 設函數(shù) y x滿足微分方程 2 cos tgy xx yy x 且當 1 4 x 時 0y 則當時 0 x y A 1 4 B 1 4 C 1 D 1 8 方程的通解是 xy dyydx 0 A x y yce B y x yce C 2y x yec x D 2y x yec x 9 設 函 數(shù) 123 y xyxy x都 是 線 性 非 齊 次 方 程 2 2 d ydy a xb x yf x dxdx 的 特 解 其 中 都是已知函數(shù) 則對于任意常數(shù) C1 C2 函數(shù) a x b xf x 1 1yC 211223 Cy xC yxC y x A 是所給微分方程的通解 B 不是微分方程的通解 C 是所給予微分方程的特解 D 可能是所給微分方程的通解 也可不是通解 但 肯定不是特解 10 已知方程的一個特解為 0yP x yQ x y 1 y 則另一個與它線性無關的特解為 A 21 2 1 1P x dx yye y dx B 21 2 1 1P x dx yye y dx C 21 1 1P x dx yyed y x D 21 1 1P x dx yyed y x 0 11 微分方程滿足 2 1 2cos xdyxyx dx 0 1 x y 的特解為 A 2 sin1 1 x y x B 2 cos1 1 x y x C 2 cos1 1 x y x D 2 sin1 1 x y x 12 微分方程的通解為 2222 2 2 xyy dxxxy 0 A x y xyC xy e B x y xyC xy e C x y xyC xy e D x y xyC xy e 13 具有特解 1 x ye 2 2 x yxe 3 3 x ye 的 3 階常系數(shù)齊次線性微分方程是 A 0yyyy B 0yyyy C 6 11 60yyyy D 2 20yyyy 答案 1 A 2 B 3 B 4 B 5 D 6B7C8A9D10A 11 D 12C13B 填空題 1 微分方程 2 x yyye 的通解為 2 微分方程0的通解為 2 4 ydxxx dy 3 微分方程 tgcosyy xx 的通解為 4 微分方程2 yy x的通解為 5 微分方程1 y ye 的通解為 6 微分方程 的通解為 22 sectgsectg0 x ydxy xdy 7 微分方程 2 xyyy 的通解為 8 微分方程1 yyy 的通解為 9 微分方程 2 4 4 x yyye 的通解為 10 2 2 x yyye 的通解為 11 2 4 x yye 的通解為 12 的通解為 2 50yyy 13 差分方程 1 2t tt yyt 的通解為 14 差分方程0 1 2105 tt yyt 的通解為 15 微分方程 sin cosln x yyxxe 的通解為 16 初值問題 22 1 0 0 0 x yxydxxdyx y 的解為 17 微分方程的通解為 3 0 xyy 18 微分方程 2 的通解為 2 0 x yye 19 適合方程 1 1fxf x dx x 的所有連續(xù)可微函數(shù) f x 解答題 先做了 1 7 但是還是不會做 1 求微分方程 2 1 1 y y xx x 的通解 不不 a 2 2 1 1 1 x 1 xyy xy x 2 求微分方程 5 62 x yyye 的通解 略 3 求微分方程 2 x yyyxe 的通解 不不 a 令令 x yue 解解 u 即可即可 4 求微分方程 3 2 x yyyxe 的通解 同上 5 求微分方程 dy xxy dx 滿足條件 ln2 0 x y 的特解 要答案 a dy xyx dx xyx 6 求微分方程滿足條件ln ln 0 xxdyyx dx 0 x e y 的特解 要答案 a 11 ln ln 1 ln ln xyy xx xyx x x 7 求微分方程 22 dy xyx dx y滿足條件2 x e ye 的特解 做法 a 22 222 222 2223 222 4 2 2 22 1 2 22 22 22 2 xyyxy x yxy x yyx xyxyx xyxy xx y xx yux 或上來直接令 8 在上半平面求一條向上凹的曲線 其上任一點 P x y處的曲率等于此曲線在該點的法線段 PQ 長度的倒數(shù) Q 是法線與 x 軸的交點 且曲線在 1 1 處的切線與 x 軸平行 略 9 求微分方程 2 4 4 x yyye 的通解 略 10 求微分方程 3 2 3 x yyye 的通解 略 11 求連續(xù)函數(shù) f x 使它滿足 2 0 2 x f xf t dt x a 2 2fxf x x其它略 注意 f 0 0 別忘了計算常數(shù) c 12 求微分方程0的通解 3 2yx dxxdy a 3 3 5 2 5 2 3 2 3 2 2 0 2 11 22 11 22 1 1 2 2 1 2 yxxy yxyx yxyx x xyyx x xyy x x x y x x 13 求微分方程 cosyyx x的通解 a 令 1 cos sincos AB yxu uux uAxB 特解 解出 其余略 x 14 假設 函數(shù) 滿足條件 0 0f 0 yf xx 和0 1 x f xe 平行于 y 軸的動直線 MN 與 直線 yf x 與1 x 分別相交于點 曲線 yf xye 直線 MN 與 x 軸所轉封閉圖形的面積 S 恒 等于線段 12 PP的長度 求函數(shù) yf x 的表達式 題意不明 明的話也很簡單的 15 求微分方程 22 x yxyy 滿足初始條件 1 1 x y 的特解 a 22 2 2 1 1 11 x yxyy u y x uxu uu xx 這個用公式算吧 略 16 設函數(shù) yy x 滿足微分方程 3 22 x yyye 且其圖形在點 0 1 處的切線與曲線 2 1yxx 在該 點的切線重合 求函數(shù) yy x 略 17 設物體 A 從點 0 1 出發(fā) 以常速 v 沿 y 軸正向運動 物體 B 從點 1 0 與 A 同時出發(fā) 其速度大 小為 2v 方向始終指向 A 試建立物體 B 的運動軌跡所滿足的微分方程 并寫出初始條件 a 這個不說了吧 大物中常見的問題 18 求微分方程 sin cos ln x yyxx e 的通解 a sinsin sin cosl ln xx x eyeyxx eyx n 19 設函數(shù) yy x 滿足條件 4 40 0 2 0 4 yyy yy 求廣義積分 0 y x dx 略 20 設 f x具有二階連續(xù)導數(shù) 0 0 0 1ff 2 0 xy xyf x y dxfxx y dy 為一全微分 方程 求 f x及此全微分 a 2 2 2 2 xy xyf x yfxx y yx 后面的自己算吧 xxyf xfxxy 21 微分方程的通解 2 sinya yx 的通解 其中常數(shù) a 0 a 若 a 1 特解令 y Asinx A a2 1 1 解出 A b 若 a 1 特解令 y Bxcosx B 0 5 22 設 x ye 是微分方程 xyp xx 的一個解 求此微分方程滿足條件 ln2 0 x y 的特解 略 23 設設單位質點在水平面內作直線運動 初速度 0 0t vv 已知阻力與速度成正比 比例常數(shù)為 1 問 t 為 多少時 此質點的速度為 0 3 v 并求到此時刻該質點所經(jīng)過的路程 略 24 設曲線 L 位于 xoy 平面的第一象限內 L 上任一點 M 處的切線與 y 軸總相交 交點記為 A 已知 MAOA 且 L 過點 3 3 2 2 求 L 的方程 a 2 1 yxyxy 令 u y2 后面的就求解吧 25 已知連續(xù)函數(shù) f x滿足條件 3 2 0 3 x x t f xfdte 求 f x a 2 3 2 x fxf xe 注意 f 0 1 26 求微分方程 2 yyx 的通解 略 27 求微分方程 22 yxydy dxx 的通解 a 2 2 1 1 yux xuuuu dudx x u 28 設 f x為連續(xù)導數(shù) 求初值問題 0 0 x yayf x y 的解 y x 其中 a 是正常數(shù) 若 f xk k 為常數(shù) 證明 當 x 0 時 有 1 ax k y xe a a 這個就不說了 公式就好了 29 設函數(shù) f u具有二階連續(xù)導數(shù) 而滿足方程 sin x zf ey 22 2 22 x zz e z xy 求 f u 略 30 求微分方程的通解 222 32 2 0 xxyydxxxy dy a 0 222 222 222 32 2 0 2 2 3 3 xxyyxxy y xyx yyxyyx x yxyx 31 已知 22 123 xxxxxxx yxeeyxeeyxeee 是某二階線性微分方程的三個解 求此微分方程 a 22 1223 2 12 20 2 1 2 xxx x x yyeeyyee or yyy yyyx e 32 設函數(shù) f x在 0 上連續(xù) 且滿足方程 2 222 422 4 1 2 t xyt tefx ydxdy 求 f t f a 極坐標變換 33 設函數(shù) f x在 1 上連續(xù) 若由曲線 yf x 直線1 1 xxt t 與 x 軸所圍成的平面圖形繞 x 軸 旋轉一周所成的旋轉體積為 2 1f tf V t 3 t 試求 yf x 所滿足的微分方程 并求該微分方程 滿足條件 2 2 9 x y 的解 a 列方程求導 令 u 1 f t 就好了 34 從船上向海中