微積分的基本思想方法及其應(yīng)用-西安交通大學(xué)（馬知恩）.ppt

馬知恩西安交通大學(xué) 微積分的基本思想方法及其應(yīng)用 任何事物微觀宏觀運(yùn)動(dòng)速度位移物質(zhì)細(xì)棒線密度棒的質(zhì)量容器中液體壓強(qiáng)對(duì)底或壁的壓力數(shù)量關(guān)系變化率改變量空間物體面 體 密度質(zhì)量方向?qū)?shù)空間場(chǎng)變化率改變量 流體 梯度源的強(qiáng)度散度通量旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)與方向旋度環(huán)流量l導(dǎo)數(shù)積分 I 微積分的基本思想方法及其應(yīng)用 1o均勻與非均勻 質(zhì)量 分布均勻非均勻變化變化率 常量變量函數(shù) 線性非線性圖形 直線曲線 2o微積分方法的本質(zhì)微觀宏觀均勻分布 除法 乘法 非均勻分布 導(dǎo)數(shù)積分 勻 分 勻 精 合 精 l不同類型的問(wèn)題 解決的基本思想方法是一樣的 局部均勻化求近似 利用極限得精確 l導(dǎo)數(shù)與定積分分別是處理均勻量的除法和乘法在處理相應(yīng)的非均勻量中的發(fā)展 回顧已知線密度求質(zhì)量 關(guān)鍵在于在上對(duì)以 不變代變 與是原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系在 a b 上通過(guò)對(duì)導(dǎo)函數(shù) 不變代變 求原函數(shù)增量的近似值積分和式中是否都是的有無(wú)普遍性原函數(shù)的增量的近似值 若是 是怎樣的近似值 3o積分與微分的關(guān)系 若設(shè)或若確為的原函數(shù)在增量的近似值 而且是在點(diǎn)關(guān)于的微分 定積分是微分的無(wú)限累加 兩種解釋 4o微元法把量用積分式表達(dá) 的關(guān)鍵在于求微分 微分 無(wú)限累加 問(wèn)題 待求 未知 怎樣的函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù) 變化率 已知 只需找到與成線性關(guān)系的 且使即的線性主部或的與成線性關(guān)系的等價(jià)無(wú)窮小 例1 1 求圓錐體積 V非均勻分布在上 截圓半徑kx變化 是否的微分 觀察故是的微分 求光滑曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積 故 2 求圓錐體的側(cè)面積若取 2 求圓錐體的側(cè)面積若取是否是的微分 將圓錐面沿母線剪開(kāi)展平如圖弧長(zhǎng)即 所以若非高階無(wú)窮小 似乎而故 事實(shí)上 三句話 1 導(dǎo)數(shù)和積分分別是除法和乘法的發(fā)展 2 積分是微分的無(wú)限累加 求積分的關(guān)鍵在于求微分 3 求微分就是尋找所求量增量的線性主部 通常可先尋找導(dǎo)致所求量非均勻分布的某一量 由于此量的變化造成非均勻分布 將此量在微小局部以 不變 代 變 通常便可得到所求微分 5o推廣至多元情形面密度上分布物質(zhì)質(zhì)量區(qū)域函數(shù)均勻分布 常數(shù) 面密度非均勻分布體密度壓強(qiáng)散度 區(qū)域函數(shù)稱為區(qū)域函數(shù)在點(diǎn)對(duì)區(qū)域 面積 的導(dǎo)數(shù) 則稱為區(qū)域函數(shù)F在點(diǎn)對(duì)區(qū)域 面積 的微分 積分非均勻分布在區(qū)域上 分 勻 合 精 告 積分與微分的關(guān)系設(shè)在上連續(xù)中值定理從而即或故是區(qū)域函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)區(qū)域的微分 求積分關(guān)鍵在于求此區(qū)域函數(shù)的微分 即關(guān)于的線性主部 而重積分仍然是對(duì)區(qū)域微分的無(wú)限累加 6o微元法在建立微分方程中的應(yīng)用微元分析法 微小增量法 例問(wèn)10分鐘后 車間內(nèi)CO2的濃度為多少 解 關(guān)鍵在求10分鐘時(shí) 車間內(nèi)CO2的含量 設(shè)t時(shí)刻車間內(nèi)CO2的含量考察它在的變化的輸入量 的輸出量 內(nèi) 輸入 濃度恒定