海洋運動控制方程組.答案.ppt

第一章海洋運動控制方程組 1 1連續(xù)介質(zhì)假設 海洋動力學研究海水的運動 海水為一種流體 把牛頓第二定律應用于流體時 是否如應用于剛體時一樣適用 流體由大量分子組成 微觀結(jié)構(gòu)具有不均勻性 離散性 隨機性 宏觀結(jié)構(gòu)具有均勻性 連續(xù)性 確定性 流體力學研究流體的宏觀結(jié)構(gòu) 研究方法有統(tǒng)計物理 即從分子和原子的運動出發(fā) 采用統(tǒng)計平均的方法建立宏觀物理量滿足的方程 并確定流體的性質(zhì) 以及以連續(xù)介質(zhì)假設為基礎 認為流體質(zhì)點連續(xù)地充滿了流體所在的整個空間 流體質(zhì)點所具有的宏觀物理量 如質(zhì)量 速度 壓力 溫度等 滿足一切應遵循的物理定律及物理性質(zhì) 例如牛頓定律 質(zhì)量 能量守恒定律 熱力學定律 以及擴散 粘性 熱傳導等輸運性質(zhì) 連續(xù)介質(zhì)假設的基礎是由于宏觀問題的特征尺度和特征時間和分子間的距離及碰撞時間相比大得不可比擬 個別分子的行為幾乎不影響大量分子統(tǒng)計平均后的宏觀物理量 因此在考慮流體的宏觀運動時 可不必直接考慮流體的分子結(jié)構(gòu) 而采用連續(xù)介質(zhì)這一近似的理論模型 連續(xù)介質(zhì)假設認為真實流體所占有的空間 可近似地看成是由 流體質(zhì)點 連續(xù)地無空隙地充滿著 所謂流體質(zhì)點指的是微觀上充分大 宏觀上充分小的分子團 有了連續(xù)介質(zhì)假設 在研究流體的宏觀運動時 就可以把一個本來是大量的離散分子或原子的運動近似為連續(xù)充滿整個空間的流體質(zhì)點的運動問題 而且每個空間點和每個時刻都有確定的物理量 它們都是空間坐標和時間的連續(xù)函數(shù) 從而可以利用強有力的數(shù)學工具 正因為這樣 連續(xù)介質(zhì)假設是流體力學中第一個帶根本性的假設 介質(zhì)的密度一般是不均勻的 而壓縮性又會使其密度發(fā)生變化 這就出現(xiàn)了矛盾 連續(xù)的意思是質(zhì)點間似乎沒有空隙 密度能夠變化又意味著內(nèi)部有活動的 余地 因此連續(xù)介質(zhì)只是一種抽象的概念 提出這種抽象的概念會大大簡化流體力學的研究 可把牛頓第二定律應用于流體 1 2描寫流體運動的兩種方法 拉格朗日 Lagrange 和歐拉 Euler 方法 在不考慮外力作用的前提下研究已發(fā)生的流體運動 敘述描寫流體運動的方法及其分析表達 運動學 設流體質(zhì)點在空間中運動 如何確定描寫流體運動的方法并且將它用數(shù)學式子表達出來 拉格朗日方法 著眼于流體質(zhì)點 設法描述出每個流體質(zhì)點自始至終的運動過程 即它們的位置隨時間變化的過程 t t0時 1 1 為流體質(zhì)點矢徑 在直角坐標系中 x x a b c t y y a b c t 1 2 變數(shù)a b c t稱為拉格朗日變數(shù) 在拉格朗日觀點中 矢徑函數(shù)的定義區(qū)域不是場 因為它不是空間坐標的函數(shù) 而是質(zhì)點標號的函數(shù) 假設 1 1 式確定的函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù) 速度和加速度是對于同一質(zhì)點而言的單位時間內(nèi)位移變化率和速度變化率 在直角坐標系中 速度和加速度的表達式 歐拉方法 著眼點不是流體質(zhì)點 而是空間點 設法在空間中的每一點上描述出流體運動隨時間的變化狀況 如果每一點的流體運動都已知道 則整個流體的運動情況也就清楚了 那么應該用什么物理量來表現(xiàn)空間點上流體運動的變化情況呢 因為不同時刻將有不同流體質(zhì)點經(jīng)過空間某固定點 所以站在固定點上就無法觀測和記錄掠過的流體質(zhì)點以前和以后的詳細歷史 就是說我們無法象拉格朗日方法那樣直接測量出每個質(zhì)點的位置隨時間的變化情況 雖然如此 不同時刻經(jīng)過固定點的流體質(zhì)點的速度是可以測出的 這樣采用速度矢量來描寫固定點上流體運動的變化狀況就是什么自然的了 而不管經(jīng)過該固定點的質(zhì)點從哪里來到哪里去 要完全描寫流體的運動狀況 還需要給定狀態(tài)函數(shù) 壓力 密度 溫度 鹽度等 變數(shù)x y z t稱為歐拉變數(shù) 當 x y z 固定 t改變時 表示空間中某固定點上速度隨時間的變化 應該指出 流矢確定的速度函數(shù)是定義在空間點上 它們是空間點的坐標x y z的函數(shù) 所以研究的是場 因此當用歐拉觀點描述運動時 就可以廣泛地采用場論知識 若場內(nèi)函數(shù)不依賴于時間t 稱為定常場 反之 稱不定常場 在氣象觀測中 廣泛使用歐拉方法 氣象站位資料 在海洋觀測中 多船定點同步觀測 采用的是歐拉方法 衛(wèi)星跟蹤漂流浮標 采用的是拉格朗日方法 假設速度函數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù) 現(xiàn)從流矢表達式出發(fā)求質(zhì)點的加速度 加速度系對某一質(zhì)點而言 亦即觀測某確定質(zhì)點在運動過程中其本身速度隨著時間的變化率 是 跟著 流體質(zhì)點的微分 稱為隨體導數(shù)或?qū)嵸|(zhì)微商 任何物理量的實質(zhì)微商都是指 跟著 某個確定流體質(zhì)點觀測出來的該物理量的變化率 上式右邊第一項時 因此是 這一項代表由于場的不定常性引起的速度變化 稱為局部導數(shù) 微商 或就地導數(shù) 右邊第二項為 它代表由于場的不均勻性引起的速度變化 稱為對流導數(shù) 微商 或位變導數(shù) 其中代表沿s方向移動單位長度引起的速度變化 現(xiàn)在在單位時間內(nèi)移動了V的距離 因此s方向上的速度變化是 總的速度變化即加速度 實質(zhì)微商 隨體導數(shù) 就是局地微商與對流微商之和 從場論中知 其中是曲線L上的單位切向矢量 考慮到得 這是矢量形式的加速度的表達式 也可經(jīng)過函數(shù)微分 直接得到 對矢量和標量均成立 采用歐拉方法描寫流體運動常常比拉格朗日方法優(yōu)越 主要體現(xiàn)在 廣泛利用場論 一階導數(shù)比二階導數(shù)易處理 在實際海洋的觀測中 若用船跟著流體質(zhì)點跑 因流體隨潮流作周期性的運動 故很難做到 但可用多船同步觀測 在歐拉場中得出實質(zhì)微商 固定點 同步 局部微商對流微商實質(zhì)微商 1 3海洋運動控制方程組 海洋運動可以通過求解一組數(shù)學方程來描寫 這些方程包括 1 運動方程 2 連續(xù)方程以及 3 熱量和鹽量守恒方程 考慮 單位體積 受力作用力下的運動 一個流體微團定義為 1 3 1運動方程 對單位體積質(zhì)量 Mass 對作用以單位體積方程等于 Acceleration 上式方程說明海洋運動方程可以在一個給定的合力情況下導出 這里 合力 的意思是不止一個力同時作用 運動是由一些力的合成驅(qū)動的 即凈力 海洋中有二類力 初級力和次級力 在這里初級力定義為直接引起運動的力 次級力定義為由運動產(chǎn)生的力 在海洋中 初級力包括 1 重力 2 風應力和 3 壓力 次級力包括 1 科氏力和 2 摩擦力 重力重力為作用于整個水體質(zhì)量上的體力 這個力等于引力和離心力之和 引力牛頓萬有引力指出宇宙中任意兩個物體相互吸引 其吸引力正比于它們的質(zhì)量 反比例于它們間距離的平方 兩個球形物體 質(zhì)量為M m 球形中心相距r 作用于海洋上單位質(zhì)量力為 離心力考慮系于細繩上質(zhì)量為m的球 以恒定的角速度 作半徑為r的圓旋轉(zhuǎn) 球的速度是恒定的 但前進的方向不停地變換 因此流矢是變化的 細繩的作用如同一個力 把球拉向旋轉(zhuǎn)軸的方向 這個力對球產(chǎn)生了一個加速度 在時間間距 t內(nèi) 球轉(zhuǎn)動角度變化 流矢變化 量值為 把它除 t 考慮在極限指向旋轉(zhuǎn)軸 得到 離心加速度 從固定坐標系看 運動為一個指向旋轉(zhuǎn)軸的具有均勻加速度的運動 加速度等于角速度的平方乘以離旋轉(zhuǎn)軸的距離 這個加速度叫向心加速度 是拉于球上的細繩的力引起的 假設我們是在隨球旋轉(zhuǎn)的坐標系中觀測運動 在旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中球是靜止的 但仍有一個力作用于球上 就是細繩的拉力 因此 為了應用牛頓第二定律描述相對于旋轉(zhuǎn)坐標系的運動 必須引入一個額外的表觀力 名為 離心力 它恰好平衡細繩作用于球上的力 因此 離心力等于系于細繩上的球的慣性反應 與向心加速度量值相等 方向相反 即 因為以及d dt 因此 其中 為地球轉(zhuǎn)動的角速度 為從旋轉(zhuǎn)軸指向物體的正矢量 重力表達式 在隨地球旋轉(zhuǎn)的相對坐標系內(nèi)觀測 在地球表面靜止的單位質(zhì)量物體 受到離心力作用 作用于物體上重力應等于引力和離心力之和 即 引力指向地心 而離心力背離旋轉(zhuǎn)軸 因而 除了在極地和赤道 重力不指向地心 如果地球為一個純粹球體 重力將有一個平行于表面的指向赤道的分量 假設地球為在赤道處凸出的形狀大致為一個橢球體 則地球已作了調(diào)整來補償這個指向赤道的力的分量 因而任意地點重力垂向地表面 因此 地球赤道半徑比極地半徑大約21km 記住局地垂向 取為平行于重力方向 除了赤道和極地并不穿越地心 引力 離心力 重力和地球形狀關(guān)系 科氏力為使牛頓第二運動定律應用于相對旋轉(zhuǎn)坐標系靜止的物體 需引入一個表觀力 離心力 如果物體相對于旋轉(zhuǎn)坐標系運動 另外一個表觀力 叫科氏力 必須引入以使牛頓第二定律仍然有效 觀測一個隨旋轉(zhuǎn)坐標系運動的物體 假設物體初始處于以角速度 旋轉(zhuǎn)的圓平面上 假設物體相對這個平面處于靜止狀態(tài) 那它只受離心力的作用 當物體開始作離開旋轉(zhuǎn)軸的直線運動 在平面上的觀測者將發(fā)現(xiàn)相應的路徑是彎曲的 原因是受到了一個與平面旋轉(zhuǎn)方面相反的表觀力作用 這個偏轉(zhuǎn)力叫科氏力 從平面上看 這個相對運動為一個科氏力和離心力作用下加速運動 科氏力與流矢方向垂直 僅改變運動的方向 然后 離心力輻射向外 在運動方向具有一個分量 當物體以螺線向外運動時相對于旋轉(zhuǎn)坐標系能增加物體的速度 從慣性坐標系中 直線 和旋轉(zhuǎn)坐標系中 曲線 觀測到的慣性運動 從平面上看物體的彎曲路徑包括了科氏力和離心力的共同作用 上面給出的例子僅僅是為了考慮表觀力的一個簡單方法 對在旋轉(zhuǎn)坐標系中的運動 兩個事情是重要的 一個是在旋轉(zhuǎn)坐標系中的任何物體不管是否運動都受到離心力的作用 在旋轉(zhuǎn)坐標系中 離心力包括在重力中 第二個是物體在旋轉(zhuǎn)坐標系中運動科氏力才存在 科氏力僅改變運動的方向 而離心力能加速沿運動方向的運動 下面導出在地球系統(tǒng)中科氏力數(shù)學表達式 考慮在旋轉(zhuǎn)無摩擦地球表面單位質(zhì)量物體自由運動 假如物體相對于地球初始狀態(tài)是靜止的 由于地球轉(zhuǎn)動作用于物體上的力僅為引力和表觀離心力 這兩個力的合力為重力 它與局地水平面垂直 現(xiàn)在假設物體受脈沖力作用開始朝東運動 因為現(xiàn)在物體旋轉(zhuǎn)得比地球快 與角速度的平方成正比的物體離心力將增加 設 為地球角速度的量值 為從旋轉(zhuǎn)坐標軸指向物體的正矢量 u為物體相對于地表面的向東速度 那么總的離心力等于 由于沿緯圈相對運動產(chǎn)生科氏力分量 其中u R為物體相對于地球的角速度 它是從角速度的定義導出的 假設物體在時間間隔 t內(nèi)移動距離 s 此間角速度變化 等于 s R 因此 t s t R 取有d dt ds dt R u R 總的離心力可被寫為 右邊第一項正是由于地球旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力 當然包含在重力中 其它兩項代表偏向力 沿矢量方向向外 通過計算它們的比率比較第二和第三項的大小 即 因為 R u 所以在一級近似內(nèi)可以忽略掉右邊的第三項 第二項叫科氏力 緣于平行于緯圈的相對運動 科氏力可被分為垂向方向和經(jīng)向 南北向 兩個分量 設 為緯度 Fc y和 Fc z為南北向和垂向科氏力分量 有 Fc y 2 usin Fc z 2 ucos 其中u為向東方向速度分量 如果流動向東 則u為正 向西為負 在垂直方向科氏力分量遠比重力小 因而對運動只有微小的影響 一般這一項可被忽略 從上述方程可以看到在北半球物體在水平面內(nèi)向東運動 受科氏力作用向南偏轉(zhuǎn) 而向西運動的物體向北偏轉(zhuǎn) 在每種情況偏轉(zhuǎn)向運動方向的右邊 北半球 也可得出平行于經(jīng)圈作相對運動的科氏力 x方向的科氏力為 Fc x 2 vsin 如果流體微團向南運動 即v 0 則科氏力在北半球向西偏向 一般情況下 作用于以速度運動的物體的科氏力等于 Fc x 2 vsin Fc y 2 usin 在海洋中 我們通常定義f 2 sin 為科氏參數(shù) 因此 壓強梯度力考慮具有體積 x y z的流體微元 作用于A面上的壓力等于 作用B面上的壓力等于 在A面和B面上的壓力差為 作用在流體微元上x方向壓強梯度力 作用于單位質(zhì)量上的壓強梯度力在X方向分量等于 設 X 0可得到單位質(zhì)量壓強梯度力X方向分量為 用相同方法 可導出壓強梯度力在y和z方向的分量 運動方程可表示為Acceleration pressuregradientforce CoriolisForce gravityforce在x y z方向運動加速度可表示為du dt dv dt和dw dt 把壓強梯度力 科氏力 重力和摩擦力表達式代入前面表達式 其中Fx Fy和Fz為x y z方向的摩擦分量 du dt dv dt和dw dt項表達為流體微元沿路徑的加速度 即它們是單個流體微元的速度變化率 稱為拉格朗日加速度 我們經(jīng)常用拉格朗日和歐拉這兩個詞來區(qū)分兩種不同的觀測運動加速度的方法 用拉格朗日方法 可沿著單個流體微團路徑跟蹤它 用這個方法的運動加速度意為沿流體微元路徑的加速度 用歐拉方法在某個固定點觀測的運動加速度為速度的局地的變化率 它是由不同流體微團在不同時刻經(jīng)過這個點引起的 例如 x方向拉格朗日和歐拉加速度關(guān)系為 其中 固定點x方向流速分量隨時間的局地變化率 由于運動的非均勻分布平流變化率