華南理工大學(xué)高數(shù)(上)期末考題參考答案.doc

華南理工大學(xué)高數(shù)（上）期末考題參考答案一、 填空題（每小題3分，共15分）1.設(shè)，則 .2. .3.已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,則 .4.曲線的弧長(zhǎng)等于.5.二、 選擇題（每小題3分，共15分）1. 設(shè)則.（）； （）； （）； （）.2.設(shè)則時(shí)，（ ）.（）與是等價(jià)無(wú)窮小量； （）與是同階但非等價(jià)無(wú)窮小量；（）是比高階的無(wú)窮小量； （）是比低階的無(wú)窮小量.3.設(shè)在上嚴(yán)格單調(diào)減少，在處有極大值，則（）.（）在處有極小值；（）在處有極大值；（）在處有最小值；（）在處有既無(wú)極值也無(wú)最值；4.下列函數(shù)中，在定義域上連續(xù)的函數(shù)是（ ）（） （）（） （）5.若連續(xù)曲線與在上關(guān)于軸對(duì)稱，則積分的值為（ ）（）； （）； （）； （）三、 解答下列各題（每小題7分，共28分）1. 設(shè)參數(shù)方程，求.解 因?yàn)?所以 2. 求曲線在拐點(diǎn)處的切線方程.解 因?yàn)?，令得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且，則點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)；又，所以曲線在拐點(diǎn)處的切線方程是： 3. 計(jì)算積分.解 4. .解 解法一 （參看p201例21） 解法二 設(shè) ，則，代入得四、（8分）確定常數(shù)的值，使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo).解 由于在處連續(xù)，且， 所以 即 由于在處可導(dǎo)，且 所以 即，時(shí)在處連續(xù)且可導(dǎo).五、（8分）已知的一個(gè)原函數(shù)是，求.解 六、（8分）設(shè)在上可導(dǎo)，且.試證：存在，使.證 由積分中值定理有 ；設(shè) 則滿足：在上連續(xù)；在內(nèi)可導(dǎo)；由洛爾定理，則至少存在一點(diǎn)，使，即 ，即證 七、（8分）證明方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.證 設(shè) 則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 即在上單調(diào)遞增；又 由零點(diǎn)定理知，方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.八、（10分）已知曲線與曲線在點(diǎn)有公共切線，求（1）常數(shù)的值及切點(diǎn)；（2）兩曲線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解 （1）由條件知滿足 ，解之得. （2）由（