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華南理工大學(xué)高數(shù)(上)期末考題參考答案一、 填空題(每小題3分,共15分)1.設(shè),則 .2. .3.已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,則 .4.曲線的弧長(zhǎng)等于.5.二、 選擇題(每小題3分,共15分)1. 設(shè)則.(); (); (); ().2.設(shè)則時(shí),( ).()與是等價(jià)無(wú)窮小量; ()與是同階但非等價(jià)無(wú)窮小量;()是比高階的無(wú)窮小量; ()是比低階的無(wú)窮小量.3.設(shè)在上嚴(yán)格單調(diào)減少,在處有極大值,則().()在處有極小值;()在處有極大值;()在處有最小值;()在處有既無(wú)極值也無(wú)最值;4.下列函數(shù)中,在定義域上連續(xù)的函數(shù)是( )() ()() ()5.若連續(xù)曲線與在上關(guān)于軸對(duì)稱,則積分的值為( )(); (); (); ()三、 解答下列各題(每小題7分,共28分)1. 設(shè)參數(shù)方程,求.解 因?yàn)?所以 2. 求曲線在拐點(diǎn)處的切線方程.解 因?yàn)?,令得當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),且,則點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn);又,所以曲線在拐點(diǎn)處的切線方程是: 3. 計(jì)算積分.解 4. .解 解法一 (參看p201例21) 解法二 設(shè) ,則,代入得四、(8分)確定常數(shù)的值,使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo).解 由于在處連續(xù),且, 所以 即 由于在處可導(dǎo),且 所以 即,時(shí)在處連續(xù)且可導(dǎo).五、(8分)已知的一個(gè)原函數(shù)是,求.解 六、(8分)設(shè)在上可導(dǎo),且.試證:存在,使.證 由積分中值定理有 ;設(shè) 則滿足:在上連續(xù);在內(nèi)可導(dǎo);由洛爾定理,則至少存在一點(diǎn),使,即 ,即證 七、(8分)證明方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.證 設(shè) 則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且 即在上單調(diào)遞增;又 由零點(diǎn)定理知,方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.八、(10分)已知曲線與曲線在點(diǎn)有公共切線,求(1)常數(shù)的值及切點(diǎn);(2)兩曲線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解 (1)由條件知滿足 ,解之得. (2)由(
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