數(shù)學北師大版九年級下冊正多邊形面積計算.docx

正多邊形的面積計算ABCDEFGa我們知道，正四邊形（正方形）面積等于a2,正三角形的面積等于34a2。我不禁想到了：那么正五邊形、正六邊形呢？通過畫圖計算，我發(fā)現(xiàn)正六邊形的面積公式比較容易推導(dǎo)，而正五邊形的則復(fù)雜一些。ABCDEFGa如圖是一個邊長為a的正六邊形。連接AC,DF,過B作BGAC。BG= a2,AC=3a。SABC= 12ACBG= 34a2。S正六邊形= 34a22+a3a= 332a2。用類似的方法，我求得了正五邊形的面積公式，不過結(jié)果十分復(fù)雜。我求得S正五邊形=2sin54cos54+sin54sin72a2。我想化簡這個結(jié)果。通過觀察公式sin2=2sincos,我發(fā)現(xiàn)可以將2sin54cos54化簡為sin108,即cos18。得到這個結(jié)果，我挺滿意，又考慮能不能把sin54sin72也變成與cos18有關(guān)的形式。經(jīng)過嘗試，我進行了以下變形：sin54sin72=cos36cos18,而又有cos2=2cos2-1，所以cos36cos18=2cos318-cos18。所以2sin54cos54+sin54sin72=2cos318。S正五邊形=2cos318a2。而利用黃金三角形，可以求得cos18=10+254。雖然這是根式的形式，但是代入原式會異常復(fù)雜，還不如三角函數(shù)的表示形式簡明。我又想有沒有能夠適用于所有正多邊形的公式，而不用屢次嘗試化簡三角函數(shù)。ABCDEO很快，我找到了一個普遍適用的新方法。作出該正多邊形的中心O，連接OB，OC，過O作OEBC。設(shè)該正多邊形為正n邊形，邊長為a。OB=OC,BOC= 360n, BE=CE=a2,BOE= 180n。OE= BEtanBOE= a2tan180n 。S正多邊形= 12naa2tan180n= n4tan180na2。發(fā)現(xiàn)了這個結(jié)論，我很高興，將n=3,n=4,n=6逐一帶入，都與之前的結(jié)果相符。這時，我又聯(lián)想到了圓。圓可以看成正無數(shù)邊形，那么圓的面積公式S圓=r2與這個公式是否統(tǒng)一呢？我發(fā)現(xiàn)將邊心距OE= a2tan180n記為h，那么a=2tan180nh。將其代入S正多邊形=n4tan180na2得到S正多邊形=ntan180nh2。將這個公式與S圓=r2類比，可得當正n邊形變數(shù)無限大時，ntan180n就無限接近于。不過ntan180n似乎不能化簡而我又想到了，前面我用OE來近似表示半徑，那如果用OB來表示呢？同樣，我求得OB= a2sin180n，記OB=h，a=2sin180nh。代入得S正多邊形=nsin180ncos180nh2。同上，當正n邊形變數(shù)無限大時，nsin180ncos180n也無限接近于。當ntan180n與nsin180ncos180n無限接近時，即有tan180nsin180ncos180n，又sincos=tan, cos2180