2011年線性代數(shù)學(xué)科特點與命題規(guī)律.doc

2011年線性代數(shù)學(xué)科特點與命題規(guī)律萬學(xué)海文數(shù)學(xué)教研室馬媛2010年9月3日教育部考試中心發(fā)布了2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱，試卷題型結(jié)構(gòu)為：單項選擇題 8小題，每小題4分，共32分；填空題6小題，每小題4分，共24分，解答題（包括證明題）9小題，共94分；均與2010年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱相同。對于考生來說，不會有任何復(fù)習(xí)范圍的調(diào)整之憂，可以按照自己原來的計劃進(jìn)行下去，那么接下來如何復(fù)習(xí)就成為考生關(guān)注的焦點。為了幫助考生有效地進(jìn)行考研復(fù)習(xí)，今天我們就來認(rèn)識一下考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)部分的特點及命題規(guī)律。線性代數(shù)的學(xué)科特點線性代數(shù)，相對高數(shù)來說，是比較簡單的學(xué)科。但是考生的得分不是很理想。這主要是沒有掌握住線性代數(shù)的特點: 內(nèi)容抽象；概念多，性質(zhì)多；內(nèi)容縱橫交錯，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透。一、內(nèi)容抽象，尤其向量部分最為典型。在現(xiàn)實生活中，我們可以看到一維空間、二維空間甚至是三維空間，但是對于 維空間我們是難以想象的。向量主要研究的就是 維向量，所以這就需要較強的抽象思維和邏輯推理能力。這一點對于側(cè)重于計算能力培養(yǎng)的工科學(xué)生來說是一個難點。因此在學(xué)習(xí)的過程中，對所涉及的基本概念應(yīng)當(dāng)先理解好它們的定義，在理解基礎(chǔ)之上，才能深刻理解它們與其他概念的聯(lián)系以及它們的作用，一步步達(dá)到運用自如的境地。二、概念多，性質(zhì)多，定義多，定理多。例如有關(guān)矩陣的，就有相似矩陣、合同矩陣、正定矩陣、正交矩陣、伴隨矩陣等。在向量這部分，向量組線性相關(guān)的性質(zhì)就10來個。三、符號多，運算法則多，有些運算法則與以前的完全不同。正如2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱配套強化指導(dǎo)第二篇線性代數(shù)部分所說的，對于數(shù)的運算我們滿足交換律、結(jié)合律和消去律；但是矩陣的運算與之有相同的也有不同的，矩陣的運算不滿足交換律和消去律，但是滿足結(jié)合律。所以這些在復(fù)習(xí)的時候一定要注意區(qū)分。四、內(nèi)容縱橫交錯，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透。線性代數(shù)內(nèi)容之間的聯(lián)系是比較緊密的。相對高數(shù)來說，它們的聯(lián)系又是非常隱蔽的。以可逆矩陣為例， 階矩陣 是可逆的，從行列式的角度有其等價說法，就是 階矩陣 的行列式不等于0；從矩陣的角度它的等價說法是矩陣 的秩等于階數(shù) ；從向量的角度描述，就是矩陣的行向量組是線性無關(guān)的，同時列向量組也是線性無關(guān)的，并且任何一個 維列（行）向量都可以由該矩陣的列（行）向量組來線性表示；從特征值的角度描述，就是矩陣 的特征值都是非零的。詳見2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱配套強化指導(dǎo)第二篇線性代數(shù)部分?？赡婢仃囘@個知識點在線性代數(shù)的各章節(jié)之間都有其等價說法，所以在復(fù)習(xí)整個線性代數(shù)時，要不斷的歸納總結(jié)，找出它們之間的聯(lián)系。也正是由于線性代數(shù)具有這樣的特點，這就給綜合命題創(chuàng)造了條件。因此在學(xué)習(xí)的過程中，對所涉及的概念、性質(zhì)及定理要理解，同時很多東西還要靠記憶，尤其要注意基本概念、基本方法之間的相互關(guān)系，有些問題是相互交錯，相互滲透，似螺旋上升，比如矩陣的秩與向量組的秩、線性方程組與向量組的線性組合、線性相關(guān)之間的關(guān)系。弄清這些關(guān)系，一方面可對所涉及的概念通過不斷重復(fù)而達(dá)到加深印象的目的，另一方面也能對問題有進(jìn)一步的深入理解。線性代數(shù)的命題規(guī)律從內(nèi)容上進(jìn)行分析，數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三考試大綱對于線性代數(shù)的內(nèi)容基本是一致的，唯一的區(qū)別在于數(shù)學(xué)一要求多了解一點向量空間的內(nèi)容。這部分內(nèi)容考試時總是以客觀題的形式出現(xiàn)，09年以選擇題考察了過渡矩陣，10年以填空題的形式考察了空間維數(shù)，都是比較簡單的。詳見2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱配套強化指導(dǎo)第二篇線性代數(shù)部分。所以對于線性代數(shù)它是不區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)一、二、三的，也就是他們的考試難度是一樣的，這可以從近幾年的考題中看出。所以考生在復(fù)習(xí)線性代數(shù)時，不要說我考數(shù)學(xué)三，我就可以簡單點，不是這樣的。線性代數(shù)考研試題多以計算題的形式出現(xiàn)。從近幾年的出題來看，試卷加強了對考生基礎(chǔ)概念、方法之間的分析考查，但是考生拿到試卷并不能一眼就能找出其中的做題方法，主要的原因就是考生在復(fù)習(xí)的過程中不注意對重要概念和方法之間的聯(lián)系、區(qū)別進(jìn)行仔細(xì)分析。線性代數(shù)的內(nèi)容不多，但基本概念和性質(zhì)較多。他們之間的聯(lián)系也比較多，特別要根據(jù)每年線性代數(shù)考試的兩個解答題內(nèi)容，找出所涉及到的概念與方法之間的聯(lián)系與區(qū)別。例如：向量的線性表示與非齊次線性方程組解的討論之間的聯(lián)系；向量的線性相關(guān)（無關(guān)）與齊次線性方程組有非零解（僅有零解）的討論之間的聯(lián)系；實對稱陣的對角化與實二次型化標(biāo)準(zhǔn)形之間的聯(lián)系等。掌握他們之間的聯(lián)系與區(qū)別，對大家做線性代數(shù)的兩個解答題在解題思路和方法上都會有很大幫助的。從考研試題結(jié)構(gòu)上分析，行列式在考試中單獨命題的機會比較少，主要是結(jié)合其它知識點來進(jìn)行考察。例如2010年就是結(jié)合矩陣方程來考察抽象矩陣的行列式。詳見2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱配套強化指導(dǎo)第二篇線性代數(shù)部分。行列式這部分內(nèi)容主要是以填空題、選擇題的形式考察。矩陣的知識點比較多，包括矩陣的運算、伴隨矩陣、可逆矩陣、初等矩陣、矩陣方程、矩陣的秩，所以大家復(fù)習(xí)到矩陣這一章的時候要注意這六個知識點。這部分出題的頻率也是非常高的，每年至少考一個題目，平均分?jǐn)?shù)是4分左右，即每年基本上是會以一個小題（選擇題或填空題）的形式考察。2010年在矩陣這部分內(nèi)容中數(shù)學(xué)一以選擇題的形式考察了矩陣的秩。向量這部分內(nèi)容是考試的重點，也是考試的難點。這部分內(nèi)容概念多、性質(zhì)多，而且是最抽象的。向量組的線性相關(guān)性是考試的熱點之一，向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)是兩個對立的概念，要深刻理解向量組線性相關(guān)（無關(guān)）的概念，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。判斷向量組的線性相關(guān)性的問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組是否有非零解的問題。第二個熱點是向量組的線性表示問題。一個向量能否由一向量組來線性表示，可以轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組是否有解的問題。第三個熱點是兩個向量組的等價，這與矩陣等價是不同的兩個概念。此等價非彼等價。在復(fù)習(xí)完這部分內(nèi)容時，要和矩陣等價聯(lián)系起來，找出他們的區(qū)別和聯(lián)系。這也是命題人出題的地方。第四個熱點是向量組的極大線性無關(guān)組和秩，它主要是利用矩陣的初等行變換來得到的。向量組的秩是非常抽象的內(nèi)容，要掌握向量組的秩和矩陣的秩之間的聯(lián)系。數(shù)一多一個考點就是向量空間，這個數(shù)二和數(shù)三是不考的。這個考點在2003年和2009年分別是以填空題、選擇題的形式考察了過渡矩陣的相關(guān)知識。2010年是以填空題的形式考察了向量空間維數(shù)這個知識點。題目是比較簡單的，只要掌握了過渡矩陣的定義，知道了向量空間維數(shù)的定義，這些題目都是比較容易的，很容易得分的，但是數(shù)學(xué)一的學(xué)生也不能忽略這部分內(nèi)容。向量這部分內(nèi)容考試既以客觀題的形式進(jìn)行考察，例如抽象向量組的線性相關(guān)性、線性表示等，也經(jīng)常以解答題的形式進(jìn)行考察，例如求向量組的極大線性無關(guān)組等。詳見2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱配套強化指導(dǎo)第二篇線性代數(shù)部分。所以本章的每一種計算題如何做，線性相關(guān)性如何判定，線性表示如何計算，向量組的秩如何求解，大家一定要弄清楚，而且必須自己親自計算。多算兩個，保證計算的正確率。以求極大線性無關(guān)組為例，列向量組求極大線性無關(guān)組是只進(jìn)行初等行變換化成階梯形。這句話說起來比較簡單，但是計算起來大家的錯誤百出。所以在復(fù)習(xí)的過程中，大家一定要老老實實地計算，而且要熟練計算。不是單純的停留在理論層面，而且要用實踐檢驗。無論是證明、判斷還是計算，關(guān)鍵在于要深刻理解基本概念，搞清其相互間的關(guān)聯(lián)，要學(xué)會用定義來做推導(dǎo)論證，注意推導(dǎo)過程中邏輯的正確性，表達(dá)要清晰。線性方程組是線性代數(shù)的主線，像行列式，矩陣，向量等都是圍繞線性方程組展開的。齊次線性方程組和非齊次線性方程組的考試頻率都是非常高的，并且基本上是每年都是以解答題的形式來考察的。我們利用矩陣的初等行變換求解線性方程組，其實質(zhì)就是我們高中所學(xué)的加減消元法。方法比較簡單，但是通過歷年閱卷分析，發(fā)現(xiàn)同學(xué)由于計算失分的比例是非常大的。在復(fù)習(xí)過程中，同學(xué)要克服眼高手低的毛病，必須踏踏實實的，認(rèn)認(rèn)真真的從頭到尾算幾個題，而不要看著會就放棄計算。特征值與特征向量是線性代數(shù)的重中之重。特征值這章的主要內(nèi)容是特征值、特征向量，相似與實對稱矩陣。第一個問題是給出一個具體數(shù)值型的矩陣，如何求該矩陣的特征值，如何求特征向量，這個是基本功。在求特征值的時候涉及到行列式的計算和方程求根的問題，它有一定的技巧。很多考生在考試的時候因為求不出特征值，導(dǎo)致整個題目失分，所以大家在復(fù)習(xí)的時候一定要重視基本功。第二個問題就是給出兩個矩陣，判斷這兩個矩陣是否相似，這個部分在考研中的重頭戲是問一個矩陣A與對角矩陣是否相似，也就是問A能否相似對角化。矩陣的相似對角化是非常重要的，考試的頻率也是非常高的，它經(jīng)常作為綜合題目中的一個知識點來進(jìn)行考察。若這個知識點不清楚，可能導(dǎo)致整個題目都無法完成，所以大家在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，要特別熟練這些零散的知識點。在討論矩陣可相似對角化時有一個特殊的矩陣，我們單獨提出來研究，就是實對稱矩陣。一提到實對稱矩陣，它本身就隱含三個信息：實對稱矩陣必可相似對角化；實對稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交；必存在正交矩陣，使其可相似對角化。這三個信息至關(guān)重要，考研命題也是圍繞它們來進(jìn)行的。對于實對稱矩陣的考察主要是以解答題的形式出現(xiàn)，所以大家在復(fù)習(xí)實對稱矩陣的時候要格外重視。詳見2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱配套強化指導(dǎo)第二篇線性代數(shù)部分。特征值還有另外一種出題方法，就是考二次型。為什么這么說呢？因為在二次型中，二次型與實對稱矩陣是一一對應(yīng)的。一方面，二次型的問題可以用矩陣的理論和方法來研究；另一方面，實對稱矩陣的問題可以轉(zhuǎn)化為用二次型的思想方法來解決。因此大家在復(fù)習(xí)二次型這一章的時候搞清楚二次型跟特征值之間的關(guān)系，就明白二次型的問題全在特征值。二次型有兩個中心問題，一個是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法，用正交變換化二次