數(shù)學(xué)北師大版七年級下冊最短路線.docx

最短路線問題教學(xué)分析一、教學(xué)任務(wù)分析1、學(xué)生起點分析從心理特征來說，初中階段的學(xué)生思維能力、觀察能力和想象能力正在快速發(fā)展，但同時，這一階段的學(xué)生更好動，注意力容易分散，愛發(fā)表見解，希望得到老師的肯定，所以在教學(xué)中應(yīng)充分抓住這些特點，一方面運用直觀有趣的現(xiàn)象，來引發(fā)學(xué)生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上，另一方面，要創(chuàng)造條件和機(jī)會，讓學(xué)生發(fā)表見解，發(fā)揮學(xué)生的主動性積極性。從認(rèn)知狀況上，學(xué)生在此學(xué)習(xí)了軸對稱等有關(guān)知識，這為完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)奠定了基礎(chǔ)，但對于如何將兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段，利用兩點之間線段最短解決問題有一定的難度，因此本節(jié)課主要采用教師引導(dǎo)下學(xué)生自主探索合作交流加深對轉(zhuǎn)化的理解，讓學(xué)生從學(xué)會轉(zhuǎn)化成會學(xué)。2. 教材中的地位和作用 本節(jié)課是北師大版九年級中考專題復(fù)習(xí)的內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已經(jīng)在七年級下冊學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線、角平分線、軸對稱圖形，并對最短路程問題進(jìn)行了初步的探索，積累了一定的分析問題解決問題的經(jīng)驗。此后學(xué)生還學(xué)習(xí)了三角形、平行四邊形、圓等有關(guān)內(nèi)容，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。本節(jié)課的學(xué)習(xí)從實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型，在解決實際問題中培養(yǎng)了學(xué)生的分析問題解決問題能力，這為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，對于已經(jīng)學(xué)過軸對稱性質(zhì)的知識是一個很好的實際應(yīng)用機(jī)會，其中涉及了軸對稱性質(zhì)（或垂直平分線性質(zhì)），兩點之間線段最短，等線段的轉(zhuǎn)化等知識點，滲透了數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)了學(xué)生大膽猜想和嚴(yán)謹(jǐn)證明的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。二、教學(xué)目標(biāo)分析1、知識與技能讓學(xué)生進(jìn)一步掌握軸對稱的性質(zhì)，實現(xiàn)等線段的位置轉(zhuǎn)換，從而“化曲為直”并利用“兩點之間線段最短”達(dá)到解決問題的目的2、過程與方法通過實際操作，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展幾何直覺、對于此類問題既能從定性上進(jìn)行理論的幾何圖形探索，又能從定量上進(jìn)行代數(shù)解析方法的具體求值3、情感與價值觀讓學(xué)生在活動中體驗探索，交流，成功與提升喜悅，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并充分體會數(shù)學(xué)來源于生活，解釋生活又服務(wù)于生活的道理，引發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)學(xué)科，熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)教材的重難點重點：利用軸對稱的性質(zhì)，實現(xiàn)等線段的位置轉(zhuǎn)換難點：用“任意取點法”對最值問題的證明三、教法、學(xué)法根據(jù)以上學(xué)生的認(rèn)知水平和心理特征，結(jié)合本節(jié)課的特點，主要采用啟發(fā)式、引導(dǎo)式的教學(xué)方法與講練法相結(jié)合。注重“邊講邊練”，及時鞏固，真正體現(xiàn)以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的教學(xué)理念。 教學(xué)過程：一、 創(chuàng)設(shè)情境：如圖，有A、B兩個村莊，他們想在河流的邊上建立一個水泵站，已知每米的管道費用是100元，A到河流的距離AD是1km，B到河流的距離BE是3km，DE長3km。請問這個水泵站應(yīng)該建立在哪里使得費用最少，為多少？ “白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”這是唐朝詩人李頎在詩古從軍行開頭兩句，其實詩中就隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題?；仡檹?fù)習(xí)兩條重要的幾何結(jié)論。二、索新知：現(xiàn)在讓我們來看如何解決這個問題1.已知：如圖,點A 、點B在直線L的同側(cè)求作： L上一點P，使得PA+PB最小分析：要使得PA+PB最小，實際上就是如何把PA、PB兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段，然后根據(jù)兩點之間線段最短即可解決。為了實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)化，我們從點B出發(fā)向L引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取B關(guān)于L的對稱點 B，連結(jié)AB，與直線L相交于P，則P點就是滿足PA+PB最小的點。證明：在直線上任取一點M，連接MA ，MB，構(gòu)成三角形AMB，我們可以得到，又因為PB=PB,所以MA+MBPA+PB ,這樣我們就證明了這個點就是滿足PA+PB最小的點。三、牛刀小試：例1. 如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一動點，DNMN的最小值為 _。分析：當(dāng)線段DN和MN的長度恰好能夠轉(zhuǎn)化在一條線段上時，DN+MN最小。那如何轉(zhuǎn)化呢？根據(jù)前面的模型，即可解決。例2.現(xiàn)在讓我們看先前那個問題，水泵站修建哪里費用最少？解：（略） 四、布置作業(yè)：建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？最短路線問題設(shè)計思路最短路線問題是中考的一個考點，如何有效的把握學(xué)生的認(rèn)知特點和課程重難點，使學(xué)生能在分析問題和解決問題中積累經(jīng)驗提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，是我們設(shè)計微課的重要依據(jù)。本微課首先從一個A村、B村建水泵站的問題引入，水泵站建在哪里管道鋪設(shè)的最短，費用最少？讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生參與課堂。接著挖掘問題的深度，這樣的問題在我國古代就已經(jīng)有研究，唐朝詩人李頎古從軍行前兩句就對這個問題有描述，激發(fā)學(xué)生的愛國主義情感以及感悟我國古詩詞的博大精深。然后引導(dǎo)學(xué)生為了解決這個問題我們要回顧復(fù)習(xí)兩條重要的幾何結(jié)論，為解決前面提出的問題做必要的準(zhǔn)備。目的在于調(diào)動學(xué)生的元認(rèn)知，創(chuàng)設(shè)新知的固著點，為后面建模解決問題打好基礎(chǔ)。然后從問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，著重引導(dǎo)學(xué)生利用兩點之間線段最短解決問題，尤其是如何實現(xiàn)將兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段是重點也是難點，學(xué)生不容易想到作對稱點，因此在教學(xué)時，要給學(xué)生一定的時間啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生充分的理解作對稱點可以實現(xiàn)將兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段。就可以應(yīng)用兩點之間線段最短解決問題，進(jìn)而求解問題。有了這個模型，接著就給出一個具體的問題練習(xí)，正方形的特殊性，找D點關(guān)于直線AC的對稱點恰好是B點，因此可以直接連接BD，交AC的點就是將來N點的所在位置，問題得到解決。通過這個具體問題，讓學(xué)生進(jìn)一步感知模型的重要性，符合模型特征即可利用模型求解問題，強(qiáng)化了學(xué)生對模型的認(rèn)識。接著給出具體的問題，如何求解我們在開始提出的建水泵站的問題，引導(dǎo)學(xué)生利用已有模型求解問題，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用，加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)知，體會到數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值。最后布置一個實際問題，引導(dǎo)學(xué)生課后思考，嘗試解決結(jié)束本節(jié)課。最短路線問題內(nèi)容實錄同學(xué)們，大家好，今天我們學(xué)習(xí)最短路線問題，首先讓我們來看一個實際問題，A、B兩個村莊在河流的邊上建一個水泵站，已知每米的管道費用100元，村莊A到河流的距離AD是1千米，村莊B到河流的距離BE是3千米，DE長3千米，問水泵站建在哪里費用最少，為多少？這個問題在我國古代就有了，白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，這是唐朝詩人李頎在古從軍行中的前兩句，詩中就隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題，將軍在觀望烽火后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬，再到B點宿營，怎樣走路程最近？這就是著名的將軍飲馬問題。同學(xué)們，你知道如何求解這個問題？為了解決這個問題，下面讓我們回顧兩條重要的幾何結(jié)論。如圖所示，A地到B地有三條路線可供選擇，選擇哪條路線最近呢？顯然我們會選擇號線路，理由是兩點之間線段最短?，F(xiàn)在讓我們再看另一條重要的幾何結(jié)論，連接直線外一點與直線上各點的所有連線段中，哪條線段最短？顯然，我們會選擇OC線段，理由是點到直線，垂線段最短。有了這兩條重要的幾何結(jié)論，讓我們看如何解決這個問題。如果，A點B點在直線的同側(cè)，求作一動點，使得PA+PB最小。首先，讓我們分析一下，要使得PA+PB最小，即就是將PA、PB兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段，應(yīng)用兩點之間線段最短即可求解。問題是如何實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)化呢？做B點關(guān)于直線L的對稱點B點，連接A B,交直線L于P點 。P點就是滿足PA+PB最小的點。有些同學(xué)會有疑問，可不可以做A點關(guān)于直線L的對稱點呢？這個問題留作課后思考，請大家嘗試解決。還有些同學(xué)會有疑問，為什么這樣的P點就是滿足PA+PB最小的點。我們就來證明一下。在直線L上任取與P點不同的點M點，連接MA、M B，在三角形MA B中，由三角形兩邊之和大于第三邊，我們可以知道MA+M B大于PA+P B,而由作圖可知，PB=P B,這我們就證明P點就是滿足PA+PB最小的點。下面讓我進(jìn)行動畫演示，容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點和點重合時，PA+PB最小。有了這個模型，讓我們看如何解決這個問題。如圖所示，正方形ABCD中，邊長為8，M在DC邊上，且DM=2，N是AC邊上的一個動點，問DN+MN的最小值為多少？還是讓我們先來分析一下，要使的DN+MN值最小，即就是將DN+MN兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段，利用兩點之間線段最短即可求解，如何實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)化呢？根據(jù)上面的模型，作D點關(guān)于線段AC的對稱點，而我們知道，正方形是很特殊的點，D點關(guān)于線段AC的對稱點恰好是P點。因此我們可以連接BM，交AC于N點，如何計算呢？在直角三角形BCM中，容易知道，CM=6,BC=8,根據(jù)勾股定理即可知道BM=10，即DN+MN的最小值為10?，F(xiàn)在讓我們回過頭來看如何解決前面的問題，水泵站建在哪里呢？如圖，做B點關(guān)于直線L的對稱點B點，連接A B，交直