等差數(shù)列及其前n項和-復習講義.doc

等差數(shù)列及其前n項和-復習講義一、知識梳理1等差數(shù)列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam(nm)d，(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn，(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列2等差數(shù)列的前n項和公式設等差數(shù)列an的公差為d，其前n項和Sn或Snna1d.3等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn (A、B為常數(shù))4等差數(shù)列的最值在等差數(shù)列an中，a10，d0，則Sn存在最_大_值；若a10，則Sn存在最_小_值5等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：anan1d (n2)；(2)等差中項法：2an1anan2.(3)通項公式法：(4)前n項和法：6等差數(shù)列與等差數(shù)列各項和的有關性質(1)am ，amk ，am2k ，am3k ，仍是等差數(shù)列，公差為kd.(2)數(shù)列Sm ，S2mSm ，S3mS2m ，也是等差數(shù)列(3)S2n1(2n1)an.(4)若n為偶數(shù)，則 若n為奇數(shù)，則S奇S偶a中(中間項)7等差數(shù)列與函數(shù)在d0時，an是關于n的一次函數(shù)，一次項系數(shù)為d；Sn是關于n的二次函數(shù)，二次項系數(shù)為，且常數(shù)項為0.二、鞏固訓練1已知等差數(shù)列an中，a3a822，a67，則a5_.答案15解析an為等差數(shù)列，a3a8a5a622，a522a622715.2設an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項和，若S10S11，則a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析因為S10S11，所以a110.又因為a11a110d，所以a120.3在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列前11項和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B 解析S1188.4設數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，若a1b17，a3b321，則a5b5_.答案35 解析兩個等差數(shù)列的和數(shù)列仍為等差數(shù)列 設兩等差數(shù)列組成的和數(shù)列為cn，由題意知新數(shù)列仍為等差數(shù)列且c17，c321，則c52c3c1221735.5如果等差數(shù)列中,那么（）A14B21C28D35【答案】C 【解析】因為,所以,所以. 6等差數(shù)列an中，a1a2a324，a18a19a2078，則此數(shù)列前20項和等于_解析：由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018S202020180.7設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a11，公差d2，則k等于 ()A8 B7 C6 D5答案D解析Sk2Skak1ak2a1kda1(k1)d2a1(2k1)d21(2k1)24k424，k5.8設等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為Sn、Tn，若對任意自然數(shù)n都有，則的值為_答案解析an，bn為等差數(shù)列，.，.9下面是關于公差的等差數(shù)列的四個命題: 其中的真命題為（）ABCD【答案】D 10已知數(shù)列an滿足遞推關系式an12an2n1(nN*)，且為等差數(shù)列，則的值是_解析由an12an2n1，可得，則，當?shù)闹凳?時，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列11已知數(shù)列中滿足,則數(shù)列的通項公式是_.【答案】【解析】本題考查疊加法求通項公式.因為兩邊同除得,所以 ,相加得,因為,帶入得. 12 已知是一個公差大于0的等差數(shù)列,且滿足，.令 ,記數(shù)列的前項和為,對任意的,不等式恒成立,則實數(shù)的最小值是_. 【答案】100 13已知數(shù)列的首項為,前n項和為,且，則通項公式為_。 【答案】 14設數(shù)列的前n項和為.已知a11， 則通項公式為_。解析：當n2時，2Snnan1n3n2n， 2Sn1an，兩式相減得2annan1an，整理得annan1n，即1，又1，故數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以11n，所以ann2.15設等差數(shù)列的前n項和為Sn，已知前6項和為36，Sn324，最后6項的和為180 (n6)，求數(shù)列的項數(shù)n.解由題意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5) 6(a1an)216.a1an36.又Sn324，18n324.n18.16 (1)在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項和為Sn，且S10S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知數(shù)列an的通項公式是an4n25，求數(shù)列|an|的前n項和解(1)方法一a120，S10S15， 1020d1520d，d.an20(n1)n. a130，即當n12時，an0，n14時，an0，當n12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S13S121220130.方法二同方法一求得d. Sn20nn2n2.nN*，當n12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.方法三同方法一求得d.又由S10S15得a11a12a13a14a150. 5a130，即a130.當n12或13時，Sn有最大值且最大值為S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25， an1an4d，又a1412521.所以數(shù)列an是以21為首項，以4為公差的遞增的等差數(shù)列令由得n6；由得n5，所以n6.即數(shù)列|an|的前6項是以21為首項，公差為4的等差數(shù)列，從第7項起以后各項構成公差為4的等差數(shù)列，而|a7|a747253. 設|an|的前n項和為Tn，則Tn17已知等差數(shù)列的公差大于0,且是方程的兩根,數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)記,求證:;(3)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)因為是方程的兩根,且數(shù)列的公差,所以,公差.所以. 又當時,有,所以. 當時,有,所以. 所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列, 所以. (2)由(1)知, 所以, 所以. (3)因為, 則, , 由-,得, 整理,得. 18.已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項和滿足：(2)2.(1)求證：是等差