線性代數(shù) 考研數(shù)學(xué) 試題試卷剖析.pdf

2003 年線性代數(shù)考研試題年線性代數(shù)考研試題 數(shù)一數(shù)一 1 從 2 R的基到基的過渡矩陣為 1 1 0 1 21 2 1 1 1 21 21 32 詳解詳解 根據(jù)定義 從 2 R的基到基的過渡 矩陣為 1 1 0 1 21 2 1 1 1 21 P 1 21 21 11 10 11 1 21 21 32 21 11 10 11 2 設(shè)向量組 I r 21 可由向量組 II s 21 線性表示 則 D A 當(dāng)sr 時(shí) 向量組 II 必線性相關(guān) C 當(dāng)sr 時(shí) 向量組 I 必線性相關(guān) 詳解詳解 用排除法 如 則 1 0 0 1 0 0 211 211 00 但 21 線性無關(guān) 排除 A 則 0 1 0 1 0 0 121 21 可由 1 線性表示 但 1 線 性無關(guān) 排除 B 1 0 0 1 0 1 211 1 可由 21 線性表示 但 1 線性無 關(guān) 排除 C 故正確選項(xiàng)為 D 3 設(shè)有齊次線性方程組 Ax 0 和 Bx 0 其中 A B 均為nm 矩陣 現(xiàn)有 4 個(gè)命題 若 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解 則秩 A 秩 B 若秩 A 秩 B 則 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解 若 Ax 0 與 Bx 0 同解 則秩 A 秩 B 若秩 A 秩 B 則 Ax 0 與 Bx 0 同解 以上命題中正確的是 B A B C D 詳解詳解 若 Ax 0 與 Bx 0 同解 則 n 秩 A n 秩 B 即秩 A 秩 B 命題 成立 可排除 A C 但反過來 若秩 A 秩 B 則不能推出 Ax 0 與 Bx 0 同解 如 00 01 A You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔劍考研 2014考研 2015考研 10 00 B 則秩 A 秩 B 1 但 Ax 0 與 Bx 0 不同解 可見命題 不成立 排除 D 故正確選項(xiàng)為 B 4 設(shè)矩陣 322 232 223 A 100 101 010 PPAPB 1 求 B 2E 的特征值與特征向 量 其中為 A 的伴隨矩陣 E 為 3 階單位矩陣 A 詳解詳解 經(jīng)計(jì)算可得 522 252 225 A 100 001 110 1 P PAPB 1 322 452 007 從而 522 472 009 2EB 3 9 522 472 009 2 2 EBE 故 B 2E 的特征值為 3 9 321 當(dāng)9 21 時(shí) 解0 9 xAE 得線性無關(guān)的特征向量為 0 1 1 1 1 0 2 2 所以屬于特征值9 21 的所有特征向量為 其中是不全為零的任意常數(shù) 1 0 2 0 1 1 212211 kkkk 21 k k 當(dāng)3 3 時(shí) 解 得線性無關(guān)的特征向量為 0 3 xAE You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔劍考研 2014考研 2015考研 1 1 0 3 所以屬于特征值3 3 的所有特征向量為 其中 1 1 0 333 kk 0 3 k為任意常數(shù) 5 已知平面上三條不同直線的方程分別為 1 l032 cbyax 2 l032 acybx 3 l032 baycx 試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為 0 cba 詳解詳解 必要性必要性 設(shè)三條直線交于一點(diǎn) 則線性方程組 321 lll 32 32 32 baycx acybx cbyax 有唯一解 故系數(shù)矩陣與增廣矩陣 ac cb ba A 2 2 2 bac acb cba A 32 32 32 的秩均為 2 于是 0 A 由于 6 32 32 32 222 bcacabcbacba bac acb cba A 3 222 accbbacba 但根據(jù)題設(shè) 故 0 222 accbba 0 cba 充分性 充分性 由0 cba 則從必要性的證明可知 0 A 故秩 3 A 由于 2 2 2 2 22 bbaabac cb ba You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔劍考研 2014考研 2015考研 0 4 3 2 1 2 22 bba 故秩 A 2 于是 秩 A 秩 A 2 因此方程組 有唯一解 即三直線交于一點(diǎn) 321 lll 數(shù)二數(shù)二 1 設(shè) 為 3 維列向量 是 T 的轉(zhuǎn)置 若 則 111 111 111 T T 3 詳解詳解 由 知 于是 111 111 111 T 111 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 111 T 2 設(shè)三階方陣 A B 滿足EBABA 2 其中 E 為三階單位矩陣 若 102 020 101 A 則 B 2 1 詳解詳解 由EBABA 2 知 EABEA 2 即 EABEAEA 易知矩陣 A E 可逆 于是有 EBEA 再兩邊取行列式 得 1 BEA 因?yàn)?2 002 010 100 EA 所以 B 2 1 3 設(shè)向量組 I r 21 可由向量組 II s 21 線性表示 則 D You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔劍考研 2014考研 2015考研 A 當(dāng)sr 時(shí) 向量組 II 必線性相關(guān) C 當(dāng)sr 時(shí) 向量組 I 必線性相關(guān) 4 若矩陣相似于對(duì)角陣 600 28 022 aA 試確定常數(shù) a 的值 并求可逆矩陣 P 使 1 APP 詳解詳解 矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為 16 2 6 600 28 022 2 aAE 2 6 2 故 A 的特征值為 2 6 321 由于 A 相似于對(duì)角矩陣 故對(duì)應(yīng) 6 21 應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量 即 2 6 3 AEr 于是有 1 6 AEr 由 000 00 012 000 48 024 6aaAE 知 a 0 于是對(duì)應(yīng)于6 21 的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量可取為 1 0 0 1 0 2 1 2 當(dāng)2 3 時(shí) 000 100 012 800 048 024 2AE You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔劍考研 2014考研 2015考研 解方程組得對(duì)應(yīng)于 0 02 3 21 x xx 2 3 的特征向量 0 2 1 3 令 則 P 可逆 并有 001 220 110 P 1 APP 5 已知平面上三條不同直線的方程分別為 1 l032 cbyax 2 l032 acybx 3 l032 baycx 試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為 0 cba 數(shù)三數(shù)三 1 設(shè) n 維向量 E 為 n 階單位矩陣 矩陣 0 0 0 aaa T T EA T a EB 1 其中A的逆矩陣為B 則a 1 詳解詳解 由題設(shè) 有 1 TT a EEAB TTTT aa E 11 TTTT aa E 11 TTT a a E 2 1 E a aE T 1 21 于是有 0 1 21 a a 即 解得 012 2 aa 1 2 1 aa 由于 A bxbxxxaxAXXxxxf T 中二次型的矩陣 A 的特征 值之和為 1 特征值之積為 12 1 求 a b 的值 2 利用正交變換將二次型 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形 并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣 分析分析 特征值之和為 A 的主對(duì)角線上元素之和 特征值之積為 A 的行列式 由此可 求出 a b 的值 進(jìn)一步求出 A 的特征值和特征向量 并將相同特征值的特征向量正交化 若 有必要 然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔劍考研 2014考研 2015考研 詳解詳解 1 二次型 f 的矩陣為 20 020 0 b ba A 設(shè) A 的特征值為 3 2 1 i i 由題設(shè) 有 1 2 2 321 a 1224 20 020 0 2 321 ba b ba 解得 a 1 b 2 2 由矩陣 A 的特征多項(xiàng)式 3 2 202 020 201 2 AE 得 A 的特征值 3 2 321 對(duì)于 2 21 解齊次線性方程組0 2 xAE 得其基礎(chǔ)解系 T 1 0 2 1 0 1 0 2 T 對(duì)于3 3 解齊次線性方程組0 3 xAE 得基礎(chǔ)解系 2 0 1 3 T 由于 321 已是正交向量組 為了得到規(guī)范正交向量組 只需將 321 單位化 由此 得 T 5 1 0 5 2 1 T 0 1 0 2 5 2 0 5 1 3 T 令矩陣 5 2 0 5 1 010 5 1 0 5 2 321 Q 則 Q 為正交矩陣 在正交變換 X QY 下 有 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔劍考研 2014考研 2015考研 300 020 002 AQQT 且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 322 2 3 2 2 2 1 yyyf 數(shù)四數(shù)四 1 設(shè) A B 均為三階矩陣 E 是三階單位矩陣 已知 AB 2A B B 則 202 040 202 1 EA 001 010 100 分析分析 應(yīng)先化簡(jiǎn) 從 AB 2A B 中確定 1 EA 詳解詳解 由 AB 2A B 知 AB B 2A 2E 2E 即有 EEABEA2 2 EEBEA2 2 EEBEA 2 2 1 可見 1 EA 2 2 1 EB 001 010 100 2 設(shè)矩陣 已知矩陣 A 相似于 B 則秩 A 2E 與秩 A E 之和等于 C 001 010 100 B A 2 B 3 C 4 D 5 分析分析 利用相似矩陣有相同的秩計(jì)算 秩 A 2E 與秩 A E 之和等于秩 B 2E 與秩 B E 之和 詳解詳解 因?yàn)榫仃?A 相似于 B 于是有矩陣 A 2E 與矩陣 B 2E 相似 矩陣 A E 與矩 陣 B E 相似 且相似矩陣有相同的秩 而 秩 B 2E 秩 秩 B E 秩 3 201 010 102 1 101 000 101 可見有 秩 A 2E 秩 A E 秩 B 2E 秩 B E 4 故應(yīng)選 C 3 設(shè)有向量組 I 和向量組 II T 2 0 1 1 T 3 1 1 2 T a 2 1 1 3 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔劍考研 2014考研 2015考研 T a 3 2 1 1 試問 當(dāng) a 為何值時(shí) 向量組 I 與 II 等價(jià) 當(dāng) a 為何值時(shí) 向量組 I 與 II 不等價(jià) T a 6 1 2 2 4 1 2 3 T a 分析分析 兩個(gè)向量組等價(jià)也即兩個(gè)向量組可以相互線性表示 而兩個(gè)向量組不等價(jià) 只需其中一組有一個(gè)向量不能由另一組線性表示即可 而線性表示問題又可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)非 齊次線性方程組是否有解的問題 這可通過化增廣矩陣為階梯形來判斷 一個(gè)向量 1 是否 可由 321 線性表示 只需用初等行變換化增廣矩陣 1321 為階梯形討論 而 一 組 向 量 321 是 否 可 由 321 線 性 表 示 則 可 結(jié) 合 起 來 對(duì) 矩 陣 321321 同時(shí)作初等行變換化階梯形 然后類似地進(jìn)行討論即可 詳解詳解 作初等行變換 有 321321 463232 112110 221111 aaaa 111100 112110 111201 aaaa 1 當(dāng)時(shí) 有行列式1 a 01 321 a 秩 3 321 故線性 方程組 3 2 1 332211 ixxx i 均有唯一解 所以 321 可由向量組 I 線性表示 同樣 行列式 06 321 秩 3 321 故 321 可由向量 組 II 線性表示 因此向量組 I 與 II 等價(jià) 2 當(dāng) a 1 時(shí) 有 321321 202000 112110 111201 由于秩 321 秩 1321 線性方程組 1332211 xxx 無解 故向量 1 不能由 321 線性表示 因此 向量組 I 與 II 不等價(jià) 5 設(shè)矩陣可逆 向量是矩陣的一個(gè)特征向量 a A 11 121 112 1 1 b A 是 對(duì)應(yīng)的特 征值 其中是矩陣 A 的伴隨矩陣 試求 a b 和 A 的值 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔劍考研 2014考研 2015考研 分析分析 題設(shè)已知特征向量 應(yīng)想到利用定義 又與伴隨矩陣相關(guān)的 問題 應(yīng)利用 A A EAAA 進(jìn)行化簡(jiǎn) 詳解詳解 矩陣屬于特征值 A 的特征向量為 由于矩陣 A 可逆 故可