北京市海淀區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）.doc

北京市海淀區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，則集合是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用補(bǔ)集和交集的定義可求出集合.【詳解】集合，則，因此，.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟悉交集和補(bǔ)集的定義是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】解：由 拋物線方程的特點(diǎn)可知，拋物線的焦點(diǎn)位于 軸正半軸，由 ，可得： ，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為 .本題選擇b選項(xiàng).3.下列直線與圓相切的是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】觀察到選項(xiàng)中的直線都過原點(diǎn)，且圓也過原點(diǎn)，只需求出圓在原點(diǎn)處的切線方程即可.【詳解】由于選項(xiàng)中各直線均過原點(diǎn)，且原點(diǎn)在圓上，圓心坐標(biāo)為，圓心與原點(diǎn)連線的斜率為，所以，圓在原點(diǎn)處的切線方程為.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的判斷，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.已知、，且，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用特殊值法和函數(shù)單調(diào)性可判斷出各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】對于a選項(xiàng)，取，則成立，但，a選項(xiàng)錯誤；對于b選項(xiàng)，取，則成立，但，即，b選項(xiàng)錯誤；對于c選項(xiàng)，由于指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則，c選項(xiàng)正確；對于d選項(xiàng)，取，則，但，d選項(xiàng)錯誤.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，常用特殊值法、函數(shù)單調(diào)性與不等式的性質(zhì)來進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.5.在的展開式中，的系數(shù)為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可計(jì)算出的系數(shù).【詳解】的展開式通項(xiàng)為，令，得.因此，的系數(shù)為.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，解題時要熟練利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)來計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知平面向量、滿足，且，則的值為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由等式得，等式兩邊平方可求出的值.【詳解】由可得，等式兩邊平方得，即，因此，.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是對等式進(jìn)行變形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7.已知、是三個不同的平面，且，則“”是“”的（ ）a. 充分而不必要條件b. 必要而不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】【分析】根據(jù)幾何模型與面面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件和必要條件的定義可判斷出“”是“”的必要而不充分條件.【詳解】如下圖所示，將平面、視為三棱柱的三個側(cè)面，設(shè)，將、視為三棱柱三條側(cè)棱所在直線，則“”“”；另一方面，若，且，由面面平行的性質(zhì)定理可得出.所以，“”“”，因此，“”是“”的必要而不充分條件.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查必要不充分條件的判斷，同時也考查了空間中平行關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于中等題.8.已知等邊邊長為，點(diǎn)在邊上，且，.下列結(jié)論中錯誤的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用余弦定理計(jì)算出，結(jié)合正弦定理等三角形知識可對各選項(xiàng)的正誤進(jìn)行判斷.【詳解】如下圖所示：點(diǎn)在邊上，且，由余弦定理得，整理得，解得，則，由正弦定理得，所以，.由余弦定理得，同理可得，則.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查三角形線段長、面積以及三角函數(shù)值比值的計(jì)算，涉及余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9.聲音的等級（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足. 噴氣式飛機(jī)起飛時，聲音的等級約為；一般說話時，聲音的等級約為，那么噴氣式飛機(jī)起飛時聲音強(qiáng)度約為一般說話時聲音強(qiáng)度的（ ）a. 倍b. 倍c. 倍d. 倍【答案】b【解析】【分析】設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時聲音強(qiáng)度和一般說話時聲音強(qiáng)度分別為、，根據(jù)題意得出，計(jì)算出和的值，可計(jì)算出的值.【詳解】設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時聲音強(qiáng)度和一般說話時聲音強(qiáng)度分別為、，由題意可得，解得，解得，所以，因此，噴氣式飛機(jī)起飛時聲音強(qiáng)度約為一般說話時聲音強(qiáng)度的倍，故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，同時也涉及了指數(shù)與對數(shù)式的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10.若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是棱上一動點(diǎn)（與、不重合），.給出下列三個結(jié)論：線段長度的取值范圍是；存在點(diǎn)使得平面；存在點(diǎn)使得.其中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后利用向量法來判斷出命題的正誤.【詳解】取的中點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，再過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn).在正方體中，平面，平面，又，平面，即，同理可證，則，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.對于命題，則，則，所以，命題正確；對于命題，則平面的一個法向量為，令，解得，所以，存在點(diǎn)使得平面，命題正確；對于命題，令，整理得，該方程無解，所以，不存在點(diǎn)使得，命題錯誤.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、線線關(guān)系的判斷，同時也涉及了立體幾何中的新定義，利用空間向量法來處理是解題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.在等差數(shù)列中,若,則 .【答案】【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知得，所以，所以考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.12.若復(fù)數(shù)，則_.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的模長公式可計(jì)算出的值.【詳解】，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，同時也考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.已知點(diǎn)，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn).若為正三角形，則該雙曲線的離心率為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)為等邊三角形求出的值，可求出雙曲線的焦距，即可得出雙曲線的離心率.【詳解】由于為正三角形，則，得.所以，雙曲線的半焦距為，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是求出雙曲線方程中的幾何量，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】由題意可知，函數(shù)在區(qū)間上存在極小值，分和兩種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，在時求出函數(shù)的極值點(diǎn)，可得出，解出即可.【詳解】，.當(dāng)時，對任意的，此時，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上沒有最小值；當(dāng)時，令，可得，當(dāng)時，當(dāng)時，此時，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，由題意可得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的最值點(diǎn)求參數(shù)，解題時要熟悉函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象時，列表如下：則_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出、的值，可得出函數(shù)的解析式，然后代值計(jì)算可得出和的值.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，則，解得，則，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用表格中的數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16.已知曲線（為常數(shù)）.（i）給出下列結(jié)論：曲線為中心對稱圖形；曲線為軸對稱圖形；當(dāng)時，若點(diǎn)在曲線上，則或.其中，所有正確結(jié)論序號是_.（ii）當(dāng)時，若曲線所圍成的區(qū)域的面積小于，則的值可以是_.（寫出一個即可）【答案】 (1). (2). 均可【解析】【分析】（i）在曲線上任取一點(diǎn)，將點(diǎn)、代入曲線的方程，可判斷出命題的正誤，利用反證法和不等式的性質(zhì)可判斷出命題的正誤；（ii）根據(jù)時，配方得出，可知此時曲線為圓，且圓的面積為，從而得知當(dāng)時，曲線所表示的圖形面積小于.【詳解】（i）在曲線上任取一點(diǎn)，則，將點(diǎn)代入曲線的方程可得，同理可知，點(diǎn)、都在曲線上，則曲線關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對稱，命題正確.當(dāng)時，反設(shè)且，則，所以，則，所以，這與矛盾.假設(shè)不成立，所以，或，命題正確；（ii）當(dāng)時，曲線的方程為，即，即，此時，曲線表示半徑為的圓，其面積為.當(dāng)時，且當(dāng)時，在圓上任取一點(diǎn)，則，則點(diǎn)在曲線外，所以，曲線的面積小于圓的面積.故答案為：；均可.【點(diǎn)睛】本題考查曲線中的新定義，涉及曲線的對稱性以及曲線面積相關(guān)的問題，考查推理能力，屬于難題.三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.已知函數(shù).（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）利用二倍角的降冪公式以及輔助角公式將函數(shù)的解析式變形為，然后解不等式，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）由，結(jié)合題意得出，即可求出實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】（），因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為， 令，得. 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（）因?yàn)?，所?又因?yàn)?，的最大值為，所以，解得，所以的最小值?【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求解，解題的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)解析式化簡，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18.如圖，在三棱錐中，平面平面，和均是等腰直角三角形，、分別為、的中點(diǎn). （）求證：平面；（）求證：；（）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（）證明見解析；（）證明見解析；（）.【解析】【分析】（）由中位線的性質(zhì)得出，然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；（）由已知條件可知，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理可證明出平面，即可得出；（）以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（）在中，、分別為、的中點(diǎn)，所以為中位線，所以. 又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；（）在等腰直角三角形中，所? 因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所以；（）在平面?nèi)過點(diǎn)作垂直于，由（）知，平面，因?yàn)槠矫妫?如圖，以原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系. 則，.，.設(shè)平面的法向量為，則，即.令則，所以.直線與平面所成角大小為，.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定、利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直，同時也考查了直線與平面所成角的正弦值的計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.19.某市城市總體規(guī)劃（年）提出到年實(shí)現(xiàn)“分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標(biāo)，從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身個方面構(gòu)建“分鐘社區(qū)生活圈”指標(biāo)體系，并依據(jù)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為：優(yōu)質(zhì)小區(qū)（指數(shù)為）、良好小區(qū)（指數(shù)為）、中等小區(qū)（指數(shù)為）以及待改進(jìn)小區(qū)（指數(shù)為）個等級.下面是三個小區(qū)個方面指標(biāo)的調(diào)查數(shù)據(jù)：注：每個小區(qū)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)，其中、為該小區(qū)四個方面的權(quán)重，、為該小區(qū)四個方面的指標(biāo)值（小區(qū)每一個方面的指標(biāo)值為之間的一個數(shù)值）.現(xiàn)有個小區(qū)的“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)數(shù)據(jù)，整理得到如下頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)（）分別判斷、三個小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū)，并說明理由；（）對這個小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進(jìn)小區(qū)進(jìn)行分層抽樣，抽取個小區(qū)進(jìn)行調(diào)查，若在抽取的個小區(qū)中再隨機(jī)地選取個小區(qū)做深入調(diào)查，記這個小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（）、小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；小區(qū)是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；見解析；（）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.【解析】【分析】（）計(jì)算出每個小區(qū)的指數(shù)值，根據(jù)判斷三個小區(qū)是否為優(yōu)質(zhì)小區(qū)；（）先求出個小區(qū)中優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個數(shù)，可得出隨機(jī)變量的可能取值，然后利用超幾何分布的概率公式計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式可計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】（）小區(qū)的指數(shù)，所以小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；小區(qū)的指數(shù)，所以小區(qū)是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；小區(qū)的指數(shù)，所以小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；（）依題意，抽取個小區(qū)中，共有優(yōu)質(zhì)小區(qū)個，其它小區(qū)個. 依題意的所有可能取值為、.，. 則的分布列為： .【點(diǎn)睛】本題考查概率統(tǒng)計(jì)綜合問題，同時也考查了超幾何分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，解題時要結(jié)合題意得出隨機(jī)變量所滿足的分布列類型，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20.已知橢圓的右頂點(diǎn)，且離心率為（）求橢圓的方程；（）設(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，直線和分別與直線交于點(diǎn)、，求與面積之和的最小值.【答案】（）；（）最小值為.【解析】【分析】（）設(shè)橢圓的焦距為，根據(jù)題意列出關(guān)于、的方程組，求出這三個量的值，即可求出橢圓的方程；（）設(shè)點(diǎn)，可得出點(diǎn)坐標(biāo)為，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，求出與面積之和的表達(dá)式，結(jié)合等式，利用基本不等式可求出與面積之和的最小值.【詳解】（）設(shè)橢圓的焦距為，依題意，得，解得.所以橢圓的方程為；（）設(shè)點(diǎn)，依題意，點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足（且），直線的方程為，令，得，即. 直線的方程為，同理可得.設(shè)為與軸的交點(diǎn).又因?yàn)?，所?當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中三角形面積之和最值的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21.已知函數(shù).（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）若函數(shù)有極小值，求證：的極小值小于.【答案】（）；（）證明見解析.【解析】【分析】（）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出和的值，然后利用點(diǎn)斜式可寫出所求切線的方程；（）設(shè)函數(shù)的兩個極值點(diǎn)分別為、，且，由韋達(dá)定理可得知，然后利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證明出結(jié)論成立.【詳解】（）由已知得，因?yàn)?，所以直線的方程為；（），令，.（i）當(dāng)時，即當(dāng)時，所以，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，此時，函數(shù)在上無極小值；（ii）當(dāng)時，即當(dāng)時，記、是方程的兩個根，不妨設(shè)，則，所以.此時，隨的變化如下：極大值極小值所以