2012年高考數(shù)學信息試卷(一).pdf

2 0 1 2年高考數(shù)學信息試卷 一 第 1卷 選擇題 共 5 O分 一 選擇題 本 大題 共 l 0題 每 小題 5分 共 5 0分 在每小題給 出的 四個選 項 中 只 有 一項 是符 合題 目要 求的 1 理 已知復數(shù) r z 6 0 b R z 是 z的共 軛復 數(shù) 且z 2 i 3一i 則 o 6的值分別為 A 7 1 B 6 一1 C 7 一1 D 6 1 文 已知 為實 數(shù)集 M f o g 2 x 1 N I y 則MA c N A 1 0 1 B 1 0 2 C 1 0 b 0 的左 右焦點 為雙曲線上除頂點外 的任意 一 點 且 AF M 的 內(nèi) 切 圓 交 實 軸 于 點 N 則 I F NI I I 的值為 A 6 B a2 C C 2 1 0 函數(shù) 的定義域為 D 若對于任意 D 當 0的 m的取值范圍為 1 5 理 考生注意 請在下列兩題中任選一題作答 如果多做 則按所做的第一題評分 幾何證 明選講選做 題 如 圖 5 過 點 P作 00的割線 P A B與切 線 P E E為切點 連接 A E B E A 尸 E的 平 分 線 分 別 與 A E B E 相 交 于 點 C D 若 A E B 3 0 則 厶P CE 坐標系與參數(shù)方程選做題 在極坐標系中 與 極軸垂直且相交的直線 1 與 圓P 4相交于 4 曰兩 點 若 I A BI 4 則直線 f 的極坐標方程為 一 0 文 如圖6 線段A B 8 點 C在線段A B上 且A C 2 2高 中 生 之 友 上 半 月 刊7 8 2 0 1 2 數(shù)學信息 2 2 P為線 段 C B上一 動點 點 A繞著 C旋轉 后與 點 B繞 點 P旋 轉 后重 合于點 D 設 C P C P D 的 面 積 為 則 廠 的定義域為 A C P B 圖 6 的最 大值 為 三 解答題 本大題共 6小題 共 7 5分 解 答應 寫出文 字說 明 證 明過程或演 算步驟 1 6 本小題滿分 l 2分 設 A是單位圓和 軸正半軸的交點 P Q是單位 圓 上 兩 點 0 是 坐 標 原 點 E A O P 詈 A O Q O t O L 0 1 T 1 若點 Q的坐標是 m 求 c s 一 I T 的 值 2 設函數(shù) 求 廠 的值域 1 7 本小題滿分 1 2分 盒 中裝有 7個 零件 其 中 2個 是使用 過的 另外 5 個未經(jīng)使用 1 從盒中每次隨機抽取 1個零件 每次觀察后 都將零件放回盒中 求 3次抽取中恰有 1次抽到 使用過的零件的概率 2 理 從 盒 中隨機 抽取 2個 零件 使 用后 放 回 盒中 記此時盒中使用過的零件個數(shù)為 求 的 分 布列和數(shù)學期望 文 從盒 中隨機抽取 2個零件 使用后放回盒 中 求此時盒中使用過的零件個數(shù)為3或 4概率 1 8 本 小題滿分 1 2分 理 在正 AA B C中 E F P分別是 A B A C B C邊 上 的 點 滿 足 歷A E 篙 1 如 圖 7 將 AA E F沿 折起 到 A E F的位置 使二面角 A 一 E F B 成直二面角 連接A B A P 如圖 8 1 求證 E J 平面AB E P 2 求直線 A E與平面 所成角的大小 P C B A 圖 7 圖 8 文 如 圖 9 邊長為 1的正方形 A B C D中 點 E F 分別為A B B C的中點 將 AB E F剪去 將 AA E D ADC F分別沿 D E D F折起 使 A C兩點重合于 點 P得一三棱錐 如圖 1 0所示 1 求證 P D上E F 2 求三棱錐 P D E F的體積 數(shù)學信息 一 3 D 圖 l 0 7 8 2 0 1 2高中生之友 上半月刊 一 1 9 本小題滿分 1 2分 理 已知函數(shù) 1 一I n 1 其中 0 R 1 若 2是 的極值點 求 的值 2 求 的單調區(qū)間 3 若 在 0 上的最大值是0 求 口的取 值范圍 文 已知函數(shù) 6 n 其中 n b為常數(shù)且 n O 0 1 的反函數(shù) 的圖像經(jīng)過點 A 4 1 和 曰 1 6 3 1 求 0 b的值 2 若不等式 b 一 m一1 l 0在 一 1 上恒成立 求實數(shù) m的取值范圍 2 0 本小題滿分 1 3分 理 已知定點 A 一 3 0 肼 N分別為 軸 y軸 上的動點 J7 r 不重合 且A N L MN 點P在直線 MN 上 1 求動點P的軌跡 c的方程 2 設點 Q是曲線 一8 1 5 0上任一點 試探究在軌跡 c上是否存在點 使得點 到點 Q 的距離最小 若存在 求出該最小距離和點 的坐 標 若不存在 說明理由 文 在數(shù)列 0 中 已知0 3 a 3 一 1 2 t N 柵 孚 2 求數(shù)列 n 的通項公式 n 及它的前 n項和 S 2 4高中 生 之 友 上 半 月 刊7 8 2 0 1 2 2 1 本小題滿分 1 4分 理 已 知 一 n n N n 為 常數(shù) 1 若 1 求 證 數(shù) 列 l g 等 比 數(shù) 列 2 在 1 條 件 下 求 證 5 一 n E N 3 若 o 試問代數(shù)式 2 0 1 I 的值在哪兩個相 l 鄰的整數(shù)之間 并加以證明 文 已 知 橢圓c 魯 I o b 0 的 離 心 率 0 D 為 以 原 點 為 圓 心 橢 圓 的 短 半 軸 為 半 徑 的 圓 與 直線 y 石 0相切 1 求橢圓 C的方程 2 設 P 4 0 A B是橢圓 C上關于 軸對稱的 任意兩個不 同 的點 連接 P 曰交橢 圓 C于另 一點 E 證明直線 A E與 軸相交于定點 Q 3 在 2 的條件下 過點 Q的直線與橢圓 C交于 M 兩點 求 的取值范圍 數(shù)學信息 一 4 作者 周開財 南昌大學附屬中學 宋慶 南昌大學附屬 中學 f x 1 e 一a x 1 1 e 一a 2分 若 0 一a I 0 故當 一1時 O 當 一1時 0 所以 o O時 函數(shù) 廠 單調減 區(qū)間是 一m 一1 單調增 區(qū) 間是 一1 o 4分 若0 a e 則l n a 一 1 列表如下 一 1 n a l n a 1 n a 一1 一1 一1 廠 0 O 廠 極大 極小 由表可知 當0 a0 函數(shù) 廠 在 一 上單調遞增 所 以 n e 時 函數(shù) 廠 單調增 區(qū)間是 一 若 e 則 l n a 1 列表 一 一1 一l 一1 l n a l n a 1 n a 廠 0 0 廠 極大 極小 由表可知 當 a e 時 函數(shù) f 單 調減 區(qū)間是 一1 l n a 單調增區(qū)間是 一 一1 和 1 n a 8 I I 當 a 1 且 0時 令 F fl 一g e 一 e 一 設 h e 一 則 h e 一l 因為 0 所 以 h e 一1 0 所 以 h e 一 在 0 上單調遞增 所 以 h e 一 0 0 1 2分 所 以 0 F 0 即 廠 g 2 0 解 南 n 一b c 2與 e 旦 2 得 a 2 2 b F 一 等 F z 等 cz 分 因為 f 的方程為 n 設 則 莉 警 由 o 一 o 4分 I 由 I I j 2 得 y l 2 劃一 芋 等 n y 22 一 孚 由 三式 消去 y Y 2 得 2 o一 9丁 a 2 2 0 丁 a 2 學 故 n 2 b 4 2 所 以 所 求 的 橢 圓 方 程 為 等 等 1 7 分 1I l M N l Y l Y 2 y 1 Y 2 2 y 1 Y 2 一 2 y l Y 2 2 y 1 Y 一4 y 1 Y 6 a 8 露高中生之 友 上半月 刊 7 8 2 0 1 2 當且僅 一 北 I M N I J 值 此 時 幣 警 孚 2 n y l 托 2 口 0 2 F l F 故 與 共線 1 3分 2 1 解 I 由變換 的定義可得 A1 0 1 1 0 0 1 2分 A 0 1 0 1 4分 數(shù)列 中連續(xù)兩項相等 的數(shù)對至少有 1 0對 5分 證 明 對 于任意一個 0 1數(shù) 列 A 0 A o中每一 個 1在 2中 對應 連續(xù) 四項 1 0 0 1 在 A 中每一個 0在 A 2中對應 的連 續(xù) 四項為 0 1 1 0 因此 共有 1 0項的 0 1數(shù)列 A 中的每一個項在 A 2中都 會 對應一個連續(xù)相等的數(shù)對 所 以 A 中至少有 1 0對連續(xù)相等 的數(shù)對 8分 1 l I 設 A 中有 b 個 O 1數(shù)對 A 1 中的 O 0數(shù)對只 能由 A 中的 O 1數(shù) 對得 到 所 以 b A 1 中的 O 1數(shù)對有兩個產(chǎn)生途徑 由A 中的 1 得到 由 A 中o o得到 由變換 的定義及 A 0 0 1可得 中 0和 1的個 數(shù)總相等 且共有 2 個 所 以 b I 2 所 以 2 2 由 A 0 O 1可得 A l 1 0 0 1 A 2 0 1 1 0 1 0 0 1 所 以 Z 1 1 Z 2 1 當 3時 若 k為偶 數(shù) 一 2 2 f 一2 f 一4 2 一 上述各式相加可得 l 1 2 2 十 2 一 了 1 1 經(jīng)檢驗 k 2時 也滿 足 1 下 1 2 一1 若 k為奇數(shù) l l 一 2 2 f 一 2 一 4 2 f 3 1 l 2 上述各式相加可得 1 2 2 2 一 Il 2 經(jīng)檢驗 k 1 時 也滿足l 2 1 f 2 1 k 為 奇 數(shù) 所以 1 4 分 I 2 一1 k為偶數(shù) L j r 0 2 y 2 o 1 3 答案6 1 5 理 i 7 5 c o s 口 2 5 文 2 4 2 A 三 解答題 1 6 解 1 由已知可得 m c s 了 3 s i n 所 以 c 咖 一 詈 c s s 詈 s in a s in 詈 6分 2 c s 詈 sin 詈 cos a sin 孚 cos s i n n 子 因為 E o 則 n 丁 I T 了 IT 所 以 一 孚 o 時 令 廠 0 得 l o 或 2 寺一 1 當 0 a 1 時 一 1 2 0 I 與廠 的情況如下 所 以 的單調增 區(qū)間是 一1 0 單調減 區(qū)間是 一1 一 1 和 0 當 a 0時 的單調增區(qū)間是 0 單調減區(qū)間是 一l 0 綜上 當 0時 的增 區(qū)間是 0 十m 減區(qū)間是 一1 O 當0 1時 的增 區(qū)間是 一1 0 減區(qū)間是 一1 一 1 一 1 和 0 8分 3 由 2 知 a O時 在 0 上單 調遞增 由f 0 0 知不合題意 當 0 n 0 o 知 不 合 題意 當 n 1時 在 O 單調遞減 可得 廠 在 O 上的最大值是 O O 符合題意 所以 在 0 o 上 的最大值 是 0時 a的取值 范圍是 1 1 2分 文 解 1 因為f 圖像經(jīng)過點 A 4 1 B 1 6 3 所以 圖像經(jīng)過點 A 1 4 B 3 1 6 所以 1tl a 6 口 b 3 4 1 6 6 2 所以 2 6 分 2 不等式 b 一I m一1 l 0在 z E 一 1 上恒 成立 錚不等式 2 l m一 1 I 在 一 1 時恒成立 2 m in I i n 一 1 I 恒 成立 8 分 設 g t 2 t 因 為 1 所以 1 0分 所 以 g c g 5 所 以 lm l I 等 一 m 9 所以實數(shù) m 的取值范圍是 1 1 2 分 2 O 理 解 1 設點 肘 的坐標分別為 a 0 0 b a 0 b 0 點 P的坐標為 z Y 貝 3 6 砌 一 6 一 y 戶 Y b 8 6高 中 生 之 友 上 半 月 刊7 8 2 0 1 2 由A N上MN得 3 a b 0 一 由 毒 得 一 手 一n y b 所 以 1 6 一 丁 1 y 代入 得 4 因為 a 0 b 0所 以 x 0 y 0 所以動點 P的軌跡 C的方程 為 Y 2 4 x 0 2 曲線 Y 8 x十1 5 0 即 一 4 1 是 以 B 4 0 為 圓 心 以 1 為半徑 的 圓 設 為軌 跡 c上任意一點 連接 他 則 I T QI Q BI f T B J j I T QI 船 I 一1 8分 所以當 I T BI 最小 時 I T Ql 最小 9分 2分 3分 5分 6分 r 6 因 為 點 在 軌 跡c 上 設 點r 等 m m o 刪T B 1 1 分 當 m 8 即 m 2 時 I T Bl 有最小值 I T B I 2 當 m 8 時 等 2 所以在軌跡 C 上存在點 r 其坐標為 2 4 2 使得I r QI 最 小 I l i 2 一1 1 3分 文 1 證 明 因為 a 3 a 一 l 3 一1 n 2 n EN 1 1 a 一 n n 一 1 一 所 以 一 一 丁 1 一 一 丁 3 一3 1 3 3 3 a 一 l 3 一1 一 3 0 一 1 1 n 音 I 為 常 數(shù) 所 以 孚 等 公 分 知 季 等 差 且 公 差 一 1 1 所以 a n T a I n 1 l 所以 丁 所以 o n 3 一 8分 所以 S 1 3 2 3 3 3 4 3 十 n 3 9分 o J 令 1 X 3 2 X 3 3 X 3 4 X 3 n 3 貝 3 l X 3 2 X 3 3 X 3 4 X 3 n 1 3 n 3 1 O 分 兩式相減得 答案8 一2 3 3 3 3 3 3 一n 3 s 一 s 一 1 1 分 1 2 分 s 號 1 3 分 2 1 理 證 明 1 因 為 l 2 一 所 以 2 z 1 了 1 1分 因為 1 了 1 所 以 o 則l g 2 1g 1 3 分 P fI R N 1g 以 lg 5 N N 以 2 為 公 比 的 等 比數(shù)列 4分 2 由 1 知 l g 丁 1 06 6 5 2 化簡得 2 一 NN o 5 2 n 8分 所 以 2 2 對 n EN 都成立 所 以 詈 一 丁 1 n N 9 分 證 法二 用數(shù)學歸納法證 明 當 1時 結論顯然成立