數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)菱形的性質(zhì).docx

1菱形的性質(zhì)與判定理解菱形的概念,了解它與平行四邊形之間的關(guān)系.1.經(jīng)歷菱形的性質(zhì)定理與判定定理的探索過程,進(jìn)一步發(fā)展合情推理能力.2.能夠用綜合法證明菱形的性質(zhì)定理與判定定理,進(jìn)一步發(fā)展演繹推理能力.體會(huì)探索與證明過程中所蘊(yùn)含的抽象、推理等數(shù)學(xué)現(xiàn)象.【重點(diǎn)】1.菱形的概念和性質(zhì).2.探索菱形的判定方法【難點(diǎn)】菱形的概念和性質(zhì)在生活中的應(yīng)用.第課時(shí)探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性質(zhì),會(huì)進(jìn)行簡單的推理和運(yùn)算.在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中,發(fā)展學(xué)生合情推理的能力,進(jìn)一步讓學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)知識(shí)說理的習(xí)慣,并要求學(xué)生能熟練地按規(guī)范的推理格式書寫.從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā),通過欣賞、觀察、動(dòng)手操作等活動(dòng)讓學(xué)生感受身邊的數(shù)學(xué)圖形的和諧美與對(duì)稱美,激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂.培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究、自主學(xué)習(xí)和合作交流的意識(shí).【重點(diǎn)】菱形的概念和性質(zhì).【難點(diǎn)】菱形性質(zhì)的靈活應(yīng)用.【教師準(zhǔn)備】1.教師在課前布置學(xué)生復(fù)習(xí)平行四邊形的性質(zhì),搜集菱形的相關(guān)圖片.2.多媒體課件.3.教師準(zhǔn)備菱形紙片,上課前發(fā)給學(xué)生上課時(shí)使用.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)導(dǎo)入一:請(qǐng)同學(xué)們觀察投影圖片中的四邊形并回答下列問題:(1)投影圖片中有平行四邊形嗎?(2)這些平行四邊形具有哪些特征?其中哪個(gè)特征不是平行四邊形的性質(zhì)?【師生活動(dòng)】復(fù)習(xí)平行四邊形的定義及性質(zhì).【學(xué)生活動(dòng)】自主觀察,小組合作交流,探究投影圖片中平行四邊形的新特征.導(dǎo)入二:1.提問:什么是平行四邊形?學(xué)生回顧交流.2.平行四邊形的相鄰兩邊可能相等嗎?請(qǐng)同學(xué)們討論一下在我們生活中是否有相鄰兩邊相等的平行四邊形形狀的圖案?設(shè)計(jì)意圖通過這個(gè)環(huán)節(jié),培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和對(duì)比分析能力.提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和學(xué)習(xí)興趣.一、情景交流過渡語今天我們來學(xué)習(xí)一種特殊的平行四邊形,讓我們一起觀察、猜想、探究、歸納、論證吧!結(jié)合上面的觀察,你能舉出和上述圖形具有相同特征的實(shí)物圖形嗎?具有這一特征的平行四邊形是什么四邊形?【學(xué)生活動(dòng)】通過討論,以小組為單位分別說出生活中具有鄰邊相等特征的平行四邊形形狀的實(shí)物.【教師活動(dòng)】投影圖片展示一些生活中的具有鄰邊相等特征的平行四邊形形狀的實(shí)物.二、學(xué)生活動(dòng),歸納概念思路一請(qǐng)口答下列問題.(1)上述圖形都是平行四邊形嗎?(2)上述圖形都有一組鄰邊相等嗎?(3)如果平行四邊形有一組鄰邊相等,那么另一組鄰邊也相等嗎?小組合作交流,類比平行四邊形的定義嘗試給出菱形的定義.【老師點(diǎn)評(píng)】(1)是平行四邊形;(2)都有一組鄰邊相等.【課件展示】像這樣,有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.思路二【師】同學(xué)們,在觀察上面圖片之后,你能從中發(fā)現(xiàn)熟悉的圖形嗎?你能找出它們的共同特征嗎?請(qǐng)同學(xué)們觀察,圖中的平行四邊形與黑板上所畫的ABCD相比較,還有不同點(diǎn)嗎?【生】投影圖片中的平行四邊形不僅對(duì)邊相等,而且任意兩條鄰邊也相等.【師】同學(xué)們觀察得很仔細(xì),像這樣,有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.設(shè)計(jì)意圖通過這個(gè)環(huán)節(jié),培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和對(duì)比分析能力.讓學(xué)生觀察圖形,從直觀上把握菱形的特點(diǎn),從而給出菱形的定義,讓學(xué)生明確菱形不但是平行四邊形,而且有其特點(diǎn)“一組鄰邊相等”.同時(shí),讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)生活中因?yàn)橛辛藬?shù)學(xué)而變得更精彩,從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.三、共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四邊形,它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎? 【生】菱形的對(duì)邊平行且相等,對(duì)角相等,對(duì)角線互相平分.(2)同學(xué)們,你認(rèn)為菱形還具有哪些特殊的性質(zhì)?請(qǐng)你與同伴交流.【學(xué)生活動(dòng)】分小組討論菱形的性質(zhì),組長組織組員討論,讓盡可能多的組員發(fā)言,并匯總結(jié)果.【教師活動(dòng)】教師巡視,并參與到學(xué)生的討論中,啟發(fā)學(xué)生類比平行四邊形從圖形的邊、角和對(duì)角線三個(gè)方面探討菱形的性質(zhì).對(duì)學(xué)生的結(jié)論,教師要及時(shí)作出評(píng)價(jià),積極引導(dǎo),激勵(lì)學(xué)生.【做一做】請(qǐng)同學(xué)們用菱形紙片折一折,回答下列問題:(1)菱形是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,它有幾條對(duì)稱軸?對(duì)稱軸之間有什么位置關(guān)系?(2)菱形中有哪些相等的線段?【學(xué)生活動(dòng)】分小組折紙?zhí)剿鞔鸢?組長組織,并匯總結(jié)果.【教師活動(dòng)】教師巡視并參與學(xué)生活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生怎樣折紙才能得到正確的結(jié)論.學(xué)生研討完畢,教師要展示匯總學(xué)生的折紙方法以及相應(yīng)的結(jié)論,以便于后面的教學(xué).【師生結(jié)論】(1)菱形是軸對(duì)稱圖形,有兩條對(duì)稱軸,且是菱形的兩條對(duì)角線所在的直線,兩條對(duì)稱軸互相垂直.(2)菱形的四條邊相等.設(shè)計(jì)意圖通過學(xué)生自己操作剪、折菱形紙片,探索菱形的對(duì)稱性,不僅增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,并為新課歸納菱形的性質(zhì)做鋪墊.【驗(yàn)證提升】證明菱形性質(zhì)【師】通過折紙活動(dòng),同學(xué)們已經(jīng)對(duì)菱形的性質(zhì)有了初步的理解,下面我們要對(duì)菱形的性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明.【教師活動(dòng)】如圖所示,在菱形ABCD中,已知ABAD,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.求證:(1)ABBCCDAD;(2)ACBD.【師生共析】(1)菱形不僅對(duì)邊相等,而且鄰邊相等,這樣就可以證明菱形的四條邊都相等了.(2)因?yàn)榱庑问瞧叫兴倪呅?所以點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn).又因?yàn)樵趫D形中可以得到相關(guān)的等腰三角形,所以就可以利用“三線合一”來證明結(jié)論了.【學(xué)生活動(dòng)】寫出證明過程,進(jìn)行組內(nèi)交流對(duì)比,優(yōu)化證明方法,掌握相關(guān)定理.指名學(xué)生在黑板上演示證明過程.證明:(1)菱形ABCD是平行四邊形,ABCD,ADBC(平行四邊形的對(duì)邊相等).ABAD,ABBCCDAD.(2)ABAD,ABD是等腰三角形.四邊形ABCD是菱形,OBOD(菱形的對(duì)角線互相平分).在等腰三角形ABD中,OBOD,AOBD,即ACBD.【教師活動(dòng)】展示學(xué)生的證明過程,進(jìn)行恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng)和鼓勵(lì),優(yōu)化學(xué)生的證明方法,規(guī)范學(xué)生的書寫格式,提高學(xué)生的邏輯證明能力.【教師活動(dòng)】請(qǐng)你根據(jù)上面的證明,歸納出菱形的性質(zhì).【學(xué)生活動(dòng)】小組交流,共同總結(jié).【教師活動(dòng)】多媒體課件展示定理:菱形的四條邊相等.定理:菱形的對(duì)角線互相垂直.最后強(qiáng)調(diào)“菱形的四條邊相等”“菱形的對(duì)角線互相垂直”,讓學(xué)生形成牢固記憶,留下深刻印象.設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過折紙可以猜想到菱形的相關(guān)性質(zhì),教師在參與學(xué)生活動(dòng)的過程中,應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的口述論證過程,并根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平加以引導(dǎo),盡量減少學(xué)生推理論證過程中的困難.四、展示交流【教師活動(dòng)】例題講解.(教材例1)如圖所示,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O, BAD60,BD6,求菱形的邊長AB和對(duì)角線AC的長.解析因?yàn)榱庑蔚泥忂呄嗟?一個(gè)內(nèi)角是60,這樣就可以得到等邊三角形ABD,由BD6知菱形的邊長也是6.菱形的對(duì)角線互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的對(duì)角線互相平分,可以得到OB3,根據(jù)勾股定理就可以求出OA的長度,再一次根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分,即AC2OA,求出AC.解:四邊形ABCD是菱形,ABAD(菱形的四條邊相等),ACBD(菱形的對(duì)角線互相垂直),OBOD12BD1263(菱形的對(duì)角線互相平分).在等腰三角形ABD中,BAD60,ABD是等邊三角形.ABBD6.在RtAOB中,由勾股定理,得:OA2OB2AB2,OAAB2-OB262-3233,AC2OA63.知識(shí)拓展(1)菱形是特殊的平行四邊形,它具有平行四邊形的所有性質(zhì);(2)菱形的定義既可以看做菱形的性質(zhì),也可以看做菱形的判定方法.1.菱形的定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.菱形的性質(zhì):(1)菱形是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是兩條對(duì)角線所在的直線;(2)菱形的四條邊都相等;(3)菱形的對(duì)角線互相垂直平分.3.菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì),應(yīng)用菱形的性質(zhì)可以進(jìn)行計(jì)算和推理.1.如圖所示,在菱形ABCD中,AB5,BCD120,則對(duì)角線AC的長是()A.20B.15C.10D.5解析:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以ABCB,CDBA,所以ABC180-BCD180-12060,所以ABC是等邊三角形,所以ACAB5.故選D.2.如圖所示,菱形ABCD的周長為8 cm.BAD60,則AC cm.解析:因?yàn)榱庑蜛BCD的周長為8 cm,所以ABAD2 cm.又因?yàn)锽AD60,所以ABD是等邊三角形,所以BDAB2 cm,所以O(shè)B12BD1 cm,所以O(shè)AAB2-OB222-123(cm),所以AC23 cm.故填23.3.如圖所示,在四邊形ABCD中,ABCD,ABCDBC,則四邊形ABCD是菱形嗎?為什么?解:四邊形ABCD是菱形.理由:ABCD,ABCD,四邊形ABCD是平行四邊形.又CDBC,平行四邊形ABCD是菱形.4.如圖所示,四邊形ABCD是菱形,F是AB上一點(diǎn),DF交AC于點(diǎn)E.求證AFDCBE.證明:四邊形ABCD是菱形,CBCD,CA平分BCD.BCEDCE.又CECE,BCEDCE(SAS).CBECDE.在菱形ABCD中,ABCD,AFDCDE.AFDCBE.第1課時(shí)菱形的定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的性質(zhì):菱形的四條邊相等菱形的對(duì)角線互相垂直例1一、教材作業(yè)【必做題】教材第4頁隨堂練習(xí).【選做題】教材第4頁習(xí)題1.1的1,2題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.在菱形ABCD中,AB5 cm,則此菱形的周長為()A.5 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm2.菱形的周長為8 cm,高為1 cm,則菱形兩鄰角的度數(shù)比為()A.31B.41C.51D.613.如圖所示,在菱形ABCD中,兩條對(duì)角線的長分別為AC6,BD8,則此菱形的邊長為()A.5B.6C.8D.104.如圖所示,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O,AB8,E是CD的中點(diǎn),則OE的長等于.5.如圖所示,已知菱形ABCD,其頂點(diǎn)A,B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-4和1,則BC.6.如圖所示,在菱形ABCD中,E,F分別是CB,CD上的點(diǎn),且BEDF.求證AEFAFE.【能力提升】7.如圖所示,兩個(gè)全等菱形的邊長均為1 cm,一只螞蟻由A點(diǎn)開始按ABCDEFCGA的順序沿菱形的邊循環(huán)運(yùn)動(dòng),行走2015 cm后停下,則這只螞蟻停在點(diǎn).8.已知菱形ABCD的邊長為6,且A60,如果點(diǎn)P是菱形內(nèi)一點(diǎn),且PBPD23,那么AP的長為.9.如圖所示,在菱形ABCD中,A60,AB4,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn),過O點(diǎn)作OEAB,垂足為E.(1)求ABD的度數(shù);(2)求線段BE的長.【拓展探究】10.如圖所示,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC6,BD8,點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過程中,存在PEPF的最小值,則這個(gè)最小值是()A.3B.4C.5D.611.如圖所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一點(diǎn),連接AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)E,連接EC.(1)求證AEEC;(2)當(dāng)ABC60,CEF60時(shí),點(diǎn)F在線段BC上的什么位置?說明理由.【答案與解析】1.C(解析:因?yàn)榱庑蜛BCD的四條邊相等,所以菱形的周長為5420(cm).故選C.)2.C(解析:如圖所示,因?yàn)榱庑蔚闹荛L為8 cm,所以AD2 cm.因?yàn)楦逥E1 cm,所以DE12AD,所以A30,所以ADC180-30150,所以菱形兩鄰角的度數(shù)比為51.故選C.)3.A (解析:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以O(shè)A12AC3,OB12BD4,AOB90,所以ABOA2OB232425.故選A.)4.4(解析:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以O(shè)是AC的中點(diǎn),且ADAB8.又因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以O(shè)E是ACD的中位線,所以O(shè)E12AD12AB4.故填4.)5.5 (解析:因?yàn)辄c(diǎn)A,B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-4和1,所以AB1-(-4)5.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以BCAB5.故填5.)6.證明:在菱形ABCD中,有ABAD,BD.在ABE和ADF中,ABAD,BDBEDF,ABEADF.AEAF.AEFAFE.7.G(解析:因?yàn)閮蓚€(gè)全等菱形的邊長均為1 cm,所以螞蟻由A點(diǎn)開始按ABCDEFCGA的順序走一圈的路程為818(cm),20158251(cm)7(cm),所以當(dāng)螞蟻?zhàn)咄甑?51圈后再走7 cm正好到達(dá)G點(diǎn).)8.23或439.解:(1)在菱形ABCD中,ABAD,A60,ABD為等邊三角形.ABD60.(2)由(1)可知BDAB4.又O為BD的中點(diǎn),OB2.又OEAB,ABD60,BOE30.BE1.10.C11.證明:(1)如圖所示,連接AC,BD是菱形ABCD的對(duì)角線,BD垂直平分AC,AEEC.(2)點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn).理由如下.四邊形ABCD是菱形,ABCB.又ABC60,ABC是等邊三角形,BAC60.AEEC,EACACE.CEF60,EAC30.AF是ABC中BAC的平分線,BFCF,點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn).本課時(shí)的主要教學(xué)內(nèi)容為菱形的定義和性質(zhì).學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì),這是本課時(shí)知識(shí)的基礎(chǔ).關(guān)于菱形的定義和性質(zhì),就是在平行四邊形的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步強(qiáng)化條件得到的.本課時(shí)授課思路為“創(chuàng)設(shè)情境猜想歸納邏輯證明知識(shí)運(yùn)用”.課堂上的折紙活動(dòng),可以讓學(xué)生直觀感知圖形的特點(diǎn),還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性.教師應(yīng)該留給學(xué)生充分的獨(dú)立思考時(shí)間,不要讓一些思維活躍的學(xué)生的回答代替了其他學(xué)生的思考,掩蓋了其他學(xué)生的疑問.教師要引導(dǎo)學(xué)生積極思考,抓住表面現(xiàn)象中的本質(zhì).在性質(zhì)的證明和應(yīng)用過程中,教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽探索新穎獨(dú)特的證明思路和證明方法,提倡證明方法的多樣性,并引導(dǎo)學(xué)生在與其他同學(xué)的交流中進(jìn)行證明方法的比較,優(yōu)化證明方法,有利于提高學(xué)生的邏輯思維水平.隨堂練習(xí)(教材第4頁)解:根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直,可知AOB是直角三角形,由勾股定理可