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此文檔收集于網(wǎng)絡(luò),僅供學(xué)習(xí)與交流,如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱(chēng)E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(2)方差稱(chēng)D(X) (xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差,它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a,b為常數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)_p_,D(X)p(1p)(2)若XB(n,p),則E(X)_np_,D(X)np(1p)4正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線(xiàn):函數(shù),(x)e,x(,),其中和為參數(shù)(0,R)我們稱(chēng)函數(shù)、(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線(xiàn),簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線(xiàn)(2)正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì):曲線(xiàn)位于x軸上方,與x軸不相交;曲線(xiàn)是單峰的,它關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng);曲線(xiàn)在x處達(dá)到峰值;曲線(xiàn)與x軸之間的面積為_(kāi)1_;當(dāng)一定時(shí),曲線(xiàn)的位置由確定,曲線(xiàn)隨著_的變化而沿x軸平移,如圖甲所示;當(dāng)一定時(shí),曲線(xiàn)的形狀由確定,_越小_,曲線(xiàn)越“瘦高”,表示總體的分布越集中;_越大_,曲線(xiàn)越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖乙所示(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b (ab),隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P(aXb),(x)dx,則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記作XN(,2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(X)0.682_6;P(2X2)0.954_4;P(3c1)P(Xc1),則c等于()A1 B2 C3 D44有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X表示取到次品的件數(shù),則D(X)_.5在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7,那么他罰球1次的得分X的均值是_題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差例1(2013浙江)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球,b個(gè)黃球,c個(gè)藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個(gè)紅球得1分,取出一個(gè)黃球得2分,取出一個(gè)藍(lán)球得3分袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球,表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求的分布列、期望和方差;(2)若ab,E()1,D()11,試求a,b的值題型二二項(xiàng)分布的均值、方差例2(2012四川)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng))A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求p的值;(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望E()假設(shè)某班級(jí)教室共有4扇窗戶(hù),在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時(shí),每扇窗戶(hù)或被敞開(kāi)或被關(guān)閉,且概率均為0.5.記此時(shí)教室里敞開(kāi)的窗戶(hù)個(gè)數(shù)為X.(1)求X的分布列;(2)若此時(shí)教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶(hù)被關(guān)閉,班長(zhǎng)就會(huì)將關(guān)閉的窗戶(hù)全部敞開(kāi),否則維持原狀不變記每天上午第三節(jié)課上課時(shí)該教室里敞開(kāi)的窗戶(hù)個(gè)數(shù)為Y,求Y的數(shù)學(xué)期望題型三正態(tài)分布的應(yīng)用例3在某次大型考試中,某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,52),現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?085分的有17人試計(jì)算該班成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)有多少人在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績(jī)服從正態(tài)分布,即N(100,100),已知滿(mǎn)分為150分(1)試求考試成績(jī)位于區(qū)間(80,120內(nèi)的概率;(2)若這次考試共有2 000名考生參加,試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)離散型隨機(jī)變量的均值與方差問(wèn)題典例:(12分)甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球,已知甲袋中共有m個(gè)球,乙袋中共有2m個(gè)球,從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為,從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P2.(1)若m10,求甲袋中紅球的個(gè)數(shù);(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后,從中摸出1個(gè)紅球的概率是,求P2的值;(3)設(shè)P2,若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球,每次摸出1個(gè)球,并且從甲袋中摸1次,從乙袋中摸2次設(shè)表示摸出紅球的總次數(shù),求的分布列和均值思維啟迪(1)概率的應(yīng)用,知甲袋中總球數(shù)為10和摸1個(gè)為紅球的概率,求紅球(2)利用方程的思想,列方程求解(3)求分布列和均值,關(guān)鍵是求的所有可能值及每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率規(guī)范解答解(1)設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為x,依題意得x104.3分(2)由已知,得,解得P2.6分(3)的所有可能值為0,1,2,3.P(0),P(1)C,P(2)C2,P(3)2.8分所以的分布列為0123P10分所以E()0123.12分求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問(wèn)題的一般步驟:第一步:確定隨機(jī)變量的所有可能值第二步:求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率第三步:列出離散型隨機(jī)變量的分布列第四步:求均值和方差第五步:反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范溫馨提醒(1)本題重點(diǎn)考查了概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值(2)本題解答中的典型錯(cuò)誤是計(jì)算不準(zhǔn)確以及解答不規(guī)范如第(3)問(wèn)中,不明確寫(xiě)出的所有可能值,不逐個(gè)求概率,這都屬于解答不規(guī)范方法與技巧1均值與方差的常用性質(zhì)掌握下述有關(guān)性質(zhì),會(huì)給解題帶來(lái)方便:(1)E(ab)aE()b;E()E()E();D(ab)a2D();(2)若B(n,p),則E()np,D()np(1p)2基本方法(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義(公式)求解;(2)已知隨機(jī)變量的均值 、方差,求的線(xiàn)性函數(shù)ab的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解;(3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如二項(xiàng)分布),可直接利用它們的均值、方差公式求解3關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(X),P(2X2),P(3X3)的值(2)充分利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和曲線(xiàn)與x軸之間面積為1.正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng),從而在關(guān)于x對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等P(Xa)1P(Xa),P(xn BmnCmn D不確定2已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下,且E(X)6.3,則a的值為()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D83(2013湖北) 如圖,將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割為125個(gè)同 樣大小的小正方體,經(jīng)過(guò)攪拌后,從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體,記它的油漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)等于()A. B.C. D.4某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1 000粒,對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子,每粒需再補(bǔ)種2粒,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為()A100 B200 C300 D4005一射手對(duì)靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率都為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的期望值為()A2.44 B3.376 C2.376 D2.4二、填空題6從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球,設(shè)其中有X個(gè)紅球,則隨機(jī)變量X的分布列為X012P7 已知隨機(jī)變量的分布列為P(k),k1,2,3,n,則P(25)_.8已知某次英語(yǔ)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布N(116,64),則10 000名考生中成績(jī)?cè)?40分以上的人數(shù)為_(kāi)三、解答題9某超市為了響應(yīng)環(huán)保要求,鼓勵(lì)顧客自帶購(gòu)物袋到超市購(gòu)物,采取了如下措施:對(duì)不使用超市塑料購(gòu)物袋的顧客,超市給予9.6折優(yōu)惠;對(duì)需要超市塑料購(gòu)物袋的顧客,既要付購(gòu)買(mǎi)費(fèi),也不享受折扣優(yōu)惠假設(shè)該超市在某個(gè)時(shí)段內(nèi)購(gòu)物的人數(shù)為36人,其中有12位顧客自己帶了購(gòu)物袋,現(xiàn)從這36人中隨機(jī)抽取兩人(1)求這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率;(2)設(shè)這兩人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望10為了某項(xiàng)大型活動(dòng)能夠安全進(jìn)行,警方從武警訓(xùn)練基地挑選防爆警察,從體能、射擊、反應(yīng)三項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)

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