均值、方差、正態(tài)分布——學(xué)生用.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱(chēng)E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(2)方差稱(chēng)D(X) (xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)_p_，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，則E(X)_np_，D(X)np(1p)4正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線(xiàn)：函數(shù)，(x)e，x(，)，其中和為參數(shù)(0，R)我們稱(chēng)函數(shù)、(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線(xiàn)(2)正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)：曲線(xiàn)位于x軸上方，與x軸不相交；曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)；曲線(xiàn)在x處達(dá)到峰值；曲線(xiàn)與x軸之間的面積為_(kāi)1_；當(dāng)一定時(shí)，曲線(xiàn)的位置由確定，曲線(xiàn)隨著_的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當(dāng)一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由確定，_越小_，曲線(xiàn)越“瘦高”，表示總體的分布越集中；_越大_，曲線(xiàn)越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b (ab)，隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P(aXb)，(x)dx，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(3c1)P(Xc1)，則c等于()A1 B2 C3 D44有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)_.5在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是_題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差例1(2013浙江)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E()1，D()11，試求a，b的值題型二二項(xiàng)分布的均值、方差例2(2012四川)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E()假設(shè)某班級(jí)教室共有4扇窗戶(hù)，在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時(shí)，每扇窗戶(hù)或被敞開(kāi)或被關(guān)閉，且概率均為0.5.記此時(shí)教室里敞開(kāi)的窗戶(hù)個(gè)數(shù)為X.(1)求X的分布列；(2)若此時(shí)教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶(hù)被關(guān)閉，班長(zhǎng)就會(huì)將關(guān)閉的窗戶(hù)全部敞開(kāi)，否則維持原狀不變記每天上午第三節(jié)課上課時(shí)該教室里敞開(kāi)的窗戶(hù)個(gè)數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望題型三正態(tài)分布的應(yīng)用例3在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?085分的有17人試計(jì)算該班成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)有多少人在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)服從正態(tài)分布，即N(100,100)，已知滿(mǎn)分為150分(1)試求考試成績(jī)位于區(qū)間(80,120內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有2 000名考生參加，試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)離散型隨機(jī)變量的均值與方差問(wèn)題典例：(12分)甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個(gè)球，乙袋中共有2m個(gè)球，從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為，從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P2.(1)若m10，求甲袋中紅球的個(gè)數(shù)；(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個(gè)紅球的概率是，求P2的值；(3)設(shè)P2，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個(gè)球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次設(shè)表示摸出紅球的總次數(shù)，求的分布列和均值思維啟迪(1)概率的應(yīng)用，知甲袋中總球數(shù)為10和摸1個(gè)為紅球的概率，求紅球(2)利用方程的思想，列方程求解(3)求分布列和均值，關(guān)鍵是求的所有可能值及每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率規(guī)范解答解(1)設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為x，依題意得x104.3分(2)由已知，得，解得P2.6分(3)的所有可能值為0,1,2,3.P(0)，P(1)C，P(2)C2，P(3)2.8分所以的分布列為0123P10分所以E()0123.12分求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問(wèn)題的一般步驟：第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值第二步：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列第四步：求均值和方差第五步：反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范溫馨提醒(1)本題重點(diǎn)考查了概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值(2)本題解答中的典型錯(cuò)誤是計(jì)算不準(zhǔn)確以及解答不規(guī)范如第(3)問(wèn)中，不明確寫(xiě)出的所有可能值，不逐個(gè)求概率，這都屬于解答不規(guī)范方法與技巧1均值與方差的常用性質(zhì)掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會(huì)給解題帶來(lái)方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；(2)若B(n，p)，則E()np，D()np(1p)2基本方法(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機(jī)變量的均值 、方差，求的線(xiàn)性函數(shù)ab的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如二項(xiàng)分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解3關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(2)充分利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和曲線(xiàn)與x軸之間面積為1.正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)，從而在關(guān)于x對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等P(Xa)1P(Xa)，P(xn BmnCmn D不確定2已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)6.3，則a的值為()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D83(2013湖北) 如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同 樣大小的小正方體，經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)等于()A. B.C. D.4某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A100 B200 C300 D4005一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的期望值為()A2.44 B3.376 C2.376 D2.4二、填空題6從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，則隨機(jī)變量X的分布列為X012P7 已知隨機(jī)變量的分布列為P(k)，k1,2,3，n，則P(25)_.8已知某次英語(yǔ)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布N(116,64)，則10 000名考生中成績(jī)?cè)?40分以上的人數(shù)為_(kāi)三、解答題9某超市為了響應(yīng)環(huán)保要求，鼓勵(lì)顧客自帶購(gòu)物袋到超市購(gòu)物，采取了如下措施：對(duì)不使用超市塑料購(gòu)物袋的顧客，超市給予9.6折優(yōu)惠；對(duì)需要超市塑料購(gòu)物袋的顧客，既要付購(gòu)買(mǎi)費(fèi)，也不享受折扣優(yōu)惠假設(shè)該超市在某個(gè)時(shí)段內(nèi)購(gòu)物的人數(shù)為36人，其中有12位顧客自己帶了購(gòu)物袋，現(xiàn)從這36人中隨機(jī)抽取兩人(1)求這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率；(2)設(shè)這兩人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望10為了某項(xiàng)大型活動(dòng)能夠安全進(jìn)行，警方從武警訓(xùn)練基地挑選防爆警察，從體能、射擊、反應(yīng)三項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)