【復(fù)變函數(shù)】 史上最全ppt.ppt

1 復(fù)變函數(shù)與積分變換 B 復(fù)變函數(shù) 四版 清華大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編 2013 2014學(xué)年第一學(xué)期 教材 2 2013年9月3日 第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 3 對(duì)象 復(fù)變函數(shù) 自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù) 主要任務(wù) 研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系 具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分 主要內(nèi)容 復(fù)變函數(shù)的積分 級(jí)數(shù) 留數(shù) 共形映射 傅立葉變換和拉普拉斯變換等 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 解析函數(shù) 4 學(xué)習(xí)方法 復(fù)變函數(shù)中許多概念 理論 和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展 它們之間有許多相似之處 但又有不同之處 在學(xué)習(xí)中要善于比較 區(qū)別 特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的性質(zhì)與結(jié)果 5 背景 十六世紀(jì) 在解代數(shù)方程時(shí)引進(jìn)復(fù)數(shù)為使負(fù)數(shù)開(kāi)方有意義 需要擴(kuò)大數(shù)系 使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域在十八世紀(jì)以前 對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚 用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾 在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的 虛數(shù) 直到十八世紀(jì) J D Alembert 1717 1783 與L Euler 1707 1783 等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義 澄清了復(fù)數(shù)的概念應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題 復(fù)數(shù)被廣泛承認(rèn)接受 復(fù)變函數(shù)論順利建立和發(fā)展 6 十九世紀(jì)奠定復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)三位代表人物 A L Cauchy 1789 1866 K Weierstrass 1815 1897 分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)G F B Riemann 1826 1866 研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)通過(guò)他們的努力 復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論 且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支 同時(shí) 它在熱力學(xué) 流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用 7 1 復(fù)數(shù)的概念2 代數(shù)運(yùn)算3 共軛復(fù)數(shù) 1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算 8 一般 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小 1 復(fù)數(shù)的概念 判斷復(fù)數(shù)相等 9 定義z1 x1 iy1與z2 x2 iy2的和 差 積和商為 z1 z2 x1 x2 i y1 y2 z1z2 x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1y2 i x2y1 x1y2 2 代數(shù)運(yùn)算 四則運(yùn)算 10 z1 z2 z2 z1 z1z2 z2z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2z3 z1z2 z3 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 運(yùn)算規(guī)律 復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律 結(jié)合律 分配律 與實(shí)數(shù)相同 即 11 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì) 3 共軛復(fù)數(shù) 定義若z x iy 稱 z x iy為z的共軛復(fù)數(shù) conjugate 12 13 1 點(diǎn)的表示2 向量表示法3 三角表示法4 指數(shù)表示法 2復(fù)數(shù)的表示方法 14 1 點(diǎn)的表示 數(shù)z與點(diǎn)z同義 15 2 向量表示法 稱向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)z x iy的模或絕對(duì)值 以正實(shí)軸為始邊 以為終邊的角的弧度數(shù)稱為復(fù)數(shù)z x iy的輻角 z 0時(shí) 16 輻角無(wú)窮多 Argz 0 2k k Z z 0時(shí) 輻角不確定 17 當(dāng)z落于一 四象限時(shí) 不變 當(dāng)z落于第二象限時(shí) 加 當(dāng)z落于第三象限時(shí) 減 18 19 20 21 由向量表示法知 3 三角表示法 4 指數(shù)表示法 22 23 引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示 可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程 或不等式 表示 反之 也可由給定的復(fù)數(shù)方程 或不等式 來(lái)確定它所表示的平面圖形 例1用復(fù)數(shù)方程表示 1 過(guò)兩點(diǎn)zj xj iyj j 1 2 的直線 2 中心在點(diǎn) 0 1 半徑為2的圓 解 1 z z1 t z2 z1 t 24 例2方程表示什么圖形 解 25 26 注意 復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化 以適應(yīng)不同問(wèn)題的需要 27 2013年9月4日 28 29 30 31 1 復(fù)數(shù)的乘積與商2 復(fù)數(shù)的乘冪3 復(fù)數(shù)的方根 3復(fù)數(shù)的乘冪與方根 32 定理1兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加 證明設(shè)z1 r1 cos 1 isin 1 r1ei 1z2 r2 cos 2 isin 2 r2ei 2則z1z2 r1r2 cos 1 isin 1 cos 2 isin 2 r1r2 cos 1 2 isin 1 2 r1r2ei 1 2 1 乘積與商 因此 z1z2 r1r2 Arg z1z2 Argz1 Argz2 33 幾何意義將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2 再將其伸縮到 z2 倍 定理1可推廣到n個(gè)復(fù)數(shù)的乘積 34 由于輔角的多值性 因此 該等式兩端都是無(wú)窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集 等式兩端可能取的值的全體是相同的 也就是說(shuō) 對(duì)于左端的任一值 右端必有一值和它相等 并且反過(guò)來(lái)也一樣 注意 Arg z1z2 Argz1 Argz2 35 要使上式成立 必須且只需k m n 1 36 定理2兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差 證明 Argz Argz2 Argz1 由復(fù)數(shù)除法的定義z z2 z1 即z1z z2 z z1 z2 及Argz1 Argz Argz2 z1 0 37 設(shè)z rei 由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明zn rn cosn isinn rnein 2 復(fù)數(shù)的乘冪 定義 38 問(wèn)題給定復(fù)數(shù)z rei 求所有的滿足 n z的復(fù)數(shù) 3 復(fù)數(shù)的方根 開(kāi)方 乘方的逆運(yùn)算 39 當(dāng)k 0 1 n 1時(shí) 可得n個(gè)不同的根 而k取其它整數(shù)時(shí) 這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn) 幾何上 的n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心 為半徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn) 即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn) 40 41 1 區(qū)域的概念2 簡(jiǎn)單曲線 或Jordan曲線 3 單連通域與多連通域 4區(qū)域 42 1 區(qū)域的概念 鄰域 復(fù)平面上以z0為中心 任意 0為半徑的圓 z z0 或0 z z0 內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為點(diǎn)z0的 去心 鄰域 記為 z0 即 設(shè)G是一平面上點(diǎn)集 43 連通是指 D 區(qū)域 44 45 46 2 簡(jiǎn)單曲線 或Jardan曲線 令z t x t iy t a t b 則曲線方程可記為 z z t a t b 47 48 3 單連通域與多連通域 簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì) 49 例如 z 0 是單連通的 0 r z R是多連通的 多連通域 單連通域 50 作業(yè) P311 51 52 53 54 1 復(fù)變函數(shù)的定義2 映射的概念3 反函數(shù)或逆映射 5復(fù)變函數(shù) 55 1 復(fù)變函數(shù)的定義 與實(shí)變函數(shù)定義相類(lèi)似 56 57 例1 例2 58 在幾何上 w f z 可以看作 定義域 函數(shù)值集合 2 映射的概念 復(fù)變函數(shù)的幾何意義 59 以下不再區(qū)分函數(shù)與映射 變換 在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)表達(dá)兩對(duì)變量u v與x y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 以便在研究和理解復(fù)變函數(shù)問(wèn)題時(shí) 可借助于幾何直觀 復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射 變換 60 例3 解 關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射 見(jiàn)圖1 1 1 2 旋轉(zhuǎn)變換 映射 見(jiàn)圖2 例4 解 61 圖1 1 圖1 2 圖2 62 例5 63 3 反函數(shù)或逆映射 例設(shè)z w2則稱為z w2的反函數(shù)或逆映射 定義設(shè)w f z 的定義集合為G 函數(shù)值集合為G 64 例已知映射w z3 求區(qū)域0 argz 在平面w上的象 例 65 2008 10 8 第三次課 66 1 函數(shù)的極限2 運(yùn)算性質(zhì)3 函數(shù)的連續(xù)性 6復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性 67 1 函數(shù)的極限 幾何意義 當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0的充分小去心鄰域時(shí) 它的象點(diǎn)f z 就落入A的一個(gè)預(yù)先給定的 鄰域中 68 1 意義中的方式是任意的 與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高 2 A是復(fù)數(shù) 2 運(yùn)算性質(zhì) 復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系 定理1 3 若f z 在處有極限 其極限是唯一的 69 70 例1 例2 例3 71 3 函數(shù)的連續(xù)性 定義 定理3 72 例4證明f z argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù) 證明 73 定理4連續(xù)函數(shù)的和 差 積 商 分母不為0 仍為連續(xù)函數(shù) 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù) 有界性 74 第二章解析函數(shù) 第一節(jié)解析函數(shù)的概念第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件第三節(jié)初等函數(shù) 75 1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義2 解析函數(shù)的概念 2 1解析函數(shù)的概念 76 一 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1 導(dǎo)數(shù)定義 如果w f z 在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo) 則稱f z 在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo) 77 1 z 0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零 2 z x iy z x i y f f z z f z 例1 78 2 求導(dǎo)公式與法則 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c a ib 0 zn nzn 1 n是自然數(shù) 證明對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0 有 實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣 79 設(shè)函數(shù)f z g z 均可導(dǎo) 則 f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z 80 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f g z f w g z 其中w g z 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 其中 w f z 與z w 互為單值的反函數(shù) 且 w 0 81 例3問(wèn) 函數(shù)f z x 2yi是否可導(dǎo) 例2 解 解 82 83 例4證明f z zRez只在z 0處才可導(dǎo) 證明 84 85 86 87 1 復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo) 要比實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多 也復(fù)雜得多 這是因?yàn)?z 0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零的原故 2 在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù) 但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的 但在復(fù)變函數(shù)中 卻輕而易舉 88 3 可導(dǎo)與連續(xù) 若w f z 在點(diǎn)z0處可導(dǎo)w f z 點(diǎn)z0處連續(xù) 89 2 4解析函數(shù)1 解析函數(shù)的概念 90 91 例如 1 w z2在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo) 故是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù) 2 w 1 z 除去z 0點(diǎn)外 是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù) 3 w zRez在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析 見(jiàn)例4 定理1設(shè)w f z 及w g z 是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù) 則f z g z f z g z 及f z g z g z 0時(shí) 均是D內(nèi)的解析函數(shù) 92 定理2設(shè)w f h 在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析 h g z 在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析 h g z 的函數(shù)值集合G 則復(fù)合函數(shù)w f g z 在D內(nèi)處處解析 93 調(diào)和函數(shù) 94 在 6我們證明了在D內(nèi)的解析函數(shù) 其導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù) 所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù) 本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系 內(nèi)容簡(jiǎn)介 7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 95 定理 96 證明 設(shè)f z u x y iv x y 在區(qū)域D內(nèi)解析 則 97 98 上面定理說(shuō)明 由解析的概念得 現(xiàn)在研究反過(guò)來(lái)的問(wèn)題 99 如 100 101 定理 102 公式不用強(qiáng)記 可如下推出 類(lèi)似地 然后兩端積分得 103 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問(wèn)題中都有重要應(yīng)用 本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系 104 例1 解 曲線積分法 105 故 106 又解 湊全微分法 107 又解 偏積分法 108 又解 不定積分法 109 第八次課11月12日 110 1 解析函數(shù)的充要條件2 舉例 2函數(shù)解析的充要條件 111 如果復(fù)變函數(shù)w f z u x y iv x y 在定義域D內(nèi)處處可導(dǎo) 則函數(shù)w f z 在D內(nèi)解析 本節(jié)從函數(shù)u x y 及v x y 的可導(dǎo)性 探求函數(shù)w f z 的可導(dǎo)性 從而給出判別函數(shù)解析的一個(gè)充分必要條件 并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法 問(wèn)題如何判斷函數(shù)的解析性呢 112 一 解析函數(shù)的充要條件 113 114 115 記憶 116 2008 10 15第四次課 117 定理1設(shè)f z u x y iv x y 在D內(nèi)有定義 則f z 在點(diǎn)z x iy D處可導(dǎo)的充要條件是u x y 和v x y 在點(diǎn) x y 可微 且滿足Cauchy Riemann方程 上述條件滿足時(shí) 有 118 證明 由f z 的可導(dǎo)C R方程滿足上面已證 只須證f z 的可導(dǎo)函數(shù)u x y v x y 可微 函數(shù)w f z 點(diǎn)z可導(dǎo) 即 則f z z f z f z z z z 1 且 119 u i v a ib x i y 1 i 2 x i y a x b y 1 x 2 y i b x a y 2 x 1 y 令 f z z f z u i v f z a ib z 1 i 2故 1 式可寫(xiě)為 因此 u a x b y 1 x 2 y v b x a y 2 x 1 y 120 所以u(píng) x y v x y 在點(diǎn) x y 處可微 由函數(shù)u x y v x y 在點(diǎn) x y 處可微及滿足C R方程f z 在點(diǎn)z x iy處可導(dǎo) u x y v x y 在 x y 點(diǎn)可微 即 121 122 定理2函數(shù)f z u x y iv x y 在D內(nèi)解析充要條件是u x y 和v x y 在D內(nèi)可微 且滿足Cauchy Riemann方程 由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系 當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí) 僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來(lái) 利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的 123 使用時(shí) i 判別u x y v x y 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性 ii 驗(yàn)證C R條件 iii 求導(dǎo)數(shù) 前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的 但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意 并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x y求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的 124 二 舉例 例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo) 在何處解析 解 1 設(shè)z x iyw x iyu x v y則 125 解 2 f z ex cosy isiny 則u excosy v exsiny 126 僅在點(diǎn)z 0處滿足C R條件 故 解 3 設(shè)z x iyw x2 y2u x2 y2 v 0則 127 例2求證函數(shù) 證明由于在z 0處 u x y 及v x y 都是可微函數(shù) 且滿足C R條件 故函數(shù)w f z 在z 0處解析 其導(dǎo)數(shù)為 128 例3 證明 129 例4如果f z u x y iv x y 是一解析函數(shù) 且f z 0 那么曲線族u x y C1 v x y C2必互相正交 這里C1 C2常數(shù) 那么在曲線的交點(diǎn)處 i uy vy均不為零時(shí) 由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族u x y C1 v x y C2中任一條曲線的斜率分別為 解 利用C R方程ux vy uy vx有k1k2 ux uy vx vy 1 即 兩族曲線互相正交 130 ii uy vy中有一為零時(shí) 不妨設(shè)uy 0 則k1 k2 0 由C R方程 即 兩族曲線在交點(diǎn)處的切線一條是水平的 另一條是鉛直的 它們?nèi)曰ハ嗾?練習(xí) a 2 b 1 c 1 d 2 131 132 133 134 1 指數(shù)函數(shù)2 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)3 對(duì)數(shù)函數(shù)4 乘冪與冪函數(shù)5 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù) 3初等函數(shù) 135 本節(jié)將實(shí)變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)情形 研究這些初等函數(shù)的性質(zhì) 并說(shuō)明它們的解析性 內(nèi)容簡(jiǎn)介 136 一 指數(shù)函數(shù) 它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類(lèi)似的性質(zhì) 定義 137 138 這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒(méi)有的 139 例1 例2 140 二 三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 推廣到復(fù)變數(shù)情形 141 正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì) 142 143 思考題 144 145 146 由正弦和余弦函數(shù)的定義得 其它三角函數(shù)的定義 詳見(jiàn)P51 147 148 雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì) 149 150 三 對(duì)數(shù)函數(shù) 1 對(duì)數(shù)的定義 151 故 152 特別 153 2008 10 22第五次課 154 2 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 見(jiàn) 1 6例1 155 例4 156 157 158 159 160 四 乘冪與冪函數(shù) 乘冪ab 定義 多值 一般為多值 161 q支 162 2 當(dāng)b 1 n n正整數(shù) 時(shí) 乘冪ab與a的n次根意義一致 1 當(dāng)b n 正整數(shù) 時(shí) 乘冪ab與a的n次冪意義一致 163 解 例5 164 冪函數(shù)zb 當(dāng)b n 正整數(shù) w zn在整個(gè)復(fù)平面上是單值解析函數(shù) 165 166 除去b為正整數(shù)外 多值函數(shù) 當(dāng)b為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí) 無(wú)窮多值 167 作業(yè) P672 8 15 18 168 第三章復(fù)變函數(shù)的積分 169 1 有向曲線2 積分的定義3 積分存在的條件及其計(jì)算法4 積分性質(zhì) 1復(fù)變函數(shù)積分的概念 170 1 有向曲線 171 172 2 積分的定義 定義 173 174 175 3 積分存在的條件及其計(jì)算法 定理 176 證明 177 178 由曲線積分的計(jì)算法得 179 4 積分性質(zhì) 由積分定義得 180 例1 解 又解 181 例2 解 182 0 0 0 2 0 1 0 1 0 n n i z z dz z z dz r z z n C n p 183 第六次課10月29日 184 例3 解 185 解 例4 186 分析 1的積分例子 2Cauchy Goursat基本定理 187 猜想 積分的值與路徑無(wú)關(guān)或沿閉路的積分值 0的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通有關(guān) 先將條件加強(qiáng)些 作初步的探討 188 189 Cauchy定理 190 Cauchy Goursat基本定理 也稱Cauchy定理 191 3 定理中曲線C不必是簡(jiǎn)單的 如下圖 推論設(shè)f z 在單連通區(qū)域B內(nèi)解析 則對(duì)任意兩點(diǎn)z0 z1 B 積分 cf z dz不依賴于連接起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1的曲線 即積分與路徑無(wú)關(guān) 192 復(fù)合閉路定理 3基本定理推廣 復(fù)合閉路定理 193 證明 B A A E E F F G H 194 說(shuō)明 195 此式說(shuō)明一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的積分值 只要在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)f z 的不解析點(diǎn) 閉路變形原理 196 例 解 197 練習(xí) 解 198 作業(yè) P991 2 5 7 1 2 199 1 原函數(shù)與不定積分的概念2 積分計(jì)算公式 4原函數(shù)與不定積分 200 1 原函數(shù)與不定積分的概念 由 2基本定理的推論知 設(shè)f z 在單連通區(qū)域B內(nèi)解析 則對(duì)B中任意曲線C 積分 cfdz與路徑無(wú)關(guān) 只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān) 當(dāng)起點(diǎn)固定在z0 終點(diǎn)z在B內(nèi)變動(dòng) cf z dz在B內(nèi)就定義了一個(gè)變上限的單值函數(shù) 記作 定理設(shè)f z 在單連通區(qū)域B內(nèi)解析 則F z 在B內(nèi)解析 且 201 上面定理表明是f z 的一個(gè)原函數(shù) 設(shè)H z 與G z 是f z 的任何兩個(gè)原函數(shù) 202 2 積分計(jì)算公式 定義設(shè)F z 是f z 的一個(gè)原函數(shù) 稱F z c c為任意常數(shù) 為f z 的不定積分 記作 定理設(shè)f z 在單連通區(qū)域B內(nèi)解析 F z 是f z 的一個(gè)原函數(shù) 則 此公式類(lèi)似于微積分學(xué)中的牛頓 萊布尼茲公式 但是要求函數(shù)是解析的 比以前的連續(xù)條件要強(qiáng) 203 例1計(jì)算下列積分 解1 204 解 205 例3計(jì)算下列積分 206 小結(jié)求積分的方法 207 第七次課11月5日 208 利用Cauchy Goursat基本定理在多連通域上的推廣 即復(fù)合閉路定理 導(dǎo)出一個(gè)用邊界值表示解析函數(shù)內(nèi)部值的積分公式 該公式不僅給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式 從而成為研究解析函數(shù)的有力工具 而且提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的方法 5Cauchy積分公式 209 分析 210 猜想積分 211 定理 Cauchy積分公式 證明 212 213 214 一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值 215 例1 解 216 例2 解 217 本節(jié)研究解析函數(shù)的無(wú)窮次可導(dǎo)性 并導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式 研究表明 一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù) 而且有各階導(dǎo)數(shù) 它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示 這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別 6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 218 形式上 以下將對(duì)這些公式的正確性加以證明 219 定理 證明用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義 220 221 222 依次類(lèi)推 用數(shù)學(xué)歸納法可得 223 一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù) 224 例1 解 225 226 227 作業(yè) P1007 3 5 7 9 8 1 2 9 3 5 228 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 229 在 6我們證明了在D內(nèi)的解析函數(shù) 其導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù) 所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù) 本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系 內(nèi)容簡(jiǎn)介 7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 230 定理 231 證明 設(shè)f z u x y iv x y 在區(qū)域D內(nèi)解析 則 232 233 上面定理說(shuō)明 由解析的概念得 現(xiàn)在研究反過(guò)來(lái)的問(wèn)題 234 如 235 236 定理 237 公式不用強(qiáng)記 可如下推出 類(lèi)似地 然后兩端積分得 238 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問(wèn)題中都有重要應(yīng)用 本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系 239 例1 解 曲線積分法 240 故 241 又解 湊全微分法 242 又解 偏積分法 243 又解 不定積分法 244 第八次課11月12日 245 1 復(fù)數(shù)列的極限2 級(jí)數(shù)的概念 第四章級(jí)數(shù) 1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 246 1 復(fù)數(shù)列的極限 定義 又設(shè)復(fù)常數(shù) 定理1 證明 247 248 2 級(jí)數(shù)概念 級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的和 不收斂 249 例1 解 定理2 證明 250 由定理2 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題可歸之為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題 性質(zhì) 定理3 證明 251 定義 由定理3的證明過(guò)程 及不等式 定理4 252 解 例2 P108 253 例3 解 練習(xí) P108 例1 254 1 冪級(jí)數(shù)概念2 收斂定理3 收斂圓與收斂半徑4 收斂半徑的求法5 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì) 2冪級(jí)數(shù) 255 1 冪級(jí)數(shù)的概念 定義 設(shè)復(fù)變函數(shù)列 級(jí)數(shù)的最前面n項(xiàng)的和 256 若級(jí)數(shù) 1 在D內(nèi)處處收斂 其和為z的函數(shù) 特殊情況 在級(jí)數(shù) 1 中 257 2 收斂定理 同實(shí)變函數(shù)一樣 復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理 定理1阿貝爾 Able 定理 討論P(yáng)142 5 258 證明 259 2 用反證法 3 收斂圓與收斂半徑 由Able定理 冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況 i 若對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂 級(jí)數(shù) 3 在復(fù)平面上處處收斂 ii 除z 0外 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的 這時(shí) 級(jí)數(shù) 3 在復(fù)平面上除z 0外處處發(fā)散 260 顯然 否則 級(jí)數(shù) 3 將在 處發(fā)散 將收斂部分染成紅色 發(fā)散部分染成藍(lán)色 逐漸變大 在c 內(nèi)部都是紅色 逐漸變 小 在c 外部都是藍(lán)色 紅 藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò) 故 播放 261 262 i 冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂 在收斂圓外部發(fā)散 在圓周上可能收斂可能發(fā)散 具體問(wèn)題要具體分析 ii 冪級(jí)數(shù) 3 的收斂范圍是以0為中心 半徑為R的圓域 冪級(jí)數(shù) 2 的收斂范圍是以z0為中心 半徑為R的圓域 263 4 收斂半徑的求法 定理2 比值法 證明 264 265 266 定理3 根值法 定理2 比值法 267 第九次課11月19日 268 例1 P111 解 綜上 269 例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形 解 1 p 1 p 2 該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的 270 綜上 該級(jí)數(shù)發(fā)散 該級(jí)數(shù)收斂 271 故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的 272 5 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì) 代數(shù)運(yùn)算 冪級(jí)數(shù)的加 減運(yùn)算 冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算 273 冪級(jí)數(shù)的代換 復(fù)合 運(yùn)算 冪級(jí)數(shù)的代換運(yùn)算在函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)中很有用 例3 P116 解 274 解 275 分析運(yùn)算 定理4 冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算 冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算 276 作業(yè) P10330 1 2 31P1411 2 4 3 3 4 6 2 3 4 11 1 3 277 1 泰勒展開(kāi)定理2 展開(kāi)式的唯一性3 簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式 3泰勒 Taylor 級(jí)數(shù) 278 1 泰勒 Taylor 展開(kāi)定理 現(xiàn)在研究與此相反的問(wèn)題 一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá) 或者說(shuō) 一個(gè)解析函數(shù)能否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示 以下定理給出了肯定回答 任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示 279 定理 泰勒展開(kāi)定理 分析 代入 1 得 280 281 得證 282 證明 不講 283 不講 284 證明 不講 285 286 2 展開(kāi)式的唯一性 結(jié)論解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)是唯一的 就是它的Taylor級(jí)數(shù) 利用泰勒級(jí)數(shù)可把解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 這樣的展開(kāi)式是否唯一 事實(shí)上 設(shè)f z 用另外的方法展開(kāi)為冪級(jí)數(shù) 287 由此可見(jiàn) 任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)就是Talor級(jí)數(shù) 因而是唯一的 直接法 間接法 代公式 由展開(kāi)式的唯一性 運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 分析運(yùn)算和已知函數(shù)的展開(kāi)式來(lái)展開(kāi) 函數(shù)展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)的方法 288 3 簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式 例1 解 P120 289 290 上述求sinz cosz展開(kāi)式的方法即為間接法 例2把下列函數(shù)展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù) 解 291 2 由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得 292 1 另一方面 因ln 1 z 在從z 1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)解析 ln 1 z 離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是 1 它的展開(kāi)式的收斂范圍為 z 1 293 定理 294 295 第十次課11月26日 296 297 1 預(yù)備知識(shí)2 雙邊冪級(jí)數(shù)3 函數(shù)展開(kāi)成雙邊冪級(jí)數(shù)4 展開(kāi)式的唯一性 4羅朗 Laurent 級(jí)數(shù) 298 由 3知 f z 在z0解析 則f z 總可以在z0的某一個(gè)圓域 z z0 R內(nèi)展開(kāi)成z z0的冪級(jí)數(shù)