北京市2013屆高考壓軸卷 數(shù)學(xué)理試題.doc

北京市2013屆高考壓軸卷 數(shù)學(xué)理試題本試卷共5頁，150分.考試時(shí)間長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)位于（ ）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2設(shè)集合，則使成立的的值是 （A）1（B）0 （C）1 （D）1或13設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C） （D）4已知 為非零向量，則“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的 （ ） （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件5為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和， 則（ ）（A） （B） （C） （D）6.已知、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：若，則；若，且則；若，則；若，且，則。其中正確命題的序號是（ ）（A）（B）（C） （D）7一個(gè)幾何體的三視圖如圖l所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則該幾何體的體積為（ ） （A）1 （B） （C） （D） 8已知函數(shù)，當(dāng)x=a時(shí)，取得最小值,則在直角坐標(biāo)系 中，函數(shù)的大致圖象為（ ） 第二部分 （非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9已知為第二象限角，則 10. 已知=（3，2），=（-1，0），向量+與-2垂直，則實(shí)數(shù)的值為 11. 如果執(zhí)行右面的程序框圖，則輸出的結(jié)果是12. 拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩漸近線圍成的三角形的面積為 13.設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到直線的距離大于2的概率是 14以下正確命題的為 命題“存在，”的否定是：“不存在，”；函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)； 在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)到直線的距離是函數(shù)的圖象的切線的斜率的最大值是；線性回歸直線恒過樣本中心，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn).三、解答題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15（本小題共13分）已知向量，記函數(shù).求：（I）函數(shù)的最小值及取得小值時(shí)的集合； （II）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.16（本小題共13分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和17本小題共14分為了參加年全省高中籃球比賽，某中學(xué)決定從四個(gè)籃球較強(qiáng)的班級中選出人組成男子籃球隊(duì)代表所在地區(qū)參賽，隊(duì)員來源人數(shù)如下表：班級高三（）班高三（）班高二（）班高二（）班人數(shù)（I）從這名隊(duì)員中隨機(jī)選出兩名，求兩人來自同一班級的概率；（II）該中學(xué)籃球隊(duì)經(jīng)過奮力拼搏獲得冠軍若要求選出兩位隊(duì)員代表冠軍隊(duì)發(fā)言，設(shè)其中來自高三（7）班的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望18（本小題共13分）如圖所示，在棱錐中， 平面，底面為直角梯形，且/， （）求證： （）求與平面所成角的正弦值.19（本小題共14分）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（I）求，的值；（II）對函數(shù)定義域內(nèi)的任一個(gè)實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍20（本小題共13分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，短軸長為4. (I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (II)直線x=2與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),A、B是橢圓O上位于直線PQ兩側(cè)的動點(diǎn)，且直線AB的斜率為。 求四邊形APBQ面積的最大值； 設(shè)直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，判斷+的值是否為常數(shù)，并說明理由參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1【答案】A【解析】,，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以在第一象限，選A.2【答案】C【解析】若，則有.若，不成立。若，則不成立。若，則，滿足，所以，選C.3.【答案】C【解析】若，則由得，即，所以。若，則由得，所以。綜上的取值范圍是，即，選C. 4.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以若為偶函?shù)，所以，即，所以。若，則有，所以，為偶函數(shù)，所以“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的充要條件，選C.5.【答案】A【解析】設(shè)公差為，則由得，即，解得，所以，所以。所以，選A.6.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，不一定成立，所以錯誤。成立。成立。，且，也可能相交，所以錯誤。所以選B.7.【答案】B【解析】由三視圖可知，此幾何體為三棱錐，如圖1，其中正視圖為，是邊長為2的正三角形，且，底面為等腰直角三角形，所以體積為，故選B. 圖18.【答案】B【解析】，因?yàn)椋?，所以由均值不等式得，?dāng)且僅當(dāng)，即，所以時(shí)取等號，所以，所以，又，所以選B.二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9.【答案】【解析】因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，所?10.【答案】1【解析】，因?yàn)橄蛄?與-2垂直，所以，即，解得.11.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng) 時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，所以取值具有周期性，周期為6，當(dāng)時(shí)的取值和時(shí)的相同，所以輸出.12.【答案】【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，雙曲線的兩漸近線為和，令，分別解得，所以三角形的低為，高為3，所以三角形的面積為.13.【答案】【解析】不等式對應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿切蜠EF,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，點(diǎn)D到直線的距離等于2，所以要使點(diǎn)D到直線的距離大于2，則點(diǎn)D應(yīng)在三角形BCF中。各點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,根據(jù)幾何概型可知所求概率為. 14. 【解析】命題的否定為“任意的，”，所以不正確；因?yàn)椋?，所以函?shù)的零點(diǎn)在區(qū)間，所以正確；把極坐標(biāo)方程化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出極點(diǎn)到直線的距離，即普通方程為，則極點(diǎn)到直線的距離為，正確；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以正確；線性回歸直線恒過樣本中心，但不一定過樣本點(diǎn)，所以不正確，綜上正確的為.三、解答題（共6小題，共80分）15.解：（） 3分 =， 5分 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)， 此時(shí)的集合是. 8分（）由，所以, 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 13分16.（）設(shè)的公差為，的公比為由，得，從而因此 3分又， 從而，故 6分（）令9分兩式相減得，又 13分17.解：（I）“從這18名隊(duì)員中隨機(jī)選出兩名，兩人來自于同一班級”記作事件，則（II）的所有可能取值為則的分布列為：01218.（）在直角梯形ABCD中，AC=，取AB中點(diǎn)，連接，則四邊形為正方形， 分，又，則為等腰直角三角形， 分又平面，平面，由得平面，平面，所以. 分（）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP分別為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系.則，B（,），C（,）， 9分由（）知即為平面PAC的一個(gè)法向量，,11分即PB與平面PAC所成角的正弦值為. 3分19.解：（）由而點(diǎn)在直線上，又直線的斜率為故有（）由（）得由及令令，故在區(qū)間上是減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，故要使成立，只需故的取值范圍是。 20.解：（）設(shè)橢圓C的方程為 . 1