圓中最定值(修訂版)(1).doc

圓中最定值類型一、圓中將軍飲馬例1、 如圖，AB是O的直徑，AB=10cm，M是半圓AB的一個三等分點，N是半圓AB的一個六等分點，P是直徑AB上一動點，連接MP、NP，則MP+NP的最小值是_1、 已知圓O的面積為3，AB為直徑，弧AC的度數(shù)為80度，弧BD的度數(shù)為20度，點P為直徑AB上任一點，則PC+CD的最小值為_2、如圖，菱形ABC中，A=60度，AB=3,A、B的半徑為2和1,P、E、F分別是CD，A和B上的動點，則PE+PF的最小值為_ 類型二、折疊隱圓【基本原理】（一箭穿心）點A為圓外一點，P為圓O上動點，連接AO并延長交圓于P1、P2，則AP的最小值為AP2,最大值為A P1例、如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，A=60，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將AMN沿MN所在的直線翻折得到AMN，連接AC，請求出AB長度的最小值1、已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)洗中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經(jīng)過點O、P折疊該紙片，則CB的最小值為_2、四邊形ABCD中，ADBC，A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P是線段AD上一動點，將ABP沿BP所在直線翻折得到QBP，則CQD的面積最小值為_類型三、 隨動位似隱圓例、在RtABC中，ACB=90，BAC=30，BC=6點D是邊AC上一點D且AD=2，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)得線段AD，點F始終為BD的中點，則將線段CF最大值為_分析：易知D軌跡為以A為圓心AD為半徑的圓，則在運動過程中AD為定值2，故取AB中點G，則FG為中位線，F(xiàn)G=AD=,故F點軌跡為以G為圓心，為半徑的圓。問題實質(zhì)為已知圓外一點C和圓G上一點F，求CF的最大值。思路2：倍長BC到B，則CF為BDB的中位線，CF= BD,當(dāng)BD最大時，CF也取最大值，問題實質(zhì)為D在圓A上運動至何處時，BD取最大。 【方法歸納】、如圖，點A和點O1為定點，圓O1半徑為定值，P為圓O1上動點，M為AP中點點M運動軌跡為圓O2，且O2為AO1中點。、構(gòu)造中位線1、如圖，在RtABC中，ACB = 90，D是AC的中點，M是BD的中點，將線段AD繞A點任意旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中始終保持點M是BD的中點），若AC = 4，BC = 3，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CM長度的取值范圍是_ 2、如圖，ABC是邊長為2的等邊三角形，以AC為直徑作半圓，P為半圓上任意一點，M為BP中點，則在點P由A到C運動過程中，點M運動路徑長為_類型四、定性分析垂線段最短例、如圖，半圓O的半徑為1，ACAB，BDAB，且AC=1，BD=3，P是半圓上任意一點，則封閉圖形ABDPC面積的最大值是_【分析】：思路1、連接CD、梯形ABCD面積為定值，要使封閉圖形ABDPC面積取最大值，則使CPD面積取最小即可，CPD中，底邊CD為定值，則當(dāng)高取最小值時，面積有最小值，故問題變成當(dāng)點P在圓上運動至何處時，點P到CD距離最小。C、D、O為定點，則點O到CD距離為定值,計算CD、OC、OD長，由勾逆知OCCD，設(shè)點P到CD距離為h，則h+rOC，hOC-r，即當(dāng)O、P、M三點共線時，h有最小值，此時M與點C重合，故OC與圓O交點即為所求點P。思路2：P點的確定也可以這樣想，平移CD，設(shè)平移后的直線為m，則直線m與CD間的距離即為CD邊上的高，顯然，當(dāng)直線m與圓O相切時，高h有最小值。 1、如圖，P為圓O內(nèi)一個定點，A為圓O上一個動點，射線AP,AO分別與圓O交于B，C兩點，若圓O的半徑為3，OP= ，則弦BC的最大值為_2、如圖，AB為O的直徑，C為半圓的中點，C的半徑為2，AB=8，點P是直徑AB上的一動點，PM與C切于點M，則PM的取值范圍為_類型五、定弦定角【基本原理】如圖1O中，A、B為定點，則AB為定弦，點C為優(yōu)弧上任一點，在C點運動過程中則ACB的度數(shù)不變逆運用如圖2、點A、B為定點，點C為線段AB外一點，且ACB=（為固定值）點C在以AB為弦的圓上運動（不與A、B重合） 圖1 圖2例、如圖，AB為定長，點C為線段AB外一點，且滿足ACB=60度，請在圖中畫出點C的運動軌跡，簡要說明作圖步驟步驟1、_步驟2、_練習(xí)、如圖，AB為定長，點C為線段AB外一點，且滿足ACB=120度，請在圖中畫出點C的運動軌跡,并寫出圓心角AOB=_ 【實戰(zhàn)應(yīng)用】例、如圖，O的半徑為1，弦AB=1，點P為優(yōu)弧AB上一動點，ACAP交直線PB于點C，則ABC的最大面積是_1、如圖，ABC是邊長為2的等邊三角形，D是邊BC上的動點，BEAD于E，則CE的最小值為_2、如圖，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足PAB=PBC，則線段CP長的最小值為_類型六、定弦定角反客為主例、如圖，XOY = 45，一把直角三角尺ABC的兩個頂點A、B分別在OX、OY上移動，其中AB = 10，那么點O到頂點A的距離最大值為_點O到AB的距離的最大值為_【分析】：題意中AB為定長線段在角的兩邊滑動，O為定點，滑動中C為動點，AB兩點位置發(fā)生變化，點O到AB距離的最大值的確定有難度，若改變思路，借助物理中運動的相對性可知，若將ABC固定，將XOY的兩邊繞AB滑動，與原題中運動效果等價，題目中數(shù)量關(guān)系不會發(fā)生改變。問題則變?yōu)楫?dāng)點O在圓上運動至何處時，點O到AB距離最大。1、如圖，D,E分別為等腰直角三角形ABC的邊AC、AB上的點，且DE=2 ,以DE為邊向外作正方形DEFG，則AF的最大值為_2、如圖，ABC中，ABC= 45，AC=2，半徑為的圓O始終過A、C兩點，連接OB，則線段OB長的的最大值為_ 類型七、定弦定角條件的確定例、如圖，扇形AOD中，AOD=90，OA=6，點P為弧AD上任意一點（不與點A和D重合），PQOD于點Q，點I為OPQ的內(nèi)心，則當(dāng)點P在弧AD上運動時，求I點運動路徑長。分析：由內(nèi)心的基本結(jié)論知 PIO=90o+PHO=135o為定角，但其所對的邊OP并非定弦，連ID，易證 AIOOID，OID=PIO=135O,且其所對的邊為OD，符合定弦定角條件，故I點軌跡為圓弧，問題易解。1、如圖，邊長為3的等邊ABC，D、E分別為邊BC、AC上的點，且BDCE，AD、BE交于P點，則CP的最小值為_2、如圖，AC3，BC5，且BAC90，D為AC上一動點，以AD為直徑作圓，連接BD交圓于E點，連CE，則CE的最小值為（ ）類型八、隱切線例、已知A（2，0），B（4，0）是x軸上的兩點，點C是y軸上的動點，當(dāng) ACB最大時，則點C的坐標(biāo)為_分析：將 ACB看作以AB為弦的圓上的角，則圓心在AB的垂直平分線上，當(dāng)圓心運動時， ACB的大小也隨之改變，又因為點C為為y軸上的點，所以可將點C理解為圓O與y軸交點。Y軸與圓o的位置關(guān)系有兩種：相交或相切，當(dāng)圓O與y軸相交時，記交點為C1，當(dāng)圓O與y軸相切時，記交點為C，如圖所示， AC1B= AC2B,由圓上的角大于圓外的角可知， ACB AC2B，故當(dāng)圓O于y軸相切時， ACB有最大值?？紤]對稱性可知，點C的位置有兩個，y軸正半軸和y軸負軸上各有一個點。 1、已知點A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），點C是x軸正半軸上一動點，當(dāng) ACB最大時，點C的坐標(biāo)為_在RtABC中，BAC=30，斜邊AB=，動點P在AB邊上，動點Q在AC邊上，且CPQ=90，則線段CQ長的最小值=_類型九、捆綁旋轉(zhuǎn)例、已知A（2，0），B（5，0），點P為圓A上一動點，圓A半徑為2，以PB為邊作等邊PMB，求線段AM的取值范圍。 分析：思路1：要求AM的取值范圍，則先確定M點運動軌跡。由等邊三角形聯(lián)想共頂點的雙等邊結(jié)構(gòu)，可構(gòu)造和PBM共頂點B的等邊ABH，則APBHBMHM=PA=2，所以點M運動軌跡為以H為圓心，半徑為2的圓H上的點。AM過圓心時取得相應(yīng)最大和最小值。思路2：線段BM可看作由線段PB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度得到，當(dāng)點P在圓A上運動時，作出其繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度后的每一個對應(yīng)點，則其應(yīng)點的集合就是點M運動軌跡。顯然其軌跡為圓。因為每個對應(yīng)點都是點P繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度得到，所以點M所在圓的圓心即為將P點所在圓圓心A繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度得到。想象成鐘擺繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度 1、如圖，已知A（2，0），圓O半徑為1，點B為圓O上一動點，點C在第一象限，且ABC為等腰直角三角形，BAC=90度，求線段OC的最大值_2、如圖，AB為O的直徑，AB=4，點C為半圓AB上動點，以BC為邊在O外作正方形BCDE，（點D在直線AB的上方）連接OD當(dāng)點C運動時，則線段OD的最大值為_ 類型十、半徑不確定的處理策略例、在ABC中,AB=4,BC=6,ACB=30,將ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到A1BC1.點E為線段AB中點,點P是線段AC上的動點,在ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中,點P的對應(yīng)點是點P1,則線段EP1長度的最大值為_,最小值為_分析:顯然BP=BP1,P1點軌跡為以B為圓心，BP為半徑的圓，半徑是多少呢？好象無法確定，因為點P為AC上動點，則BP長度有最小值和最大值。如圖當(dāng)BP垂直AC時，半徑最小，當(dāng)P與C重合時，半徑最大，由圖可知P1點軌跡為以B為圓心的無數(shù)個同心圓。不難確定其最小值