人教B版選修22 3.1.3　復(fù)數(shù)的幾何意義 學(xué)案.doc

數(shù)學(xué)人教b選修2-2第三章3.1.3復(fù)數(shù)的幾何意義1掌握復(fù)數(shù)的幾何意義，即能夠掌握復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，掌握向量、復(fù)數(shù)及復(fù)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系2能夠利用復(fù)數(shù)的幾何意義解決一些較簡單的題目1復(fù)數(shù)的幾何表示根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，復(fù)數(shù)zabi被一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(a，b)所_確定，而每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(a，b)，在平面直角坐標(biāo)系中有唯一確定一點(diǎn)z(a，b)(或一個(gè)向量)這就是說，每一個(gè)復(fù)數(shù)，對應(yīng)著平面直角坐標(biāo)系中唯一的_(或一個(gè)向量)；反過來，平面直角坐標(biāo)系中每一個(gè)點(diǎn)(或每一個(gè)向量)，也對應(yīng)著唯一的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對這樣我們通過有序?qū)崝?shù)對，可以建立復(fù)數(shù)zabi和點(diǎn)z(a，b)(或向量)之間的一一對應(yīng)關(guān)系點(diǎn)z(a，b)或向量是復(fù)數(shù)z的_表示(如圖)復(fù)數(shù)zabi有序?qū)崝?shù)對(a，b)點(diǎn)z(a，b)【做一做11】對于復(fù)平面，下列命題中是真命題的是()a虛數(shù)集和各個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的b實(shí)、虛部都是負(fù)數(shù)的虛數(shù)的集合與第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的c實(shí)部是負(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的集合與第二、三象限的點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的d實(shí)軸上方的點(diǎn)的集合與虛部為正數(shù)的復(fù)數(shù)的集合是一一對應(yīng)的【做一做12】設(shè)z(2a25a3)(a22a3)i(ar)，則下列命題中正確的是()az的對應(yīng)點(diǎn)z在第一象限bz的對應(yīng)點(diǎn)z在第四象限cz不是純虛數(shù)dz是虛數(shù)2復(fù)平面建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做_在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做_，y軸叫做_x軸的單位是1，y軸的單位是i.實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，原點(diǎn)(0,0)對應(yīng)復(fù)數(shù)0.(1)復(fù)數(shù)與向量建立一一對應(yīng)關(guān)系的前提是起點(diǎn)都是原點(diǎn)(2)復(fù)數(shù)z的幾何表示為我們用向量方法解決復(fù)數(shù)問題或用復(fù)數(shù)方法解決向量問題創(chuàng)造了條件(3)為了方便起見，我們常把復(fù)數(shù)zabi(a，br)說成點(diǎn)z或說成向量，并規(guī)定：相等向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)【做一做2】下面有關(guān)復(fù)平面的命題，其中正確的有_實(shí)軸與虛軸無交點(diǎn)；實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)；實(shí)軸與虛軸的單位都是1；實(shí)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，純虛數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上3復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)(1)設(shè)abi(a，br)，則向量的長度叫做復(fù)數(shù)abi的_(或絕對值)，記作|abi|，|abi|_.(2)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為_復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示說明：復(fù)數(shù)z的模即有向線段的長度或兩點(diǎn)間的距離在數(shù)軸(一元坐標(biāo))上我們叫實(shí)數(shù)的絕對值，在直角坐標(biāo)系(二元坐標(biāo))上我們叫向量的模，但叫絕對值也可以其本質(zhì)都是線段的長由|z|，得|z|2a2b2，而由a2b2(abi)(abi)，可得公式z|z|2|2，這一公式在分解因式、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的互化、模及共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算中都應(yīng)用很廣泛【做一做31】復(fù)數(shù)i2i2的共軛復(fù)數(shù)是()a2i b2ic2i d2i【做一做32】滿足條件|z|34i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是()a一條直線 b兩條直線c圓 d橢圓1如何理解復(fù)數(shù)的兩種幾何形式？剖析：這種對應(yīng)關(guān)系架起了聯(lián)系復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決，而幾何問題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復(fù)數(shù)問題的途徑復(fù)數(shù)zabi(a，br)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，b)，而不是(a，bi)復(fù)數(shù)zabi(a，br)對應(yīng)的向量是以原點(diǎn)o為起點(diǎn)的，否則就談不上一一對應(yīng)，因?yàn)閺?fù)平面上與相等的向量有無數(shù)個(gè)2復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)有什么聯(lián)系？剖析：(1)復(fù)數(shù)zabi(a，br)的模用|z|表示，其公式為|z|，它既是z對應(yīng)的向量的長度又是其對應(yīng)的點(diǎn)z(a，b)到原點(diǎn)的距離(2)復(fù)數(shù)zabi(a，br)的共軛復(fù)數(shù)為abi，它們對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱當(dāng)b0時(shí)，z，此時(shí)z與對應(yīng)的點(diǎn)是實(shí)軸上的同一個(gè)點(diǎn)如果z，可以推得z為實(shí)數(shù)由此可得zz為實(shí)數(shù)|z|2z.題型一 復(fù)數(shù)的幾何表示【例題1】已知ar，則z(a22a4)(a22a2)i所對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是什么？分析：根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限與復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部的符號(hào)有關(guān)；求復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡問題，首先把z表示成為zxyi(x，yr)的形式，然后尋求x，y之間的關(guān)系，但要注意參數(shù)限定的條件題型二 共軛復(fù)數(shù)【例題2】已知x1yi與i3x是共軛復(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)x與y的值分析：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)相等的概念列方程組求x，y.反思：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用來表示，即若zabi(a，br)，則abi(a，br)在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)z(a，b)對應(yīng)復(fù)數(shù)zabi(a，br)；點(diǎn)(a，b)對應(yīng)復(fù)數(shù)abi(a，br)，點(diǎn)z和關(guān)于實(shí)軸對稱題型三 復(fù)數(shù)的?！纠}3】已知復(fù)數(shù)z1i，z2i.(1)求|及|的值并比較大?。?2)設(shè)zc，滿足條件|z2|z|z1|的點(diǎn)z的集合是什么圖形？分析：根據(jù)模的定義及幾何意義來求解反思：復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，然后再利用公式進(jìn)行計(jì)算，復(fù)數(shù)的模可以比較大小題型四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)的絕對值概念的擴(kuò)充，但在求解有關(guān)問題時(shí)，不能當(dāng)成實(shí)數(shù)的“絕對值”加以求解，否則易丟解、漏解，造成答案不完整或錯(cuò)誤【例題4】求方程5|x|60在復(fù)數(shù)集上解的個(gè)數(shù)錯(cuò)解：5|x|60，5|x|6，即|x|，x，故原方程在復(fù)數(shù)集上有兩個(gè)解1如果復(fù)數(shù)abi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則()aa0，b0ba0，b0ca0，b0da0，b02復(fù)數(shù)z3a6i的模為，則實(shí)數(shù)a的值為()a bc d3若a，br，zabi，我們稱復(fù)數(shù)abi為z的相反復(fù)數(shù)，則()a復(fù)平面上表示z和它的相反復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱b復(fù)平面上表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)與表示z的相反復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱cz的共軛復(fù)數(shù)的相反復(fù)數(shù)是zdz的相反復(fù)數(shù)與不相等4復(fù)數(shù)z1itan 200的模是_5已知，復(fù)數(shù)z2cos isin ，則|z|的取值范圍是_答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理1唯一一個(gè)點(diǎn)幾何【做一做11】d當(dāng)虛數(shù)為純虛數(shù)時(shí)，所對應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，不屬于任何象限，因此選項(xiàng)a不正確；實(shí)、虛部都是負(fù)數(shù)的虛數(shù)的集合與第三象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的，因此選項(xiàng)b不正確；實(shí)部是負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，不屬于第二、三象限，因此選項(xiàng)c不正確；選項(xiàng)d正確【做一做12】d由2a25a3(2a1)(a3)，得其實(shí)部可正，可負(fù)也可以是零，而虛部a22a3(a1)220，故z是虛數(shù)2復(fù)平面實(shí)軸虛軸【做一做2】由于實(shí)軸與虛軸相交于原點(diǎn)，故錯(cuò)；由于原點(diǎn)也在虛軸上，它與復(fù)數(shù)0對應(yīng)，故不正確；虛軸的單位為i，所以錯(cuò)；正確3(1)模(2)共軛【做一做31】di2i22i，其共軛復(fù)數(shù)是2i.【做一做32】c|34i|5.故復(fù)數(shù)z的模為5，即點(diǎn)z到原點(diǎn)的距離等于5，因此滿足條件|z|5的點(diǎn)z的集合是以原點(diǎn)為圓心，以5為半徑的圓典型例題領(lǐng)悟【例題1】解：由于a22a4(a1)230，a22a2(a1)210，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為正，虛部為負(fù)，即復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限設(shè)zxyi(x，yr)，則上述兩式相加，得xy2.又xa22a4(a1)233，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一條射線，其方程為xy20(x3)【例題2】解：i3x的共軛復(fù)數(shù)為3xi，所以x1yi3xi，從而解得【例題3】解：(1)|i|2.|i|1.所以|.(2)由|z2|z|z1|，得1|z|2.因?yàn)閨z|1表示圓|z|1上及其外部所有點(diǎn)組成的集合，|z|2表示圓|z|2上及其內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合，故符合題設(shè)條件的點(diǎn)的集合是以o為圓心，以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán)(包括邊界)，如圖【例題4】錯(cuò)因分析：錯(cuò)解中將|x|看成了實(shí)數(shù)的絕對值，忽略在復(fù)數(shù)集上解方程而導(dǎo)致錯(cuò)誤正解：設(shè)xabi(a，b