北京大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法(下)課件_16 球函數(shù).pdf

16球函數(shù) 考慮三維 轌轡轟轉(zhuǎn)轡轣轥 方程的定解問題 2u 輽 輰 u x2 y2 z2 R2輽 f輨x y z輩 輨輱輩 在球坐標(biāo)系下 輰 r R輬 輰 輬 輰 輲 輱 r2 r r2 u r 輫 輱 r2轤軒輪 轤軒輪 u 輫 輱 r2轤軒輪2 2u 2 輽 輰 u r R輽 f輨 輩u r 0有界 u 0有界u 有界 u 0輽 u 2 u 0 輽 u 2 我們先考慮 f 輽 f輨 輩 與 無關(guān)的情況輮 這時 u 輽 u輨r 輩 也與 無關(guān)輮 定解問題簡化為 輱 r2 r r2 u r 輫 輱 r2轤軒輪 轤軒輪 u 輽 輰 u r R輽 f輨 輩u r 0有界 u 0有界u 有界 分離變量輬 令 u輨r 輩 輽 R輨r輩輂輨 輩 輂輨 輩 輱 r2 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r 輫 R輨r輩 r2 輱 轤軒輪 轤 轤 轤軒輪 轤輂輨 輩 轤 輽 輰 r2 R輂輬 并移項 輱 R輨r輩 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r 輽 輱 輂輨 輩 輱 轤軒輪 轤 轤 轤軒輪 轤輂輨 輩 轤 輽 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r R輨r輩 輽 輰輨輲輩 輱 轤軒輪 轤 轤 轤軒輪 轤輂輨 輩 轤 輫 輂輨 輩 輽 輰輨輳輩 由 的邊界條件輬 得 輂輨輰輩有界輂輨 輩有界輨輴輩 即 輽 輰 不是方程解的奇點輮 方程輨輳輩為 轌轥軋轥輪轤軻轥 方程輮 作變換 x 輽 轣軟轤 y輨x輩 輽 輂輨 輩 輱 轌轥軋轥輪轤軻轥 方程改寫為 轤 轤x 輨輱 x2輩 轤y 轤x 輫 y 輽 輰輨輵輩 16 1Legendre 方程的解 令 輽 輨 輫 輱輩輬 展開 輨輱 x2輩 轤2y 轤x2 輲x 轤y 轤x 輫 輨 輫 輱輩y 輽 輰輨輶輩 由 輽 輨 輫 輱輩 輽 輨 輱輩輨 輩 所以輬 可設(shè) 轒轥 1 2 x 輽 輱 是方程的兩個奇點輬 且為正則奇點輮 在二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法一章輬 我們在常點 x 輽 輰 的鄰域求得方程的兩個線性無關(guān)的冪級數(shù)解輮 y1輨x輩 輽 X n 0 輲2n 輨輲n輩輡 輀輨n 2輩輀輨n 輫 1 2 輩 輀輨 2輩輀輨 1 2 輩 x2n輨輷輩 y2輨x輩 輽 X n 0 輲2n 輨輲n 輫 輱輩輡 輀輨n 1 2 輩輀輨n 輫 輱 輫 2輩 輀輨 1 2 輩輀輨輱 輫 2輩 x2n 1輨輸輩 我們也可以在正則奇點的鄰域求正則解輬 這對 x 輽 輱 的邊界條件的討論有幫助輮 在 x 輽 輱 的鄰域輬 正則解為 y輨x輩 輽 輨x 輱輩 X n 0 cn輨x 輱輩n 代入方程 轛輨z 輱輩 輫 輲轝輨z 輱輩 X n 0 cn輨n 輫 輩輨n 輫 輱輩輨x 輱輩n 2 輲轛輨z 輱輩 輫 輱轝 X n 0 cn輨n 輫 輩輨x 輱輩n 1 輫 輨 輫 輱輩 X n 0 cn輨x 輱輩n 輽 輰 得 輲 X n 0 cn輨n 輫 輩2輨x 輱輩n 輫 X n 0 cn轛 輨 輫 輱輩 輨n 輫 輩輨n 輫 輫 輱輩轝輨x 輱輩n 1輽 輰 先求指標(biāo)方程輬 2輽 輰 得 1輽 2輽 輰輮 所以第一解為 轔轡轢轉(zhuǎn)軟軻 級數(shù)輬 遞推關(guān)系 cn輽 n輨n 輱輩 輨 輫 輱輩 輲n2 cn 1 輽輨 n 輫 輱輩輨 輫 n輩 輲n2 cn 1 輲 所以輬 取 c0輽 輱 P 輨x輩 輽 X n 0 輨 n 輫 輱輩2n 輨n輡輩2 x 輱 輲 n 輽 X n 0 輱 輨n輡輩2 輀輨 輫 n 輫 輱輩 輀輨 n 輫 輱輩 x 輱 輲 n 輨輹輩 稱為 次第一類 轌轥軋轥輪轤軻轥 函數(shù)輮 第二解一定含對數(shù)項輬 取為 Q 輨x輩 輽 gP 輨x輩轉(zhuǎn)輪輨x 輱輩 輫 輽 輱 輲P 輨x輩 轉(zhuǎn)輪 x 輫 輱 x 輱 輲 輲 輨 輫 輱輩 輫 X n 0 輱 輨n輡輩2 輀輨 輫 n 輫 輱輩 輀輨 n 輫 輱輩 輱 輫 輱 輲 輫 輫 輱 n x 輱 輲 n 輨輱輰輩 稱為 次第二類 轌轥軋轥輪轤軻轥 函數(shù)輮 z 輽 輱 是 Q 的枝點輬 6輽 n 時輬 z 輽 也是 Q 的枝點輮 規(guī)定 轡軻軋輨z 輱輩 輽 輰轛轒轥z 輱 轉(zhuǎn)軛z 輽 輰轝 則 Q 輨 z輩 輽 轥 iQ 輨z輩轛轉(zhuǎn)軛z 輰轝 通常規(guī)定對于實數(shù) x輬 當(dāng) 輱 x l 2 的項輬 求導(dǎo)結(jié)果為零 轤l 轤xl 輨x2 輱輩l輽 轤l 轤xl l X r 0 輨 輱輩r l輡 r輡輨l r輩輡x 2 l r 輽 l 2 X r 0 輨 輱輩r l輡 r輡輨l r輩輡 輨輲l 輲r輩輡 輨l 輲r輩輡 xl 2r 所以 Pl輨x輩 輽 l 2 X r 0 輨 輱輩r 輨輲l 輲r輩輡 輲lr輡輨l r輩輡輨l 輲r輩輡x l 2r 輨輲輱輩 很容易求出 P2l輨輰輩 輽 輨 輱輩l 輨輲l輩輡 輲2ll輡l輡 輨輲輲輩 P2l 1輨輰輩 輽 輰輨輲輳輩 輵 16 4Legendre 多項式的正交完備性 正交性 轌轥軋轥輪轤軻轥 多項式是作為本征值問題的本征函數(shù)出現(xiàn)的輬 因此可以從本征值問題出發(fā)輬 證明 轌轥軋轥輪轤軻轥 多項 式的正交性 Z 1 1 Pl輨x輩Pk輨x輩轤x 輽 輰k 6輽 l輨輲輴輩 下面給出另一個證明輬 同時還可求出 kPl輨x輩k2輮 設(shè) k l Z 1 1 Pl輨x輩Pk輨x輩轤x 輽 Z 1 1 輱 輲ll輡 轤l 轤xl 輨x2 輱輩lPk輨x輩轤x 輽 輱 輲ll輡Pk輨x輩 轤l 1 轤xl 1 輨x2 輱輩l 1 1 輱 輲ll輡 Z 1 1 P0 k輨x輩 轤l 1 轤xl 1 輨x2 輱輩l轤x 輽 輱 輲ll輡 Z 1 1 P0 k輨x輩 轤l 1 轤xl 1 輨x2 輱輩l轤x 輽 Z 1 1 Pl輨x輩Pk輨x輩轤x 輽 輨 輱輩l 輱 輲ll輡 Z 1 1 P l k 輨x輩輨x2 輱輩l轤x 若 k l輬 k 次多項式求 l 次導(dǎo)數(shù)等于零輬 所以 Z 1 1 Pl輨x輩Pk輨x輩轤x 輽 輰 這就證明了正交性輮 若 k 輽 l 時輬 則 P l l 輽 常數(shù)輮 由 Pl輨x輩 的多項式表達式 Pl輨x輩 輽 輨輲l輩輡 輲l輨l輡輩2 xl輫 所以 P l l 輨x輩 輽 輨輲l輩輡 輲ll輡 于是 kPl輨x輩k2輽 輨 輱輩l 輨輲l輩輡 輲ll輡 Z 1 1 輨x2 輱輩l轤x 積分可用 轂 函數(shù)表示或分部積分積出輮 最后得 kPl輨x輩k2輽 輲 輲l 輫 輱 輨輲輵輩 所以 Z 1 1 Pl輨x輩Pk輨x輩轤x 輽 輲 輲l 輫 輱 kl 輨輲輶輩 輶 完備性 作為本征函數(shù)的轌轥軋轥輪轤軻轥多項式輬 具有完備性輺 任意一個在區(qū)間 轛 輱 輱轝 中分段連續(xù)的函數(shù) f輨x輩輬 除去有 限個不連續(xù)點輬 可以展開為級數(shù) f輨x輩 輽 X l 0 clPl輨x輩 當(dāng)然輬 展開系數(shù)由 轌轥軋轥輪轤軻轥 多項式的正交性得到 clkPl輨x輩k2輽 Z 1 1 f輨x輩Pl輨x輩轤x cl輽 輲l 輫 輱 輲 Z 1 1 f輨x輩Pl輨x輩轤x Example 16 1將函數(shù) f輨x輩 輽 x3按 Legendre 多項式展開 Solutionx3為輳次多項式輬 而 P3輨x輩 輽 輱 輲輨輵x 3 輳x輩 所以 x3輽 輲 輵P3輨x輩 輫 輳 輵x 3 5x 為輱次多項式輬 而 P1輨x輩 輽 x 所以 x3輽 輲 輵P3輨x輩 輫 輳 輵P1輨x輩 若為 xk輬 k 較大時輬 可以算出普遍表達式輮 Example 16 2將 xk按 Legendre 多項式展開 Solution設(shè) xk輽 P l 0clPl輨x輩輬 則 cl輽 輲l 輫 輱 輲 Z 1 1 xkPl輨x輩轤x 從被積函數(shù)的奇偶性可以判斷 cl輽 輰 當(dāng) k l 輽 奇數(shù) 當(dāng) k l 為偶數(shù)時輬 將 Pl輨x輩 用它的微分表示代入輬 分部積分輬 就有 cl輽 輲l 輫 輱 輲 輱 輲ll輡 Z 1 1 xk 轤l 轤xl 輨x2 輱輩l轤x 輽 輨 輱輩1 輲l 輫 輱 輲 輱 輲ll輡 Z 1 1 轤xk 轤x 轤l 1 轤xl 1 輨x2 輱輩l轤x 輽 輽 輨 輱輩l 輲l 輫 輱 輲 輱 輲ll輡 Z 1 1 轤lxk 轤xl 輨x2 輱輩l轤x 輷 這時有兩種可能輬 當(dāng) k l 時輬 函數(shù) xk微商 l 次一定為 輰輬 即 cl輽 輰 當(dāng) k 輽 軛轡軫輨r r0輩 r輫 r2r 輱 r 輱 輲r 轣軟轤 輫 r 2 輽 輱 r X l 0 Pl輨轣軟轤 輩 r l 16 6Legendre 多項式的遞推關(guān)系 從 轌轥軋轥輪轤軻轥 多項式的生成函數(shù)出發(fā)輬 很容易導(dǎo)出相鄰各次 轌轥軋轥輪轤軻轥 多項式之間的關(guān)系軾遞推關(guān)系輮 生成函數(shù)兩端對 t 求導(dǎo)數(shù) 輱 輲 輲x 輫 輲t 輨輱 輲xt 輫 t2輩3 2 輽 X l 0 lPl輨x輩tl 1 乘以 輱 輲xt 輫 t2 x t 輱 輲xt 輫 t2輽 輨輱 輲xt 輫 t2輩 X l 0 lPl輨x輩tl 1 即 輨x t輩 X l 0 Pl輨x輩tl輽 輨輱 輲xt 輫 t2輩 X l 0 lPl輨x輩tl 1 比較 tl項的系數(shù) xPl輨x輩 Pl 1輽 輨l 輫 輱輩Pl 1輨x輩 輲xlPl輨x輩 輫 輨l 輱輩Pl 1輨x輩 整理得 輨輲l 輫 輱輩xPl輨x輩 輽 輨l 輫 輱輩Pl 1輨x輩 輫 lPl 1輨x輩輨輲輹輩 將生成函數(shù)對 x 求導(dǎo) 輱 輲 輲t 輨輱 輲xt 輫 t2輩3 2 輽 X l 0 P0 l輨x輩t l 乘以 輱 輲xt 輫 t2 t X l 0 Pl輨x輩tl輽 輨輱 輲xt 輫 t2輩 X l 0 P0 l輨x輩t l 比較 tl 1系數(shù) Pl輨x輩 輽 P0 l 1輨x輩 輲xP 0 l輨x輩 輫 P 0 l 1輨x輩 把前個遞推關(guān)系對 x 求導(dǎo) 輨輲l 輫 輱輩Pl輨x輩 輫 輨輲l 輫 輱輩xP0 l輨x輩 輽 輨l 輫 輱輩P 0 l 1輨x輩 輫 lP 0 l 1輨x輩 消去 P0 l 1輨x輩 P0 l 1輨x輩 輽 xP 0 l輨x輩 輫 輨l 輫 輱輩Pl輨x輩 輨輳輰輩 輱輰 消去 P0 l 1輨x輩輬 則得 P0 l 1輨x輩 輽 xP 0 l輨x輩 lPl輨x輩 輨輳輱輩 遞推關(guān)系的一個用途是計算積分輮 Example 16 5計算 Z 1 1 xPk輨x輩Pl輨x輩轤x Solution利用遞推關(guān)系 Z 1 1 xPk輨x輩Pl輨x輩轤x 輽 Z 1 1 k 輫 輱 輲k 輫 輱Pk 1輨x輩 輫 k 輲k 輫 輱Pk 1輨x輩 Pl輨x輩轤x 輽 k 輫 輱 輲k 輫 輱 輲 輲l 輫 輱 k 1 l 輫 k 輲k 輫 輱 輲 輲l 輫 輱 k 1 l 輽 輲 輲l 輫 輱 l 輲l 輱 k 1 l 輫 l 輫 輱 輲l 輫 輳 k 1 l 16 7Legendre 多項式應(yīng)用舉例 Example 16 6均勻電場中的導(dǎo)體球 a z 設(shè)在電場強度為 E0的均勻電場中放進一個接地導(dǎo)體球 球的半徑為 a 求球外任意一點的電勢 Solution取電場方向為 z 軸方向輬 則原有的均勻電場的電勢為 u1輨r輩 輽 E0z 輫 u0 采用球坐標(biāo)系輬 則為 u1輨r 輩 輽 E0r轣軟轤 輫 u0 放進導(dǎo)體球輬 由于靜電感應(yīng)輬 在導(dǎo)體球的球面上會形成一定的感生電荷分布輬 設(shè)感生電荷產(chǎn)生的電勢為 u2輬 由 對稱性 u2輨r輩 輽 u2輨r 輩 因為感生電荷局限在球面上輬 故 u2輨r 輩 r 輽 輰 總電勢 u輨r輩 為原有均勻電場的電勢 u1和感生的電勢 u2的疊加 u輨r 輩 輽 u1輨r 輩 輫 u2輨r 輩 輱輱 而接地的導(dǎo)體球應(yīng)為零電勢 u輨r 輩 r a輽 輰 下面來求 u輮 先求 u2輮 導(dǎo)體球外輬 無源的靜電場滿足 轌轡轟轉(zhuǎn)轡轣轥 方程 2u 輽 輰 同樣輬 導(dǎo)體球不存在時輬 原有電場也有 2u1輽 輰 故 u2滿足 轌轡轟轉(zhuǎn)轡轣轥 方程輬 在球坐標(biāo)系中輬 因為 u2與 無關(guān) 輱 r2 r r2 u r 輫 輱 r2轤軒輪 轤軒輪 u 輽 輰 邊界條件則為 u2 r a輽 u1 r a輽 E0a轣軟轤 u0 u2 r 輰 和 u2 0有界u2 有界 求解定解問題輮 分離變量 u2輨r 輩 輽 R輨r輩輂輨 輩 可以得到 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r R輨r輩 輽 輰 輱 轤軒輪 轤 轤 轤軒輪 轤輂輨 輩 轤 輫 輂輨 輩 輽 輰 由 的邊界條件輬 得 輂輨輰輩有界輂輨 輩有界 轌轥軋轥輪轤軻轥 本征值問題的解為 本征值 l輽 l輨l 輫 輱輩 本征函數(shù)輂l輨 輩 輽 Pl輨x輩 輽 Pl輨轣軟轤 輩 代入徑向方程 轤 轤r r2 轤Rl輨r輩 轤r l輨l 輫 輱輩Rl輨r輩 輽 輰 仍為前章討論過的特殊的二次線性微分方程軾轅軹轉(zhuǎn)轥軻 方程輬 其解為 Rl輨r輩 輽 r 代入方程 輨 輫 輱輩 l輨l 輫 輱輩 輽 輰 1輽 l 2輽 l 輱 于是 Rl輨r輩 輽 Alrl輫 Blr l 1 特解為 u2 l輨r 輩 輽 輨Alrl輫 Blr l 1輩Pl輨轣軟轤 輩 輱輲 一般解 u2輨r 輩 輽 X l 0 輨Alrl輫 Blr l 1輩Pl輨轣軟轤 輩 考慮徑向邊界條件 u2 r 輰 所以輬 Al輽 輰輮 而 u2 r a輽 X l 0 Bla l 1Pl輨轣軟轤 輩 輽 E0a轣軟轤 u0輽 E0aP1輨轣軟轤 輩 u0P0輨轣軟轤 輩 所以 B0 a 輽 u0B0輽 u0a B1 a2 輽 E0aB1輽 E0a3 Bl輽 輰l 輲 u2輨r 輩 輽 u0a r 輫 E0a3 r2 轣軟轤 u輨r 輩 輽 u0 E0r轣軟轤 u0a r 輫 E0a3 r2 轣軟轤 輽 u0 輱 a r E0 輱 a3 r3 r轣軟轤 Example 16 7 輨均勻帶電細圓環(huán)的靜電勢輩設(shè)有一均勻帶電細圓環(huán) 半徑為 a 總電荷量為 Q 求它在空間 任意一點的靜電勢 解法一除了圓環(huán)上各點外輬 靜電勢處處滿足 轌轡轟轉(zhuǎn)轡轣轥 方程輮 仍取球坐標(biāo)系輬 坐標(biāo)原點在環(huán)心輬 而圓環(huán)則處在赤道面上輮 這時輬 空間任意一點 輨r 輩 的靜電勢應(yīng)與 無 關(guān) u 輽 u輨r 輩 可以寫出 u 所滿足的定解問題 輱 r2 r r2 u r 輫 輱 r2轤軒輪 轤軒輪 u 輽 輱 0 輨r 輩 輨輳輲轡輩 u 0有界 u 有界 輨輳輲轢輩 u r 0有界 u r 輰 輨輳輲轣輩 其中電荷密度分布函數(shù)為 輨r 輩 輽 C 輨r a輩 輲 輨輳輳轡輩 由圓環(huán)上的總電荷 ZZZ C 輨r a輩 輲 r2轤軒輪 轤r轤 轤 輽 Q 就可以定出常數(shù) C輬 C 輽 Q 輲 a2 輨輳輳轢輩 輱輳 下面就來求解定解問題輨輳輲輩輮 由 函數(shù)的性質(zhì)可以知道輬 當(dāng) r 6輽 a時輬 方程輨輳輲轡輩 退化為 轌轡轟轉(zhuǎn)轡轣轥 方程輮 這 樣輬 再結(jié)合輨輳輲轢輩和輨輳輲轣輩輬 就可以得到 u輨r 輩 輽 P l 0Alr lPl輨轣軟轤 輩 r a 輨輳輴輩 把球面 r 輽 a 看成是界面輬 在界面上存在電荷分布輮 所以 u輨r 輩 在球面 r 輽 a 上一定是連續(xù)的輬 u輨r 輩 r a 0 r a 0 輽 輰 輨輳輵輩 而 u輨r 輩 r 在球面 r 輽 a 上一定是不連續(xù)的輬 它在球面 r 輽 a 兩側(cè)的躍變可以由方程輨輳輲轡輩對 r 積分得到輺 u r r a 0 r a 0 輽 Q 輲 a2 0 輲 輨輳輶輩 由輨輳輵輩式可得 Alal輽 Bla l 1 將輨輳輶輩式中的 函數(shù)也按 轌轥輪軋轥輪轤軻轥 多項式展開輬 輲 輽 X l 0 輲l 輫 輱 輲 Pl輨輰輩Pl輨轣軟轤 輩 又可得 Allal 1輫 Bl輨l 輫 輱輩a l輽 輨輲l 輫 輱輩Q 輴 0 Pl輨輰輩 解之即得 Al輽 Q 輴 0 a l 1Pl輨輰輩 Bl輽 Q 輴 0 alPl輨輰輩 因為P2l 1輨輰輩 輽 輰 所以 u輨r 輩 輽 Q 輴 0 輱 a P l 0 r a 2l P2l輨輰輩P2l輨轣軟轤 輩 r a 輨輳輷輩 解式中只含有偶次 轌轥軋轥輪轤軻轥 多項式輬 反映了靜電勢 r輨r 輩 對于赤道面的輨鏡像輩 反射不變性輬 即 u輨r 輩 輽 u輨r 輩 解法二本題還有一種非標(biāo)準(zhǔn)的解法輬 即在 r 6輽 a的條件下先寫出定解問題輨輳輲輩的一般解輨輳輴輩輮 然后設(shè)法找 到 u輨r 輩 在某些特殊位置的數(shù)值輬 來定出疊加系數(shù)輮 由于圓環(huán)上各點到軸線上 輨r 輩 輽 輨r 輰輩 或 輨r 輩 點的距 離相等輬 故可直接疊加出軸線上任意一點的靜電勢輬 u輨r 輩 0 輽 Q 輴 0 輱 a2 輫 r2 輽 Q 輴 0 輱 a2 輫 r2 輲ra轣軟轤 0 0 2 輽 Q 輴 0 輱 a P l 0 r a 2l P2l輨輰輩 r a 輨輳輸輩 輱輴 另一方面 由輨輳輴輩式又可以得到 u輨r 輩 0 輽 P l 0輨 輩 lAlrl r a 其中的正號和負號分別對應(yīng)于 輽 輰 和 輮 與前式相比較輬 就可以求得 A2l輽 Q 輴 0 a 2l 1P2l輨輰輩 A2l 1輽 輰 B2l輽 Q 輴 0 a2lP2l輨輰輩 B2l 1輽 輰 16 8連帶 Legendre 函數(shù) 連帶 Legendre 方程 球坐標(biāo)系下 轌轡轟轉(zhuǎn)轡轣轥 方程輬 在一般情況下輬 u 輽 u輨r 輩 輱 r2 r r2 u r 輫 輱 r2轤軒輪 轤軒輪 u 輫 輱 r2轤軒輪2 2u 2 輽 輰 u r R輽 f輨 輩u r 0有界 u 0有界u 有界 u 0輽 u 2 u 0 輽 u 2 分離變量 u輨r 輩 輽 R輨r輩輂輨 輩輈輨 輩 輂輨 輩輈輨 輩 輱 r2 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r 輫R輨r輩輈輨 輩 輱 r2轤軒輪 轤 轤 轤軒輪 轤輂輨 輩 轤 輫R輨r輩輂輨 輩 輱 r2轤軒輪2 轤2輈輨 輩 轤 2 輽 輰 r2 輨R輂輈輩 輱 R輨r輩 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r 輽 輱 輂輨 輩 輱 轤軒輪 轤 轤 轤軒輪 轤輂輨 輩 轤 輱 輈輨 輩 輱 轤軒輪2 轤2輈輨 輩 轤 2 輽 將 輂輬 輈 滿足的方程再乘以 轤軒輪2 轤軒輪 輂輨 輩 轤 轤 轤軒輪 轤輂輨 輩 轤 輫 轤軒輪2 輽 輱 輈輨 輩 轤2輈輨 輩 轤 2 輽 得 輱 轤軒輪 轤 轤 轤軒輪 轤輂輨 輩 轤 輫 轤軒輪2 輂輨 輩 輽 輰輨輳輹輩 轤2輈輨 輩 轤 2 輫 輈輨 輩 輽 輰輨輴輰輩 輨輳輹輩 稱為連帶 轌轥軋轥輪轤軻轥 方程輮 輱輵 連帶 Legendre 函數(shù) 邊界條件分離變量后為 輂輨輰輩有界輂輨 輩有界 輈輨輰輩 輽 輈輨輲 輩輈0輨輰輩 輽 輈0輨輲 輩 解 輈 本征值問題輬 得 m輽 m2m 輽 輰 輱 輲 輳 輈0輽 輱輈m1輽 轣軟轤m 輈m2輽 轤軒輪m 代入 輂 方程后輬 輂 的本征值問題為 輱 轤軒輪 轤 轤 轤軒輪 轤輂輨 輩 轤 輫 m2 轤軒輪2 輂輨 輩 輽 輰 輂輨輰輩有界輂輨 輩有界 或令 x 輽 轣軟轤 y輨x輩 輽 輂輨 輩 輽 輨 輫 輱輩 轤 轤x 輨輱 x2輩轤y輨x輩 轤x 輫 輨 輫 輱輩 m2 輱 x2 y輨x輩 輽 輰 y輨 輱輩有界 先求方程的通解輮 x 輽 輱仍為方程的正則奇點輮 正則奇點處的指標(biāo)方程輬 因為a0輽 輱輬 b0輽 m2 輴輬 為 輨 輱輩 輫 m2 輴 輽 輰 所以輬 指標(biāo)為 1輽 m 輲輬 2輽 m 輲輬 第一解為 y1輨x輩 輽 輨x 輱輩m 2 X cn輨x 輱輩n 輽 輨x 輫 輱輩m 2 X c0n輨x 輫 輱輩n 所以我們假設(shè) y輨x輩 輽 輨輱 x2輩m 2vm輨x輩 代入方程輬 就可以得到 vm輨x輩 所滿足的方程 輨輱 x2輩v00 m 輲輨m 輫 輱輩xv 0 m輫 轛 輨 輫 輱輩 m輨m 輫 輱輩轝vm輽 輰 下面輬 我們證明輬 上面的方程可以通過 轌轥軋轥輪轤軻轥 方程求 m 次導(dǎo)數(shù)得到輮 先將上面方程求一次導(dǎo)數(shù) 輨輱 x2輩v000 m 輲xv 00 m 輲輨m 輫 輱輩xv 00 m 輲輨m 輫 輱輩v0 m輫 轛 輨 輫 輱輩 m輨m 輫 輱輩轝v 0 m輽 輰 整理后得 輨輱 x2輩輨v0 m輩 00 輲輨m 輫 輲輩x輨v0 m輩 0 輫轛 輨 輫 輱輩轝 輨m 輫 輱輩輨m 輫 輲輩轝輨v0 m輩 輽 輰 輱輶 這表明輬 v0 m輨x輩 滿足同樣的方程輬 只要把 m 換成 m 輫 輱輮 v0 m輨x輩 vm 1輨x輩 所以只要知道了 m 輽 輰 時方程的解 v0輬 對解求一次導(dǎo)輬 就得到了 m 輽 輱 時方程的解 v1輬 再求一次導(dǎo)輬 就得到 了 m 輽 輲 時方程的解 v2輬 依此類推輮 而 m 輽 輰 時方程就是 轌轥軋轥輪轤軻轥 方程 輨輱 x2輩w00 輲xw0輫 輨 輫 輱輩w 輽 輰 其解為 轌轥軋轥輪轤軻轥 函數(shù) P 輨x輩 和 Q 輨x輩輮 所以輬 vm的通解為 vm輨x輩 輽 AP m 輨x輩 輫 BQ m 輨x輩 而連帶 轌轥軋轥輪轤軻轥 方程的通解則為 y輨x輩 輽 A輨輱 x2輩m 2P m 輨x輩 輫 B輨輱 x2輩m 2Q m 輨x輩 再考慮邊界條件輬 y輨輱輩 有界輬 Q 在 x 輽 輱 對數(shù)發(fā)散輬 Q m 則以 輨x 輱輩 m的方式發(fā)散輬 所以 輨輱 x2輩m 2Q m 輨x輩 在 x 輽 輱 發(fā)散輬 B 輽 輰輮 進一步輬 y輨 輱輩 有界輬 只要 6輽 輰輬 P 為一無窮級數(shù)輬 則 P 在 x 輽 輱 點也是對數(shù)發(fā)散輬 P 輨x輩 輽 P 輨 x輩 輫 Q 輨 x輩 6輽 輰 實際上輬 6輽 輰 時 Q 輨x輩 輽 輲轤軒輪 轛轣軟轤 P 輨x輩 P 輨 x輩轝 同樣的道理輬 則 輨輱 x2輩m 2P m 輨x輩 在 x 輽 輱 發(fā)散輮 除非 輽 l輬 Pl截斷成 轌轥軋轥輪轤軻轥 多項式輮 且 l m 時輬 P m l 不為零輡 得 l輽 l輨l 輫 輱輩l 輽 m m 輫 輱 m 輫 輲 ym l 輨x輩 輽 輨 輱輩m輨輱 x2輩m 2P m l 輨x輩 Pm l 輨x輩 Pm l 輨x輩 稱為m 階 l 次連帶 轌轥軋轥輪轤軻轥 函數(shù) Pm l 輨x輩 輽 輨 輱輩m 輲ll輡 輨輱 x2輩m 2 轤l m 轤xl m 輨x2 輱輩l 作為本征函數(shù)輬 連帶轌轥軋轥輪轤軻轥函數(shù)有正交關(guān)系 Z 1 1 Pm l 輨x輩Pm k 輨x輩轤x 輽 輰k 6輽 l輨輴輱輩 Proof設(shè) k l Z 1 1 Pm l 輨x輩Pm k 輨x輩轤x 輽 Z 1 1 輨輱 x2輩mP m l P m k 輨x輩轤x 分部積分 m 次后得 Z 1 1 Pm l 輨x輩Pm k 輨x輩轤x 輽輨 輱輩m Z 1 1 Pl輨x輩 轤m 轤xm h 輨輱 x2輩mP m k 輨x輩 i 轤x 輱輷 而 Pl輨x輩 輽 輨輲l輩輡 輲ll輡l輡x l 輫 轤m 轤xm h 輨輱 x2輩mP m k 輨x輩 i 輽 轤m 轤xm 輨 輱輩mx2m 轤m 轤xm 輨輲k輩輡 輲kk輡k輡x k 輫 輽輨 輱輩m 輨輲k輩輡 輲kk輡k輡 k輡 輨k m輩輡 輨k 輫 m輩輡 k輡 xk輫 為一 k 次多項式輮 將其用 轌轥軋轥輪轤軻轥 多項式展開 轤m 轤xm h 輨輱 x2輩mP m k 輨x輩 i 輽 輨 輱輩m 輨k 輫 m輩輡 輨k m輩輡Pk輨x輩 輫 k 1 X n 0 cnPn 當(dāng) k l 時輬 Pl輨x輩 與 Pk正交輬 且顯然 Pl輨x輩 與 Pn輨n k輩 正交輬 所以積分等于零輬 這就證明了正交性輮 當(dāng) k 輽 l 時積分為 kPm l k2輽 輨l 輫 m輩輡 輨l m輩輡kPlk 2 輽 輨l 輫 m輩輡 輨l m輩輡 輲 輲l 輫 輱 所以 Z 1 1 Pm l 輨x輩Pm k 輨x輩轤x 輽 輨l 輫 m輩輡 輨l m輩輡 輲 輲l 輫 輱 lk 輨輴輲輩 16 9球面調(diào)和函數(shù) 球坐標(biāo)系下 轌轡轟轉(zhuǎn)轡轣轥 方程的分離變量的特解 u輨r 輩 輽 R輨r輩輂輨 輩輈輨 輩 輈輬 輂 為相應(yīng)本征值問題的本征函數(shù)輮 輈0輽 輱輈m1輽 轣軟轤m 輈m2輽 轤軒輪m m 輽 輰 輱 輲 輳 輂m l 輨 輩 輽 Pm l 輨轣軟轤 輩l 輽 m m 輫 輱 m 輫 輲 我們把 輈輬 輂 的乘積稱為球面調(diào)和函數(shù)輬 簡稱球諧函數(shù)輮 記為 S輨 輩輮 這樣輬 球坐標(biāo)系下 轌轡轟轉(zhuǎn)轡轣轥 方程的分離 變量的特解 u輨r 輩 輽 R輨r輩S輨 輩 而 Slm1輨 輩 輽 Pm l 輨轣軟轤 輩轣軟轤m m 輽 輰 輱 輲 l Slm2輨 輩 輽 Pm l 輨轣軟轤 輩轤軒輪m m 輽 輱 輲 l l 輽 輰 輱 輲 輳 常采用另一種形式的球諧函數(shù)輮 本征函數(shù) 輈 取復(fù)數(shù)的形式 輈m輽 轥im m 輽 輰 輱 輲 輱輸 球面調(diào)和函數(shù)則為 Slm輨 輩 輽 P m l 輨轣軟轤 輩轥im l 輽 輰 輱 輲 輬 m 輽 輰 輱 輲 l 其正交關(guān)系和模方為 Z 0 Z 2 0 Slm輨 輩S kn轤軒輪 轤 轤 輽 輨l 輫 m 輩輡 輨l m 輩輡 輲 輲l 輫 輱 lk輲 mn 輽 輨l 輫 m 輩輡 輨l m 輩輡 輴 輲l 輫 輱 lk mn 輨輴輳輩 歸一化的球面調(diào)和函數(shù) Y m l 輨 輩 輽 s 輨l m 輩輡 輨l 輫 m 輩輡 輲l 輫 輱 輴 P m l 輨轣軟轤 輩轥im 輨輴輴輩 其正交關(guān)系很簡單 Z 0 Z 2 0 Y m l 輨 輩Y n k 轤軒輪 轤 轤 輽 lk mn輨輴輵輩 歸一化即指其模方為輱輮 Note不同的文獻 Y m l 或 Ylm 的定義可能不同 例如 Y m l 定義中的絕對值符號可能去掉 這是因為 P m l 輨x輩 輨 輱輩 m 輲ll輡 輨輱 x2輩 m 2 轤l m 轤xl m 輨x2 輱輩l 輽 輨 輱輩m 輨l m輩輡 輨l 輫 m輩輡P m l 輨x輩 這樣就會相差一個因子 輨 輱輩m 在我們的教科書中 Y m l 輨x輩 輽 Y m l 輨x輩 而常用的約定是 Y m l 輨x輩 輽 輨 輱輩mY m l 輨x輩 球面調(diào)和函數(shù)的引入使問題求解變得簡單輮 Example 16 8一半徑為a的均勻?qū)w球 表面溫度為 u r a輽 P1 1輨轣軟轤 輩轣軟轤 試求出球內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布 Solution化為球坐標(biāo)系下的定解問題 輱 r2 r r2 u r 輫 輱 r2轤軒輪 轤軒輪 u 輫 輱 r2轤軒輪2 2u 2 輽 輰 u r a輽 f輨 輩 輽 P1 1輨轣軟轤 輩轣軟轤 u r 0有界 u 0有界u 有界 u 0輽 u 2 u 0 輽 u 2 輱輹 分離變量 u輨r 輩 輽 R輨r輩S輨 輩 得 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r R 輽 輰 和 輱 轤軒輪 轤軒輪 S輨 輩 輫 輱 轤軒輪2 2S輨 輩 2 輫 S輨 輩 輽 輰 加上邊界條件 S 0有界S 有界 S 0輽 S 2 S 0 輽 S 2 構(gòu)成一個偏微分方程的本征值問題輮 其解為 輨寫出即可輩 l輽 l輨l 輫 輱輩 Slm輨 輩 輽 Y m l 輨 輩m 輽 輰 輱 輲 l 代入徑向方程 轤 轤r r2 轤Rl輨r輩 轤r l輨l 輫 輱輩Rl輽 輰 其通解 Rl輨r輩 輽 Almrl輫 Blmr l 1 由邊界條件u r 0有界輬 Blm輽 輰輮 所以輬 特解為 ulm輨r 輩 輽 AlmrlY m l 輨 輩 一般解 u輨r 輩 輽 X l 0 l X m l AlmrlY m l 輨 輩 定系數(shù) u輨r 輩 r a輽 X l 0 l X m l AlmalY m l 輨 輩 由球諧函數(shù)正交歸一性 Almal輽 Z 0 Z 2 0 f輨 輩Y m l 輨 輩轤軒輪 轤 轤 Alm輽 a l Z 0 Z 2 0 f輨 輩Y m l 輨 輩轤軒輪 轤 轤 或直接將 f輨 輩 用球諧函數(shù)展開輮 因為 Y 1 1 輨 輩 輽 r 輳 輸 P1 1輨轣軟轤 輩轥 i 輲輰 則 P1 1輨轣軟轤 輩轣軟轤 輽 P 1 1輨轣軟轤 輩 轥i 輫 轥 i 輲 輽 r 輲 輳 Y 1 1輨 輩 輫 Y 1 1 輨 輩 于是輬 A11輽 A1 1輽 輱 a r 輲 輳 A其它輽 輰 u輨r 輩 輽 r a r 輲 輳 Y 1 1輨 輩 輫 Y 1 1 輨 輩 輽 r aP 1 1輨轣軟轤 輩轣軟轤 輽 r a 轤軒輪 轣軟轤 16 10連帶 Legendre 函數(shù)的加法公式 加法公式 如圖輬 若改變球坐標(biāo)極軸方向 z P輨 輩 P0輨 0 0輩 z0 0 O 有如下加法公式輺 Pl輨轣軟轤 輩 輽 l X m l 輨l m輩輡 輨l 輫 m輩輡P m l 輨轣軟轤 輩Pm l 輨轣軟轤 0輩轥im 0 輽 l X m l 輨 輱輩mPm l 輨轣軟轤 輩P m l 輨轣軟轤 0輩轥im 0 輽 Pl輨轣軟轤 輩Pl輨轣軟轤 0輩 輫 輲 l X m 1 輨l m輩輡 輨l 輫 m輩輡P m l 輨轣軟轤 輩Pm l 輨轣軟轤 0輩 轣軟轤m輨 0輩輨輴輶輩 其中 是 OP 輨方向為 輩 與 z0軸 OP0輨方向為 0 0輩 間的夾角輮 轣軟轤 輽 轣軟轤 轣軟轤 0輫 轤軒輪 轤軒輪 0轣軟轤輨 0輩輨輴輷輩 輲輱 Proof這個加法公式的證法很多輮 下面從微分方程的解的關(guān)系著手輬 予以證明輮 在球坐標(biāo)系中用分離變量法解 轌轡轟轉(zhuǎn)轡轣轥 方程輺 2V 輽 輰 可得 V 輨r 輩 輽 R輨r輩S輨 輩輮 假設(shè) V 輨輰輩 有界輬 則可取 Vlm輨r 輩 輽 rlYlm輨 輩 現(xiàn)在改變球坐標(biāo)的極軸輬 從 z 軸換到 z0軸輮 顯然輬 在這樣的變換下 轌轡轟轉(zhuǎn)轡轣轥 方程的形式不變輬 而其解在新坐 標(biāo)系 輨r 輩 下有輺 Ulm輨r 輩 輽 rlYlm輨 輩 仍滿足 2U 輽 輰 由解的完備性輬 Ulm輨r 輩 一定可以表示成 Vlm輨r 輩 的線性組合輬 所以 rlYlm輨 輩 輽 X k 0 k X n k rkAknYkn輨 輩 比較 rl的冪次輬 有 Akn輽 An kl 所以 Ylm輨 輩 輽 l X n l AnYln輨 輩輨輴輸輩 其中 An輽 An輨 0 0輩 僅依賴于 z0軸對 z 軸的方向輮 反過來輬 Vlm輨r 輩 也一定可以表示成 Ulm輨r 輩 的 線性組合輬 所以又可以得到 Ylm輨 輩 輽 l X n l BnYln輨 輩輨輴輹輩 在輨輴輸輩中考慮 m 輽 輰 的情形輬 Yl0輨 輩 輽 l X m l AmYlm輨 輩輨輵輰輩 由球諧函數(shù)的正交歸一關(guān)系輬 得 Am輽 Z 0 Z 2 0 Yl0輨 輩Y lm輨 輩轤 其中 輽 轤軒輪 轤 轤 是立體角元輮 將輨輴輹輩代入輬 注意立體角的大小不因極軸的變換而改變 轤 輽 轤軒輪 轤 轤 輽 轤輊 輽 轤軒輪 轤 轤 得 Am輽 Z 0 Z 2 0 Yl0輨 輩 l X n l B nY ln輨 輩轤輊 輽 B 0 輲輲 B0可以從輨輴輹輩算出如下輺 當(dāng) 輽 輰 時輬 輽 0輬 輽 0輬 而 Yln輨輰 輩 輽 s 輨l n輩輡 輨l 輫 n輩輡 輲l 輫 輱 輴 Pn l 輨輱輩轥in 輽 s 輨l n輩輡 輨l 輫 n輩輡 輲l 輫 輱 輴 n輰轥in 輽 r 輲l 輫 輱 輴 n輰 故 B0輽 r 輴 輲l 輫 輱Ylm輨 0 0輩 即 Am輽 r 輴 輲l 輫 輱Y lm輨 0 0輩 得 Yl0輨 輩 輽 r 輴 輲l 輫 輱 l X m l Ylm輨 輩Y lm輨 0 0輩 輨輵輱輩 將 Ylm的表達式代入輬 就證明了加法公式輮 帶電圓環(huán)問題解法三重新再討論帶電圓環(huán)問題輮 在環(huán)上取弧元 a轤 0輬 它到空間任意一點 輨r 輩 的靜電勢 就是 轤u 輽 輱 輴 0 Q轤 0 輲 輱 pr2 輫 a2 輲ra轣軟轤 其中 轣軟轤 輽 轣軟轤 轣軟轤 0輫 轤軒輪 轤軒輪 0轣軟轤輨 0輩 0 2 輽 轤軒輪 轣軟轤輨 0輩 由此就直接疊加出整個帶電圓環(huán)在 輨r 輩 的靜電勢 u輨r 輩 輽 Q 輸 2 0 Z 2 0 轤 0 pr2 輫 a2 輲ra轣軟轤 可以利用加法公式計算出這個積分輮 當(dāng) r a 時也可以得到 u輨r 輩 輽 Q 輴 r 0 X l 0 a r 2l P2l輨轣軟轤 輩P2l輨輰輩 結(jié)果完全相同輮 16 11超幾何函數(shù) 超幾何級數(shù) 超幾何級數(shù)是一個級數(shù) P cn輬 滿足 cn 1 cn 輽 n 的有理函數(shù) 將有理函數(shù)的分子多項式和分母多項式因式分解后輬 總可以寫成 cn 1 cn 輽 輨n 輫 a1輩輨n 輫 a2輩 輨n 輫 ap輩x 輨n 輫 b1輩輨n 輫 b2輩 輨n 輫 bq輩輨n 輫 輱輩 輨輵輲輩 這里出現(xiàn) x 因子是因為多項式不一定是首一的輮 n 輫 輱 因子可能來源于因式分解輬 也可能不是輮 如果不是輬 則 只需在分子上加一補償因子 n 輫 輱輮 由以上遞推關(guān)系輬 X n 0 cn輽 c0 X n 0 輨a1輩n 輨ap輩n 輨b1輩n 輨bq輩n xn n輡 c0 pFq a1 ap b1 bq 輻x 輨輵輳輩 許多初等函數(shù)都可以表示成超幾何級數(shù)輬 如 轥x輽0F0 輻x 輨輵輴轡輩 轤軒輪x 輽 x0F1 輳 輲 輻 x2 輴 輨輵輴轢輩 轣軟轤x 輽0F1 輱 輲 輻 x2 輴 輨輵輴轣輩 轉(zhuǎn)軟軋輨輱 輫 x輩 輽 x2F1 輱 輱 輲 輻 x 輨輵輴轤輩 輨輱 x輩 a輽1F0 a 輻x 輨輵輴轥輩 輲輴 超幾何函數(shù) 超幾何函數(shù) F輨 輻 輻z輩 輽2F1 輻z X n 0 輨 輩n輨 輩n 輨 輩nn輡 zn 輽 X n 0 輱 n輡 輀輨 輫 n輩 輀輨 輩