蘇教版選修23 2.4 二項分布 學案.doc

2.4二_項_分_布獨立重復試驗1定義一般地，由n次試驗構(gòu)成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結(jié)果僅有兩種對立的狀態(tài)，即a與，每次試驗中p(a)p0.我們將這樣的試驗稱為n次獨立重復試驗，也稱為伯努利試驗2概率公式在n次獨立重復試驗中，每次試驗事件a發(fā)生的概率均為p(0p1)，即p(a)p，p()1pq，則事件a恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為pn(k)cpkqnk，k0,1,2，n.它恰好是(qp)n的二項展開式中的第k1項.二項分布連續(xù)擲一顆骰子三次，就是做三次獨立重復試驗用ai(i1,2,3)表示第i次出現(xiàn)6點這一事件，用b1表示“僅出現(xiàn)一次6點”這一事件問題1：試用ai表示b1.提示：b1(a123)(1a23)(12a3)問題2：試求p(b1)提示：p(a1)p(a2)p(a3)，且a123，1a23和12a3互斥，p(b1)p(a112)p(1a23)p(12a3)22232.問題3：用bk表示出現(xiàn)k次6點這一事件，試求p(b0)，p(b2)，p(b3)提示：p(b0)p(123)3，p(b2)32，p(b3)3.問題4：由以上結(jié)果你得出何結(jié)論？提示：p(bk)ck3k，k0,1,2,3.若隨機變量x的分布列為p(xk)cpkqnk，其中0p1，pq1，k0,1,2，n，則稱x服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作xb(n，p)1滿足以下條件的試驗稱為獨立重復試驗：(1)每次試驗是在同樣條件下進行的；(2)各次試驗中的事件是相互獨立的；(3)每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；(4)每次試驗中，某事件發(fā)生的概率是相同的2獨立重復試驗的實際原型是有放回地抽樣檢驗問題但在實際應(yīng)用中，從大批產(chǎn)品中抽取少量樣品的不放回檢驗，可以近似地看作此類型，因此獨立重復試驗在實際問題中應(yīng)用廣泛3判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有二：其一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否二者必居其一；其二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次獨立重復試驗的概率例1某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算：(結(jié)果保留到小數(shù)點后面第2位)(1)5次預報中恰有2次準確的概率；(2)5次預報中至少有2次準確的概率思路點撥由于5次預報是相互獨立的，且結(jié)果只有兩種(或準確或不準確)，符合獨立重復試驗模型精解詳析(1)記預報一次準確為事件a，則p(a)0.8.5次預報相當于5次獨立重復試驗，2次準確的概率為pc0.820.230.051 20.05，因此5次預報中恰有2次準確的概率為0.05.(2)“5次預報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預報全部不準確或只有1次準確”，其概率為pc(0.2)5c0.80.240.006 720.01.所以所求概率為1p10.010.99.所以5次預報中至少有2次準確的概率約為0.99.一點通解答獨立重復試驗中的概率問題要注意以下幾點：(1)先要判斷問題中所涉及的試驗是否為n次獨立重復試驗；(2)要注意分析所研究的事件的含義，并根據(jù)題意劃分為若干個互斥事件的和(3)要善于分析規(guī)律，恰當應(yīng)用排列、組合數(shù)簡化運算1種植某種樹苗，成活率為0.9，若種植這種樹苗5棵，則恰好成活4棵的概率為_解析：恰好成活4棵的概率為c0.940.10.33.答案：0.332.將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣湫∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入a袋或b袋中已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入a袋中的概率為_解析：記“小球落入a袋中”為事件a，“小球落入b袋中”為事件b，則事件a的對立事件為b，若小球落入b袋中，則小球必須一直向左落下或一直向右落下，故p(b)33，從而p(a)1p(b)1.答案：3某城市的發(fā)電廠有5臺發(fā)電機組，每臺發(fā)電機組在第一季度里停機維修率為，已知2臺以上(不包括2臺)發(fā)電機組停機維修，將造成城市缺電，計算：(1)該城市在一個季度里停電的概率；(2)該城市在一個季度里缺電的概率解：(1)若停電，則表示每臺發(fā)電機組都不能工作，由于每臺發(fā)電機組停機維修是互不影響的，故每臺發(fā)電機組停機維修是相互獨立的，該城市停電必須5臺發(fā)電機組都停機維修，所以停電的概率為c50.(2)當3臺或4臺發(fā)電機組停機維修時，該城市將缺電，所以缺電的概率為c32c4105.二項分布例2一名學生騎自行車去上學，從他家到學校的途中有6個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.(1)設(shè)x為這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求x的分布列；(2)設(shè)y為這名學生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求y的分布列；(3)求這三名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率思路點撥解答本題可先求出x，y的可能數(shù)值，再根據(jù)二項分布的公式求分布列(3)可用對立事件求解精解詳析(1)依據(jù)已知條件，可將遇到每個交通崗看作一次試驗，遇到紅燈的概率都是p，且每次試驗結(jié)果都是相互獨立的，所以xb.p(xk)ck6kck6k，k0,1,2，6.所求x的概率分布為x0123456p(2)由題意知，yk(k0,1,2，5)表示前k個路口沒有遇上紅燈，但在第k1個路口遇上紅燈，則其概率為p(yk)k，y6表示路上沒有遇上紅燈，其概率為p(y6)6.所求y的概率分布為y0123456p(3)由題意可知，“至少遇到一次紅燈”的對立事件是“一次紅燈都沒有遇到”，因此有p(x1)1p(x0)1.一點通利用二項分布來解決實際問題的關(guān)鍵是建立二項分布模型，解決這類問題時要看它是否為n次獨立重復試驗，隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布4若隨機變量xb，則p(x3)_.解析：p(x3)c33.答案：5甲、乙兩人參加某高校的自主招生考試，若甲、乙能通過面試的概率都為，且甲、乙兩人能否通過面試相互獨立，求面試結(jié)束后通過人數(shù)x的分布列解析：由題意可知，x服從二項分布b，則p(x0)c2，p(x1)c，p(x2)c2.所以x的分布列為x012p1獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的各次之間相互獨立的一種試驗，每次試驗都只有兩種結(jié)果(即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，并且在任何一次試驗中，事件發(fā)生的概率均相等