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2.3獨(dú)_立_性23.1條 件 概 率三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng),現(xiàn)分別由三名同學(xué)無(wú)放回地抽取問(wèn)題1:三名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率相等嗎?提示:相等問(wèn)題2:求第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率提示:用a表示事件“第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”,則p(a).問(wèn)題3:求最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率提示:用b表示事件“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”則p(b).問(wèn)題4:如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券,那么最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是多少?提示:用c表示事件“在第一名同學(xué)沒(méi)有中獎(jiǎng)的前提下,最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”事件c可以理解為還有兩張獎(jiǎng)券,其中一張能中獎(jiǎng),則p(c).1條件概率的概念一般地,對(duì)于兩個(gè)事件a和b,在已知事件b發(fā)生的條件下事件a發(fā)生的概率,稱為事件b發(fā)生的條件下事件a的條件概率,記為p(a|b)2條件概率的計(jì)算公式(1)一般地,若p(b)0,則事件b已發(fā)生的條件下a發(fā)生的條件概率是p(a|b).(2)利用條件概率,我們有p(ab)p(a|b)p(b)1由條件概率的定義可知,p(a|b)與p(b|a)是不同的;另外,在事件b發(fā)生的前提下,事件a發(fā)生的可能性大小不一定是p(a),即p(a|b)與p(a)不一定相等2在條件概率的定義中,要強(qiáng)調(diào)p(b)0.3p(a|b)可變形為p(ab)p(a|b)p(b),即只要知道其中兩個(gè)值就可以求得第三個(gè)值利用定義求p(a|b)例1拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子,設(shè)事件a為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”,事件b為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”(1)求p(a),p(b),p(ab);(2)當(dāng)藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí),兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為多少?思路點(diǎn)撥根據(jù)古典概型的概率公式及條件概率公式求解精解詳析(1)設(shè)x表示拋擲紅色骰子所得到的點(diǎn)數(shù),用y表示拋擲藍(lán)色骰子所得到的點(diǎn)數(shù),則試驗(yàn)的基本事件總數(shù)的全集(x,y)|xn,yn,1x6,1y6,如圖所示,由古典概型計(jì)算公式可知:p(a),p(b),p(ab).(2)p(b|a).一點(diǎn)通利用p(a|b)求條件概率的一般步驟:(1)計(jì)算p(b);(2)計(jì)算p(ab)(a,b同時(shí)發(fā)生的概率);(3)利用公式p(a|b)計(jì)算其中(1)(2)可利用古典概型等有關(guān)計(jì)算概率的方法求解1袋中有5個(gè)小球(3白2黑),現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球,不放回地抽取兩次,則在第一次取到白球的條件下,第二次取到白球的概率是_解析:記事件a為“第一次取到白球”,事件b為“第二次取到白球”,則事件ab為“兩次都取到白球”,依題意知p(a),p(ab),所以在第一次取到白球的條件下,第二次取到白球的概率是p(b|a).答案:2一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩,假定生男、生女是等可能的已知這個(gè)家庭有一個(gè)是女孩,問(wèn)另一個(gè)小孩是男孩的概率是多少?解:一個(gè)家庭的兩個(gè)小孩只有4種可能:兩個(gè)都是男孩,第一個(gè)是男孩,第二個(gè)是女孩,第一個(gè)是女孩,第二個(gè)是男孩,兩個(gè)都是女孩由題意知這4個(gè)事件是等可能的,a“其中一個(gè)女孩”,b“其中一個(gè)男孩”,則a(男,女),(女,男),(女,女),b(男,男),(男,女),(女,男),ab(男,女),(女,男)p(ab),p(a).p(b|a).3現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽,其中4個(gè)舞蹈節(jié)目,2個(gè)語(yǔ)言類節(jié)目,如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目,求(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率;(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率;(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率解:設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件a,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件b,則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件ab.(1)從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2個(gè)的事件數(shù)為a30,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理第1次抽到舞蹈節(jié)目的事件數(shù)為aa20,于是p(a).(2)因?yàn)榈?次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的事件數(shù)為a12,于是p(ab).(3)由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為p(b|a).條件概率的綜合應(yīng)用例2有外形相同的球分裝三個(gè)盒子,每盒10個(gè)其中,第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母a,3個(gè)球標(biāo)有字母b;第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè);第三個(gè)盒子中則有紅球8個(gè),白球2個(gè)試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行:先在第一個(gè)盒子中任取一個(gè)球,若取得標(biāo)有字母a的球,則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球,若第一次取得標(biāo)有字母b的球,則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球如果第二次取出的是紅球,則稱試驗(yàn)為成功求試驗(yàn)成功的概率思路點(diǎn)撥精解詳析設(shè)a從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母a的球,b從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母b的球,r第二次取出的球是紅球,w第二次取出的球是白球,則容易求得p(a),p(b),p(r|a),p(w|a),p(r|b),p(w|b).事件“試驗(yàn)成功”表示為rarb,又事件ra與事件rb互斥,故由概率的加法公式,得p(rarb)p(ra)p(rb)p(r|a)p(a)p(r|b)p(b)0.59.一點(diǎn)通為了求得比較復(fù)雜事件的概率往往可以先把它分解成兩個(gè)(或若干個(gè))互斥的較簡(jiǎn)單事件之和,求出這些簡(jiǎn)單事件的概率,再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率4高二某班共有60名學(xué)生,其中女生有20名,三好學(xué)生占,而且三好學(xué)生中女生占一半現(xiàn)在從該班同學(xué)中任選一名參加某一座談會(huì)則在已知沒(méi)有選上女生的條件下,選上的是三好學(xué)生的概率為_(kāi)解析:設(shè)事件a表示“任選一名同學(xué)是男生”;事件b為“任取一名同學(xué)為三好學(xué)生”,則所求概率為p(b|a)依題意得p(a),p(ab).故p(b|a).答案:5在某次考試中,要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題,若考生至少能答對(duì)其中的4道題即可通過(guò);若至少能答對(duì)其中5道題就獲得優(yōu)秀,已知某考生能答對(duì)其中10道題,并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過(guò),求他獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率解:設(shè)事件a為“該考生6道題全答對(duì)”,事件b為“該考生答對(duì)了其中5道題,另一道答錯(cuò)”,事件c為“該考生答對(duì)了其中4道題,而另2道題答錯(cuò)”,事件d為“該考生在這次考試中通過(guò)”,事件e為“該考生考試中獲得優(yōu)秀”,則a,b,c兩兩互斥,且dabc,eab.由古典概型的概率公式及加法公式可知p(d)p(abc)p(a)p(b)p(c),p(ad)p(a),p(bd)p(b),p(e|d)p(ab|d)p(a|d)p(b|d)
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