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文檔簡介
第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)1掌握等比數(shù)列的性質(zhì),能應(yīng)用其性質(zhì)解題(重點(diǎn))2了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(重點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系閱讀教材p53,完成下列問題如果數(shù)列an是等比數(shù)列,則ana1qn1(a10,q0),故q1時(shí)點(diǎn)(n,an)均在函數(shù)ya1qx1的圖象上若等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2np,則p .【解析】結(jié)合等比數(shù)列an的圖象特點(diǎn),可知p0.【答案】0教材整理2等比數(shù)列的性質(zhì)閱讀教材p54第12題,p55第14題,第16題,完成下列問題等比數(shù)列的性質(zhì)(1)如果mnkl,則有amanakal.(2)如果mn2k,則有amana.(3)在等比數(shù)列an中,每隔k項(xiàng)(kn*)取出一項(xiàng),按原來的順序排列,所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列(4)如果an,bn均為等比數(shù)列,且公比分別為q1,q2,那么數(shù)列,anbn,|an|仍是等比數(shù)列,且公比分別為,q1q2,|q1|.(5)等比數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性:在有窮等比數(shù)列中,與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積,即a1ana2an1akank1.1在等比數(shù)列an中,若a51,則a2a8 .【解析】a2a8a1.【答案】12在等比數(shù)列an中,a1a23,a5a627,則a3a4 .【解析】a1a2,a3a4,a5a6成等比數(shù)列,(a3a4)2(a1a2)(a5a6)32781,a3a49.【答案】9小組合作型等比數(shù)列的性質(zhì)在等比數(shù)列an中,(1)若a3a5a7a9a11243,求的值;(2)若an0,且a3a632,求log2a1log2a2log2a8的值【精彩點(diǎn)撥】利用等比數(shù)列的性質(zhì),若mnpq2k(m,n,p,q,kn*),則amanapaqa求解【自主解答】(1)a3,a5,a7,a9,a11成等比數(shù)列,a3a5a7a9a11a24335,a73.又a7,3.(2)log2a1log2a2log2a8log2a1a2a8log2(a1a8)4log2(a3a6)4log2324log222020.等比數(shù)列中的項(xiàng)的序號(hào)若成等差數(shù)列,則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)依次成等比數(shù)列,有關(guān)等比數(shù)列的計(jì)算問題,應(yīng)充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的“指引”作用,以使運(yùn)算簡便.再練一題1(1)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a3a94,a6a10a3a541,求a4a8的值;(2)在等比數(shù)列an中,a5,a9是方程7x218x70的兩個(gè)根,求a7.【解】(1)an為等比數(shù)列,且3948,61028,3524,a3a9a4a84,a6a10a,a3a5a,a6a10a3a5aa41,又a4a84,(a4a8)2412449,且an0,a4a87.(2)a5,a9是方程7x218x70的兩個(gè)根,a50,a90.又aa5a91,且a7a5q20,a71.靈活設(shè)項(xiàng)求解等比數(shù)列有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12,求這四個(gè)數(shù)【精彩點(diǎn)撥】解答此類題目主要是利用性質(zhì)和已知巧設(shè),再構(gòu)造方程或方程組求解【自主解答】法一:設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為ad,a,ad,由條件得解得或當(dāng)a4,d4時(shí),所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16;當(dāng)a9,d6時(shí),所求四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.法二:設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a,a,aq(a0),由條件得解得或當(dāng)q2,a8時(shí),所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16;當(dāng)q,a3時(shí),所求四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.靈活設(shè)項(xiàng)求解等比數(shù)列的技巧1三數(shù)成等比數(shù)列,一般可設(shè)為,a,aq.2四數(shù)成等比數(shù)列,一般可設(shè)為,aq,aq3或a,aq,aq2,aq3.3五數(shù)成等比數(shù)列,一般可設(shè)為,a,aq,aq2.再練一題2三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,其積為512,如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去2,則這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求這三個(gè)數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):92862052】【解】設(shè)三個(gè)數(shù)依次為,a,aq,aaq512,a8.(aq2)2a,2q25q20,q2或q,這三個(gè)數(shù)為4,8,16或16,8,4.探究共研型等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用探究1若an是正項(xiàng)等比數(shù)列,則log2an是什么數(shù)列?【提示】log2an是等差數(shù)列,由log2an1log2anlog2可知探究2若an是等差數(shù)列,則2an是什么數(shù)列?【提示】2an是等比數(shù)列,由可知設(shè)an是公差大于0的等差數(shù)列,bn,已知b1b2b3,b1b2b3,(1)求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列;(2)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)an.【精彩點(diǎn)撥】(1)證明為同一常數(shù);(2)先求bn,由bn求an.【自主解答】(1)證明:設(shè)an的公差為d(d0),為常數(shù),且0,bn為以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列(2)b1b2b3,b,b2,或q(0,1),b1b3,an2n3,(nn*)等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化1若數(shù)列an為等差數(shù)列,則數(shù)列m(m0,m1)為等比數(shù)列2若數(shù)列an為等比數(shù)列,且an0,則數(shù)列l(wèi)ogban(b0,b1)為等差數(shù)列再練一題3已知xn為各項(xiàng)不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列,yn滿足ynlogxna2(a0且a1),設(shè)y417,y711.則數(shù)列yn的前多少項(xiàng)的和最大?最大值是多少?【解】yn2logaxn,且xn為等比數(shù)列,yn1yn12logaxn12logaxn12loga(xn1xn1)2logax4logaxn2yn,n2,nn*,yn為等差數(shù)列又y417,y711y43d,d2,yny42(n4)252n(nn*)由yn0,知n12.故yn的前12項(xiàng)和最大,其最大值為144.1對(duì)任意等比數(shù)列an,下列說法一定正確的是 a1,a3,a9成等比數(shù)列;a2,a3,a6成等比數(shù)列;a2,a4,a8成等比數(shù)列;a3,a6,a9成等比數(shù)列【解析】3926,aa3a9,a3,a6,a9成等比數(shù)列【答案】2已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a1a2a35,a7a8a910,則a4a5a6 .【解析】an成等比數(shù)列,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9也成等比數(shù)列,(a4a5a6)2(a1a2a3)(a7a8a9)50,a4a5a65,又an0,a4a5a65.【答案】53在等比數(shù)列an中,已知a1a2324,a3a436,則a5a6 . 【導(dǎo)學(xué)號(hào):92862053】【解析】an為等比數(shù)列,a1a2,a3a4,a5a6成等比數(shù)列,a5a64.【答案】44等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a5a6a4a718,則log3a1log3a2log3a10 .【解析】因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列,所以a5a6a4a7.又a5a6a4a718,a5a6a1a10a4a7a3a8a2a99,log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a3a10)log395log331010.【答案】105已知
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