人教A版選修22 1．3.3　函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(二) 學(xué)案.docx

13.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解極值與最值的關(guān)系，并能利用其求參數(shù)的范圍.2.能利用導(dǎo)數(shù)解決一些簡單的恒成立問題知識點用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)最值的基本方法(1)求導(dǎo)函數(shù)：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)；(2)求極值嫌疑點：即f(x)不存在的點和f(x)0的點；(3)列表：依極值嫌疑點將函數(shù)的定義域分成若干個子區(qū)間，列出f(x)與f(x)隨x變化的一覽表；(4)求極值：依(3)的表中所反應(yīng)的相關(guān)信息，求出f(x)的極值點和極值；(5)求區(qū)間端點的函數(shù)值；(6)求最值：比較極值嫌疑點和區(qū)間端點的函數(shù)值后，得出函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的最大值和最小值.類型一由極值與最值關(guān)系求參數(shù)范圍例1若函數(shù)f(x)3xx3在區(qū)間(a212，a)上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是()a(1，) b(1,4)c(1,2 d(1,2)考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點最值存在性問題答案c解析由f(x)33x20，得x1.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)22由此得a2121a，解得1a.又當(dāng)x(1，)時，f(x)單調(diào)遞減，且當(dāng)x2時，f(x)2.a2.綜上，1a2.反思與感悟函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最值，則極值點必落在該區(qū)間內(nèi)跟蹤訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)x36bx3b在(0,1)內(nèi)有最小值，則實數(shù)b的取值范圍是()a(0,1) b(，1)c(0，) d.考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點最值存在性問題答案d解析由題意得，函數(shù)f(x)x36bx3b的導(dǎo)數(shù)f(x)3x26b在(0,1)內(nèi)有零點，且f(0)0，即6b0，0b，故選d.類型二與最值有關(guān)的恒成立問題例2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc在x與x1處都取得極值(1)求a，b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求實數(shù)c的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因為f(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)0，得x或x1，當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(1，)；單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，當(dāng)x時，fc為極大值，因為f(2)2c，所以f(2)2c為最大值要使f(x)f(2)2c，解得c2.故實數(shù)c的取值范圍為(，1)(2，)引申探究若本例中條件不變，“把(2)中對x1,2，不等式f(x)c2恒成立”改為“若存在x1,2，不等式f(x)c，所以f(1)c為最小值因為存在x1,2，不等式f(x)f(1)c，即2c22c30，解得cr.故實數(shù)c的取值范圍為r.反思與感悟分離參數(shù)求解不等式恒成立問題的步驟跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)2xln x，g(x)x2ax3對一切x(0，)，f(x)g(x)恒成立，則a的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍答案(，4解析由2xln xx2ax3，得a2ln xx.設(shè)h(x)2ln xx(x0)則h(x)，當(dāng)x(0,1)時，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增h(x)minh(1)4.a4.(2)設(shè)l為曲線c：y在點(1,0)處的切線求l的方程；證明：除切點(1,0)之外，曲線c在直線l的下方考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點恒成立中的證明問題解設(shè)f(x)，則f(x)，所以f(1)1，所以l的方程為yx1.證明設(shè)g(x)x1f(x)，除切點外，曲線c在直線l的下方等價于x0且x1，g(x)0.g(x)滿足g(1)0，且g(x)1f(x).當(dāng)0x1時，x210，ln x0，所以g(x)1時，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)在(1，)上單調(diào)遞增；所以，x0且x1，g(x)g(1)0.所以除切點外，曲線c在直線l的下方.1函數(shù)f(x)xex，x0,4的最大值是()a0 b. c. d.考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案b解析f(x)exxexex(1x)，當(dāng)0x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)1x4時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x1時，f(x)maxf(1).故選b.2函數(shù)f(x)xln x的最小值為()ae2 bece1 d考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案c解析f(x)xln x，定義域是(0，)，f(x)1ln x，令f(x)0，解得x，令f(x)0，解得0x0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()a(1，) b(，1)c1，) d(，1考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍答案a解析f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，令f(x)0，解得x0恒成立，則1a0，解得a1，故選a.4已知函數(shù)f(x)x33x22，x1，x2是區(qū)間1,1上任意兩個值，m|f(x1)f(x2)|恒成立，則m的最小值是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍答案4解析f(x)3x26x3x(x2)，當(dāng)1x0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0x1時，f(x)0)在x1處取得極值3c，其中a，b，c為常數(shù)(1)試確定a，b的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求實數(shù)c的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍解(1)由f(x)在x1處取得極值3c知f(1)bc3c，得b3.又f(x)4ax3ln xax44bx3x3(4aln xa4b)，由f(1)0，得a4b0，a4b12.(2)由(1)知f(x)48x3ln x(x0)令f(x)0，得x1.當(dāng)0x1時，f(x)1時，f(x)0，f(x)為增函數(shù)因此，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)(3)由(2)知f(1)3c既是極小值，也是(0，)內(nèi)的最小值，要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2，即2c2c30.從而(2c3)(c1)0，解得c或c1.故實數(shù)c的取值范圍為(，1.1若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最值，則極值點必落在已知區(qū)間內(nèi)2已知不等式在某一區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍：一般先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題求解；若不能分離，則構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.一、選擇題1已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則f(x)在1,1上的最大值、最小值分別為()a0，4 b.，4c.，0 d2,0考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案b解析由題意得即得則f(x)x32x2x，f(x)3x24x1，令f(x)0得x1或x，由f，f(1)4，f(1)0，f(x)max，f(x)min4.2已知a，b為正實數(shù)，函數(shù)f(x)ax3bx2在0,1上的最大值為4，則f(x)在1,0上的最小值為()a0 b.c2 d2考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值答案a解析因為a，b為正實數(shù)，所以f(x)ax3bx2是增函數(shù)，函數(shù)f(x)ax3bx2在0,1上的最大值f(1)ab24，ab2.在1,0上的最小值為f(1)(ab)20.3若關(guān)于x的不等式x33x3a0恒成立，其中2x3，則實數(shù)a的最大值為()a1 b1c5 d21考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍答案d解析若關(guān)于x的不等式x33x3a0恒成立，則ax33x3在2,3上恒成立，令f(x)x33x3，x2,3，則f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，解得1x1，令f(x)1或x0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()a. b.c(，e1) d(e1，)考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍答案a解析當(dāng)x(0,3)時，關(guān)于x的不等式exx2mx0恒成立，即為2m1在(0,3)上的最小值，令f(x)，則f(x)，當(dāng)0x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)1x0，f(x)單調(diào)遞增可得f(x)在x1處取得最小值e，即有2m1e，可得m0時，f(x)f(0)1，當(dāng)xf(3)1，又f(x)x33x21在a，)上的最大值為1，a的取值范圍為3,06關(guān)于函數(shù)f(x)(2xx2)ex的命題：f(x)0的解集是x|0x0，所以f(x)0，即需2xx20解得x|0x2，正確因為f(x)(2xx2)ex的定義域是r，f(x)(22x)ex(2xx2)ex(2x2)ex，令f(x)0，得x或x.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)極小值極大值所以f()是極小值，f()是極大值，正確由圖象(圖略)知f()為最大值，無最小值，錯誤7若函數(shù)f(x)x33x在(a,6a2)上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是()a(，1) b(，1c(，2) d(，2考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點最值存在性問題答案d解析由題意知f(x)x33x，所以f(x)3x233(x1)(x1)，當(dāng)x1時，f(x)0；當(dāng)1x1時，f(x)0，故x1是函數(shù)f(x)的極大值點，f(1)132，令x33x2，解得x2，由題意得解得0，對一切實數(shù)x恒成立，令h(x)exxa，則h(x)min0，h(x)ex1，令h(x)0得x0，當(dāng)x0時，h(x)0時，h(x)0，則h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，當(dāng)x0時，h(x)取得極小值，即最小值為h(0)1a，1a0，即a1.10已知函數(shù)f(x)ax33x1，且對任意x(0,1，f(x)0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍答案4，)解析當(dāng)x(0,1時，不等式ax33x10可化為a.設(shè)g(x)，x(0,1，則g(x).令g(x)0，得x.當(dāng)x變化時，g(x)，g(x)的變化情況如下表：xg(x)0g(x)極大值因此g(x)的最大值等于極大值g4，則實數(shù)a的取值范圍是4，)11已知函數(shù)f(x)axln x，g(x)exax，其中a為正實數(shù)，若f(x)在(1，)上無最小值，且g(x)在(1，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點最值存在性問題答案1，e解析f(x)axln x(x0)，f(x)a，若f(x)在(1，)上無最小值，則f(x)在(1，)上單調(diào)，f(x)0在(1，)上恒成立，或f(x)0在(1，)上恒成立，a或a，而函數(shù)y在(1，)上單調(diào)遞減，當(dāng)x1時，函數(shù)y取得最大值1，a1或a0，而a為正實數(shù)，故a1，又g(x)exax，g(x)exa，函數(shù)g(x)exax在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，g(x)exa0在區(qū)間(1，)上恒成立，a(ex)min在區(qū)間(1，)上恒成立而exe，ae.綜合，a1，e三、解答題12已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc(a，b，cr)(1)若函數(shù)f(x)在x1和x3處取得極值，試求a，b的值；(2)在(1)的條件下，當(dāng)x2,6時，f(x)2|c|恒成立，求實數(shù)c的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍解(1)f(x)3x22axb，函數(shù)f(x)在x1和x3處取得極值，1,3是方程3x22axb0的兩根(2)由(1)知f(x)x33x29xc，令f(x)3x26x90，得x1或x3.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)極大值極小值而f(1)c5，f(3)c27，f(2)c2，f(6)c54，當(dāng)x2,6時，f(x)的最大值為c54，要使f(x)2|c|恒成立，只需c542|c|.當(dāng)c0時，c5454；當(dāng)c0時，c542c，c0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(1,2)上，有f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減又f(0)0，f(2)，故函數(shù)f(x)的最小值為f(0)0，結(jié)論不成立當(dāng)a0時，令f(x)0，得x11，x21.若a0，則f(0)a0，結(jié)論不成立若00，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(1,2)上，有f(x)1，則011，1.綜上所述，a的取值范圍是a.四、探究與拓展14設(shè)直線xt與函數(shù)f(x)x2，g(x)ln x的圖象分別交于點m，n，則當(dāng)|mn|達到最小時t的值為()a1 b. c. d.考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案d解析由題意畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可以看出|mn|yt2ln t(t0)y2t.當(dāng)0t時，y時，y0，可知y在上單調(diào)遞增故當(dāng)t時，|mn|有極小值也是最小值15已知函數(shù)f(x)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時，