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文檔簡介

1.3.2余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)第1課時余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.會用“五點(diǎn)法”、“圖象變換法”作余弦函數(shù)和yacos(x)的圖象.(重點(diǎn))2.理解余弦函數(shù)的性質(zhì),會求余弦函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間及最值.(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1余弦函數(shù)的圖象閱讀教材p51內(nèi)容,完成下列問題.把正弦函數(shù)ysin x的圖象向左平移個單位長度就得到余弦函數(shù)ycos x的圖象,該圖象叫做余弦曲線.圖135用“五點(diǎn)法”作函數(shù)ycos 2x,xr的圖象時,首先應(yīng)描出的五個點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()a.0,2b.0,c.0,2,3,4d.0,【解析】令2x0,和2,得x0,故選b.【答案】b教材整理2余弦函數(shù)的性質(zhì)閱讀教材p52p53內(nèi)容,完成下列問題.1.余弦函數(shù)的性質(zhì):函數(shù)ycos x定義域r值域1,1奇偶性偶函數(shù)周期性以2k為周期(kz,k0),2為最小正周期單調(diào)性當(dāng)x2k,2k2(kz)時,遞增;當(dāng)x2k,2k(kz)時,遞減最大值與最小值當(dāng)x2k(kz)時,最大值為1;當(dāng)x2k(kz)時,最小值為12.余弦型函數(shù)yacos(x)(xr)(其中a,為常數(shù),且a0,0)的周期t.判斷(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)余弦函數(shù)ycos x是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,對稱軸有無數(shù)多條.()(2)余弦函數(shù)ycos x的圖象是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.()(3)在區(qū)間0,3上,函數(shù)ycos x僅在x0時取得最大值1.()(4)函數(shù)ycos x在上是減函數(shù).()【答案】(1)(2)(3)(4)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后,請將你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流:疑問1:_解惑:_疑問2:_解惑:_疑問3:_解惑:_小組合作型用“五點(diǎn)法”作余弦型函數(shù)的圖象用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y2cosx,x0,2的簡圖.【精彩點(diǎn)撥】在0,2上找出五個關(guān)鍵點(diǎn),用光滑的曲線連接即可.【自主解答】列表:x02cos x101012cos x32123描點(diǎn)連線,如圖1.“五點(diǎn)法”是作三角函數(shù)圖象的常用方法,“五點(diǎn)”即函數(shù)圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn).2.列表、描點(diǎn)、連線是“五點(diǎn)法”作圖過程中的三個基本環(huán)節(jié),注意用光滑的曲線連接五個關(guān)鍵點(diǎn).再練一題1.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y32cos x,x0,2的簡圖.【解】按五個關(guān)鍵點(diǎn)列表,描點(diǎn)畫出圖象(如圖).x02cos x10101y32cos x13531求余弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)ycos的單調(diào)遞減區(qū)間.【導(dǎo)學(xué)號:72010027】【精彩點(diǎn)撥】本題中自變量的系數(shù)為負(fù),故首先利用誘導(dǎo)公式,將ycos化為ycos形式,故只需求ycos的單調(diào)遞減區(qū)間即可.【自主解答】ycoscos,令zx,則ycos z,即2kz2k,kz,2kx2k,kz,2kx2k,kz.故函數(shù)ycos的單調(diào)遞減區(qū)間為,kz.1.求形如yacos(x)b(其中a0,w0,b為常數(shù))的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以借助于余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,通過解不等式求得.2.具體求解時注意兩點(diǎn):要把x看作一個整體,若0,0時,將“x”代入余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以解得與之單調(diào)性一致的單調(diào)區(qū)間;當(dāng)a0時同樣方法可以求得與余弦函數(shù)單調(diào)性相反的單調(diào)區(qū)間.再練一題2.(2016南京高一檢測)求函數(shù)y2的單調(diào)遞增區(qū)間.【解】y22.結(jié)合y|cos x|的圖象.由kxk(kz)得kxk(kz).所以函數(shù)y2的單調(diào)遞增區(qū)間為(kz).有關(guān)三角函數(shù)的最值問題已知函數(shù)y1abcos x的最大值是,最小值是,求函數(shù)y4asin 3bx的最大值.【精彩點(diǎn)撥】欲求函數(shù)y的最大值,須先求出a,b,為此可利用函數(shù)y1的最大、最小值,結(jié)合分類討論求解.【自主解答】函數(shù)y1的最大值是,最小值是.當(dāng)b0時,由題意得當(dāng)b0時,由題意得因此y2sin 3x或y2sin 3x.函數(shù)的最大值均為2.1.對于求形如yacos xb的函數(shù)值域問題,一般情況下只要注意到余弦函數(shù)的性質(zhì)“有界性”即可解決.注意當(dāng)x有具體范圍限制時,需考慮cos x的范圍.2.求解此類問題時,要先求三角函數(shù)值的范圍,然后再根據(jù)其系數(shù)的正負(fù)性質(zhì)求解.再練一題3.(2016日照高一檢測)函數(shù)ysin2xcos x的值域為_.【解析】設(shè)cos xt,因為x,則t,所以y1cos2xcos x2,t,故當(dāng)t,即x時,ymax;當(dāng)t1,即x0時,ymin1.所以函數(shù)的值域為.【答案】探究共研型與正弦、余弦函數(shù)圖象有關(guān)的零點(diǎn)問題探究1方程sin xx的實根個數(shù)有多少個?【提示】在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出ysin x,yx圖象可知在x0,1內(nèi),sin x1時不會相交,所以方程只有一個實根為0.探究2函數(shù)f (x)cos x在0,)內(nèi)有多少個零點(diǎn)?【提示】令f (x)0,所以cos x分別作出y,ycos x可知兩函數(shù)只有一個交點(diǎn),所以f (x)在0,)內(nèi)只有一個零點(diǎn).判斷方程cos x0根的個數(shù).【精彩點(diǎn)撥】當(dāng)求解的方程不是普通方程時,經(jīng)常采用數(shù)形結(jié)合法求解,即分別畫出兩個函數(shù)圖象來求方程解的個數(shù).【自主解答】設(shè)f (x),g(x)cos x,在同一直角坐標(biāo)系中畫出f (x)與g(x)的圖象,如圖:由圖可知,f (x)與g(x)的圖象有三個交點(diǎn),故方程cos x0有三個根.1.求f (x)asin x0(a0)或f (x)acos x0(a0)的根的個數(shù),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù),由于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象都是介于y1與y1之間,只需考慮af (x)a的x的范圍,在該范圍內(nèi)f (x)的圖象與asin x或acos x的圖象的交點(diǎn)的個數(shù)即方程根的個數(shù).2.準(zhǔn)確畫出圖象是解決此類問題的關(guān)鍵,同時要注意相關(guān)問題的求解.再練一題4.求下列方程解的個數(shù):(1)方程x2cos x0的實數(shù)解的個數(shù)是_.(2)方程sin xlg x的解的個數(shù)是_.【解析】(1)作函數(shù)ycos x與yx2的圖象,如圖所示,由圖象,可知原方程有兩個實數(shù)解.(2)建立坐標(biāo)系xoy,先用五點(diǎn)法畫出函數(shù)ysin x,x0,2的圖象,再依次向左、右連續(xù)平移2個單位,得到y(tǒng)sin x的圖象.描出點(diǎn),(1,0),(10,1),并用光滑曲線連接得到y(tǒng)lg x的圖象,如圖所示.由圖象可知方程sin xlg x的解有3個.【答案】(1)2(2)31.函數(shù)ycos x與函數(shù)ycos x的圖象()a.關(guān)于直線x1對稱b.關(guān)于原點(diǎn)對稱c.關(guān)于x軸對稱 d.關(guān)于y軸對稱【解析】作出函數(shù)ycos x與函數(shù)ycos x的簡圖(略),易知它們關(guān)于x軸對稱,故選c.【答案】c2.下列函數(shù)中,周期為的是()a.ysin b.ysin 2xc.ycos d.ycos 4x【解析】t,4.【答案】d3.(2016濟(jì)南高一檢測)函數(shù)ysin是()【導(dǎo)學(xué)號:72010028】a.奇函數(shù) b.偶函數(shù)c.非奇非偶函數(shù) d.即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【解析】ysinsinsincos x,函數(shù)ysin是偶函數(shù).【答案】b4.(2016山東省實驗中學(xué)高一檢測)函數(shù)ycos(x),x0,2的單調(diào)遞減區(qū)間是_.【解析】ycos(x)cos x,其單調(diào)遞減區(qū)間為0,.【答案】0,5.用五點(diǎn)法作出函數(shù)y1cos x(0x2)的簡圖.【解】列表:x02cos x101011cos x01210描點(diǎn)連線,如圖.我還有這些不足:(1)_(2)_我的課下提升方案:(1)_(2)_學(xué)業(yè)分層測評(十)(建議用時:45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.(2016廣州高一檢測)已知函數(shù)f (x)cos x,下面結(jié)論錯誤的是()a.函數(shù)f (x)的最小正周期為2b.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)c.函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線x0對稱d.函數(shù)f (x)是奇函數(shù)【解析】f (x)cos x的圖象即為函數(shù)f (x)cos x的圖象繞x軸翻轉(zhuǎn)而成的,a、b、c均正確,函數(shù)f (x)應(yīng)是偶函數(shù),故選d.【答案】d2.(2016南昌高一檢測)函數(shù)y|cos x|1的最小正周期是()a.2k(kz)b.3c. d.2【解析】因為函數(shù)y|cos x|1的周期同函數(shù)y|cos x|的周期一致,由函數(shù)y|cos x|的圖象知其最小正周期為,所以y|cos x|1的最小正周期也為,故選c.【答案】c3.函數(shù)y12cosx的最小值,最大值分別是()a.1,3 b.1,1c.0,3 d.0,1【解析】cosx1,1,2cosx2,2,y12cosx1,3的最小值為1,最大值為3.【答案】a4.下列關(guān)系式中正確的是()a.sin 11cos 10sin 168b.sin 168sin 11cos 10c.sin 11sin 168cos 10d.sin 168cos 10sin 11【解析】sin 168sin(18012)sin 12cos 78,sin 11cos 79.由余弦函數(shù)的單調(diào)性得cos 79cos 78cos 10,即sin 11sin 168|cos x|的x的取值范圍是()a. b.c. d.【解析】sin x|cos x|,sin x0,x(0,),在同一坐標(biāo)系中畫出ysin x,x(0,)與y|cos x|,x(0,)的圖象,觀察圖象易得x.【答案】a二、填空題6.函數(shù)y2cos的最小正周期為4,則_.【解析】4,.【答案】7.利用余弦曲線,寫出滿足cos x0,x0,2的x的區(qū)間是_.【解析】畫出ycos x,x0,2上的圖象如圖所示.cos x0的區(qū)間為.【答案】8.(2016徐州高一檢測)函數(shù)ylg(2cos x)的定義域為_.【解析】由題意知2cos x0,即cos x,所以2kx2k(kz),即函數(shù)的定義域為(kz).【答案】(kz)三、解答題9.判斷下列函數(shù)的奇偶性,并求它們的周期.(1)y3cos 2x,xr;(2)ycos,xr.【導(dǎo)學(xué)號:72010029】【解】(1)把2x看成一個新的變量u,那么cos u的最小正周期為2,這就是說,當(dāng)u增加到u2且必須至少增加到u2時,函數(shù)cos u的值重復(fù)出現(xiàn).而u22x22(x),所以當(dāng)自變量x增加到x且必須至少增加到x時,函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn),因此,y3cos 2x的周期為.yf (x)3cos 2x,f (x)3cos(2x)3cos 2x,y3cos 2x為偶函數(shù).(2)函數(shù)ycos的周期t.xr,且f (x)cossinx,f (x)sinsinxf (x),ycos為奇函數(shù).10.求函數(shù)ysin2xacos xa的最大值為1時a的值.【解】y1cos2xacos xa2a.因為cos x1,1,要使y最大,則必須滿足2最小.當(dāng)1,即a2(舍去);當(dāng)11,即2a2時,若cos x,則ymax.由題設(shè),令1,得a1(舍去正值);當(dāng)1,即a2時,若cos x1,則ymax,由題設(shè),令1,得a5.綜上所述a5或a1.能力提升1.(2016濰坊高一檢測)函數(shù)ycos的()a.最小正周期為2b.圖象關(guān)于y軸對稱c.圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱d.圖象關(guān)于x軸對稱【解析】函數(shù)ycos的周期為:.所以a不正確;函數(shù)ycossin 2x,當(dāng)x0時,函數(shù)取得0,函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱,故b不正確,d不正確.【答案】c2.(2014江蘇高考)已知函數(shù)ycos x與ysin(2x)(0),它們的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點(diǎn),則的值是_.【解析】由題意,得sincos,因為0,所以.【答案】3.已知函數(shù)f (x)2cos x(0),且函數(shù)yf (x)的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.(1)求f 的值;(2)將函數(shù)yf

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