人教A版選修23 排列的綜合應用 學案.doc

第2課時排列的綜合應用學習目標1.進一步加深對排列概念的理解.2.掌握幾種有限制條件的排列，能應用排列數(shù)公式解決簡單的實際問題知識點排列及其應用1排列數(shù)公式an(n1)(n2)(nm1)(n，mn*，mn).an(n1)(n2)21n！(叫做n的階乘)另外，我們規(guī)定0！1.2應用排列與排列數(shù)公式求解實際問題中的計數(shù)問題的基本步驟類型一無限制條件的排列問題例1(1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？考點排列的應用題點無限制條件的排列問題解(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學，相當于從7個元素中任取3個元素的一個排列，所以共有a765210(種)不同的送法(2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有777343(種)不同的送法反思與感悟典型的排列問題，用排列數(shù)計算其排列方法數(shù)；若不是排列問題，需用計數(shù)原理求其方法種數(shù)排列的概念很清楚，要從“n個不同的元素中取出m個元素”即在排列問題中元素不能重復選取，而在用分步乘法計數(shù)原理解決的問題中，元素可以重復選取跟蹤訓練1(1)有5個不同的科研小課題，從中選3個由高二(6)班的3個學習興趣小組進行研究，每組一個課題，共有多少種不同的安排方法？(2)有5個不同的科研小課題，高二(6)班的3個學習興趣小組報名參加，每組限報一個課題，共有多少種不同的報名方法？考點排列的應用題點無限制條件的排列問題解(1)從5個不同的課題中選出3個，由興趣小組進行研究，對應于從5個不同元素中取出3個元素的一個排列，因此不同的安排方法有a54360(種)(2)由題意知3個興趣小組可能報同一科研課題，因此元素可以重復，不是排列問題由于每個興趣小組都有5種不同的選擇，且3個小組都選擇完才算完成這件事，所以由分步乘法計數(shù)原理得共有555125(種)報名方法類型二排隊問題例23名男生、4名女生按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法的種數(shù)(1)全體站成一排，男、女各站在一起；(2)全體站成一排，男生必須站在一起；(3)全體站成一排，男生不能站在一起；(4)全體站成一排，男、女各不相鄰考點排列的應用題點元素“相鄰”與“不相鄰”問題解(1)男生必須站在一起是男生的全排列，有a種排法；女生必須站在一起是女生的全排列，有a種排法；全體男生、女生各視為一個元素，有a種排法由分步乘法計數(shù)原理知，共有aaa288(種)排隊方法(2)三個男生全排列有a種方法，把所有男生視為一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，有a種排法故有aa720(種)排隊方法(3)先安排女生，共有a種排法；男生在4個女生隔成的五個空中安排，共有a種排法，故共有aa1 440(種)排法(4)排好男生后讓女生插空，共有aa144(種)排法反思與感悟處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應遵循“先整體，后局部”的原則元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個元素內部全排列元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素跟蹤訓練2某次文藝晚會上共演出8個節(jié)目，其中2個唱歌、3個舞蹈、3個曲藝節(jié)目，求分別滿足下列條件的節(jié)目編排方法有多少種？(1)一個唱歌節(jié)目開頭，另一個放在最后壓臺；(2)2個唱歌節(jié)目互不相鄰；(3)2個唱歌節(jié)目相鄰且3個舞蹈節(jié)目不相鄰考點排列的應用題點元素“相鄰”與“不相鄰”問題解(1)先排唱歌節(jié)目有a種排法，再排其他節(jié)目有a種排法，所以共有aa1 440(種)排法(2)先排3個舞蹈節(jié)目和3個曲藝節(jié)目有a種排法，再從其中7個空(包括兩端)中選2個排唱歌節(jié)目，有a種插入方法，所以共有aa30 240(種)排法(3)把2個相鄰的唱歌節(jié)目看作一個元素，與3個曲藝節(jié)目排列共a種排法，再將3個舞蹈節(jié)目插入，共有a種插入方法，最后將2個唱歌節(jié)目互換位置，有a種排法，故所求排法共有aaa2 880(種)排法例3六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不能在兩端；(2)甲、乙必須在兩端；(3)甲不在最左端，乙不在最右端考點排列的應用題點元素“在”與“不在”問題解(1)先考慮甲有a種方案，再考慮其余5人全排列，故naa480(種)；(2)先安排甲、乙有a種方案，再安排其余4人全排列，故naa48(種)；(3)方法一甲在最左端的站法有a種，乙在最右端的站法有a種，且甲在最左端而乙在最右端的站法有a種，共有a2aa504(種)站法方法二以元素甲分類可分為兩類：a.甲站最右端有a種，b.甲在中間4個位置之一，而乙不在最右端有aaa種，故共有aaaa504(種)站法反思與感悟“在”與“不在”排列問題解題原則及方法(1)原則：解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時，可以從元素入手也可以從位置入手，原則是誰特殊誰優(yōu)先(2)方法：從元素入手時，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置入手時，先安排特殊位置，再安排其他位置提醒：解題時，或從元素考慮，或從位置考慮，都要貫徹到底不能一會考慮元素，一會考慮位置，造成分類、分步混亂，導致解題錯誤跟蹤訓練3某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學、物理、體育、美術共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，那么共有多少種不同的排課程表的方法？考點排列的應用題點元素“在”與“不在”問題解6門課總的排法是a，其中不符合要求的可分為體育排在第一節(jié)，有a種排法；數(shù)學排在最后一節(jié)，有a種排法，但這兩種方法，都包括體育排在第一節(jié)，數(shù)學排在最后一節(jié)，這種情況有a種排法因此符合條件的排法有a2aa504(種)例4將a，b，c，d，e這5個字母排成一列，要求a，b，c在排列中的順序為“a，b，c”或“c，b，a”(可以不相鄰)則有多少種不同的排列方法？考點排列的應用題點排列中的定序問題解5個不同元素中部分元素a，b，c的排列順序已定，這種問題有以下兩種常用的解法方法一(整體法)5個元素無約束條件的全排列有a種，由于字母a，b，c的排列順序為“a，b，c”或“c，b，a”，因此，在上述的全排列中恰好符合“a，b，c”或“c，b，a”排列方式的排列有240(種)方法二(插空法)若字母a，b，c的排列順序為“a，b，c”，將字母d，e插入，這時形成的4個空中，分兩類：第一類，若字母d，e相鄰，則有aa種排法；第二類，若字母d，e不相鄰，則有a種排法所以有aaa20(種)不同的排列方法同理，若字母a，b，c的排列順序為“c，b，a”，也有20種不同的排列方法因此，滿足條件的排列有202040(種)反思與感悟在有些排列問題中，某些元素有前后順序是確定的(不一定相鄰)，解決這類問題的基本方法有兩種：(1)整體法，即若有mn個元素排成一列，其中m個元素之間的先后順序確定不變，先將這mn個元素排成一列，有a種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他n個元素的位置不動，把這m個元素交換順序，有a種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因此共有種滿足條件的不同排法(2)插空法，即m個元素之間的先后順序確定不變，因此先排這m個元素，只有一種排法，然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空隙中跟蹤訓練4用1,2,3,4,5,6,7組成沒有重復數(shù)字的七位數(shù)，若1,3,5,7的順序一定，則有_個七位數(shù)符合條件考點排列的應用題點排列中的定序問題答案210解析若1,3,5,7的順序不定，有a24(種)排法，故1,3,5,7的順序一定的排法數(shù)只占總排法數(shù)的.故有a210(個)七位數(shù)符合條件類型三數(shù)字排列問題例5用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數(shù)字？(1)六位奇數(shù)；(2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4 310的四位偶數(shù)考點排列的應用題點數(shù)字的排列問題解(1)第一步，排個位，有a種排法；第二步，排十萬位，有a種排法；第三步，排其他位，有a種排法故共有aaa288(個)六位奇數(shù)(2)方法一(直接法)：十萬位數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類第一類，當個位排0時，有a個；第二類，當個位不排0時，有aaa個故符合題意的六位數(shù)共有aaaa504(個)方法二(排除法)：0在十萬位和5在個位的排列都不對應符合題意的六位數(shù)，這兩類排列中都含有0在十萬位和5在個位的情況故符合題意的六位數(shù)共有a2aa504(個)(3)分三種情況，具體如下：當千位上排1,3時，有aaa個當千位上排2時，有aa個當千位上排4時，形如4 02,4 20的各有a個；形如4 1的有aa個；形如4 3的只有4 310和4 302這兩個數(shù)故共有aaaaa2aaa2110(個)反思與感悟數(shù)字排列問題是排列問題的重要題型，解題時要著重注意從附加受限制條件入手分析，找出解題的思路常見附加條件有：(1)首位不能為0；(2)有無重復數(shù)字；(3)奇偶數(shù)；(4)某數(shù)的倍數(shù)；(5)大于(或小于)某數(shù)跟蹤訓練5用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字的(1)能被5整除的五位數(shù)；(2)能被3整除的五位數(shù)；(3)若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個數(shù)列an，則240 135是第幾項考點排列的應用題點數(shù)字的排列問題解(1)個位上的數(shù)字必須是0或5.個位上是0，有a個；個位上是5，若不含0，則有a個；若含0，但0不作首位，則0的位置有a種排法，其余各位有a種排法，故共有aaaa216(個)能被5整除的五位數(shù)(2)能被3整除的條件是各位數(shù)字之和能被3整除，則5個數(shù)可能有1,2,3,4,5和0,1,2,4,5兩種情況，能夠組成的五位數(shù)分別有a個和aa個故能被3整除的五位數(shù)有aaa216(個)(3)由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有a個數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0,1,3中的一個，有3a個數(shù)，240 135的項數(shù)是a3a1193，即240 135是數(shù)列的第193項16位學生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數(shù)為()a36 b120 c240 d720考點排列的應用題點無限制條件的排列問題答案d解析不同的排法有a654321720(種)26位選手依次演講，其中選手甲不排在第一個也不排在最后一個演講，則不同的演講次序共有()a240種 b360種 c480種 d720種考點排列的應用題點元素“在”與“不在”問題答案c解析第一步：排甲，共有a種不同的排法；第二步：排其他人，共有a種不同的排法，因此不同的演講次序共有aa480(種)3用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有()a144個 b120個 c96個 d72個考點排列的應用題點數(shù)字的排列問題答案b解析當五位數(shù)的萬位為4時，個位可以是0,2，此時滿足條件的偶數(shù)共有2a48(個)；當五位數(shù)的萬位為5時，個位可以是0,2,4，此時滿足條件的偶數(shù)共有3a72(個)，所以比40 000大的偶數(shù)共有4872120(個)45位母親帶領5名兒童站成一排照相，兒童不相鄰的站法有_種考點排列的應用題點元素“相鄰”與“不相鄰”問題答案86 400解析第1步，先排5位母親的位置，有a種排法；第2步，把5名兒童插入5位母親所形成的6個空位中，如下所示：母親_母親_母親_母親_母親_，共有a種排法由分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的站法共有aa86 400(種)5兩家夫婦各帶一個小孩一起去公園游玩，購票后排隊依次入園為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為_考點排列的應用題點元素“相鄰”與“不相鄰”問題答案24解析分3步進行分析，先安排兩位爸爸，必須一首一尾，有a2(種)排法，兩個小孩一定要排在一起，將其看成一個元素，考慮其順序有a2(種)排法，將兩個小孩看作一個元素與兩位媽媽進行全排列，有a6(種)排法則共有22624(種)排法求解排列問題的主要方法：直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉化的方法一、選擇題1將3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同的分法種數(shù)是()a1 260 b120 c240 d720考點排列的應用題點排列的簡單應用答案d解析相當于3個元素排10個位置，有a720(種)不同的分法2要從a，b，c，d，e 5個人中選出1名組長和1名副組長，但a不能當副組長，則不同的選法種數(shù)是()a20 b16 c10 d6考點排列的應用題點排列的簡單應用答案b解析不考慮限制條件有a種選法，若a當副組長，有a種選法，故a不當副組長，有aa16(種)選法3一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()a33! b3(3！)3 c(3！)4 d9!考點排列的應用題點元素“相鄰”與“不相鄰”問題答案c解析利用“捆綁法”求解，滿足題意的坐法種數(shù)為a(a)3(3！)4.故選c.4某電視臺一節(jié)目收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個廣告，其中2個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，且2個商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有()a8種 b16種 c18種 d24種考點排列的應用題點元素“相鄰”與“不相鄰”問題答案a解析可分三步：第一步，排最后一個商業(yè)廣告，有a種；第二步，在前兩個位置選一個排第二個商業(yè)廣告，有a種；第三步，余下的兩個位置排公益宣傳廣告，有a種根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的播放方式共有aaa8(種)，故選a.5由1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，按從小到大的順序排成一個數(shù)列an，則a72等于()a1 543 b2 543 c3 542 d4 532考點排列的應用題點數(shù)字的排列問題答案c解析首位是1的四位數(shù)有a24(個)，首位是2的四位數(shù)有a24(個)，首位是3的四位數(shù)有a24(個)，由分類加法計數(shù)原理得，首位小于4的所有四位數(shù)共32472(個)由此得a723 542.6在制作飛機的某一零件時，要先后實施6個工序，其中工序a只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，工序b和c在實施時必須相鄰，則實施順序的編排方法共有()a34種 b48種 c96種 d144種考點排列的應用題點元素“相鄰”與“不相鄰”問題答案c解析由題意可知，先排工序a，有2種編排方法；再將工序b和c視為一個整體(有2種順序)與其他3個工序全排列共有2a種編排方法故實施順序的編排方法共有22a96(種)故選c.7由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有()a210個 b300個 c464個 d600個考點排列的應用題點數(shù)字的排列問題答案b解析由于組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，個位小于十位的與個位大于十位的一樣多，故有300(個)8某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天若7位員工中的甲、乙被安排在相鄰兩天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，則不同的安排方案共有()a504種 b960種 c1 108種 d1 008種考點排列的應用題點元素“在”與“不在”問題答案d解析由題意知，滿足甲、乙兩人被安排在相鄰兩天值班的方案共有aa1 440(種)，其中滿足甲、乙兩人被安排在相鄰兩天值班且丙在10月1日值班的方案共有aa240(種)，滿足甲、乙兩人被安排在相鄰兩天值班且丁在10月7日值班的方案共有aa240(種)，滿足甲、乙兩人安排在相鄰兩天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有aa48(種)因此滿足題意的方案共有1 4402240481 008(種)二、填空題95個人排成一排，要求甲、乙兩人之間至少有一人，則不同的排法有_種考點排列的應用題點元素“相鄰”與“不相鄰”問題答案72解析甲、乙兩人相鄰共有aa種排法，則甲、乙兩人之間至少有一人共有aaa72(種)排法10從6名短跑運動員中選出4人參加4100 m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問共有_種參賽方案考點排列的應用題點元素“在”與“不在”問題答案240解析方法一從人(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮甲，分以下兩類：第1類，甲不參賽，有a種參賽方案；第2類，甲參賽，可優(yōu)先將甲安排在第二棒或第三棒，有2種方法，然后安排其他3棒，有a種方法，此時有2a種參賽方案由分類加法計數(shù)原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有a2a240(種)方法二從位置(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮第一棒和第四棒，則這兩棒可以從除甲之外的5人中選2人，有a種方法；其余兩棒從剩余4人中選，有a種方法由分步乘法計數(shù)原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有aa240(種)方法三(排除法)：不考慮甲的約束，6個人占4個位置，有a種安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的參賽方案有2a種，所以甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有a2a240(種)11六個停車位置，有3輛汽車需要停放，若要使三個空位連在一起，則停放的方法數(shù)為_考點排列的應用題點元素“相鄰”與“不相鄰”問題答案24解析把3個空位看作一個元素，與3輛汽車共有4個元素全排列，故停放的方法有a432124(種)三、解答題12分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)(1)6名