北師大版選修22 第一章4　數(shù)學歸納法 學案.doc

4數(shù)學歸納法學習目標重點難點1.能說出數(shù)學歸納法的原理，會用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的等式及研究數(shù)列問題2能用數(shù)學歸納法證明與n有關的不等式整除問題，會利用數(shù)學歸納法解決相關問題.重點：借助具體實例了解數(shù)學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，證明簡單的恒等式問題難點：對數(shù)學歸納法的理解及第二步的運用.1數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是用來證明某些與_有關的數(shù)學命題的一種方法2數(shù)學歸納法證明步驟(1)基本步驟：驗證：_時，命題成立；在假設_時命題成立的前提下，推出_時，命題成立根據(jù)可以斷定命題對一切正整數(shù)n都成立(2)數(shù)學歸納法能保證命題對_都成立因為根據(jù)，驗證了當_命題成立；根據(jù)可知，_命題成立由于_命題成立，再根據(jù)可知，_命題也成立，這樣遞推下去，就可以知道_命題成立，即命題對任意正整數(shù)n都成立預習交流議一議：為什么說數(shù)學歸納法步驟缺一不可，它的優(yōu)點是什么？答案：預習導引1正整數(shù)n2(1)n1nk(k1)nk1(2)所有的正整數(shù)n1n112n2n13n4,5，預習交流：提示：(1)數(shù)學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有往后傳遞的保證，即只要命題對某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對后面的正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學歸納法，這兩步各司其職，缺一不可特別指出的是第二步不是判斷命題的真?zhèn)危亲C明命題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題(2)數(shù)學歸納法是不完全歸納法，它的優(yōu)點是克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點，又克服了不完全歸納法結論不可靠的不足，是一種科學的方法，使我們認識到事物由特殊到一般，由有限到無限的規(guī)律在預習中還有哪些問題需要你在聽課時加以關注？請在下列表格中做個備忘吧！我的學困點我的學疑點一、用數(shù)學歸納法證明恒等式用數(shù)學歸納法證明：1.思路分析：用數(shù)學歸納法證明等式時要注意等式兩邊的項數(shù)的變化，即由nk到nk1時，左右兩邊各添加了哪些項1用數(shù)學歸納法證明：1aa2an1(a1)，在驗證n1時，左邊計算所得的項為()a1 b1a c1aa2 d1aa2a32證明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)1.在利用數(shù)學歸納法由nk到nk1時，有時不只增加1項，并且等式的左邊和右邊可能增加的項數(shù)不一定相同2第二步中證明nk1成立時，一定要用上nk時的假設3在遞推步驟的證明過程中，突出兩個湊字：一“湊”假設；二“湊”結論關鍵是明確nk1時證明的目標，充分考慮用由nk到nk1時，命題形式之間的區(qū)別與聯(lián)系二、用數(shù)學歸納法證明不等式求證：當nn，n2時，.思路分析：本題為與正整數(shù)n有關的不等式，可結合不等式的性質加以變形已知sn1(n1，nn)，求證：s2n1(n2，nn)1.數(shù)學歸納法僅適用于與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的證明2應用數(shù)學歸納法證題時，關鍵是利用歸納假設證明nk1時的命題，要證好這一步，須明確以下兩點：一是明確要證明的結論，二是明確nk1時命題與歸納假設的區(qū)別(即nk1時比nk時增加了哪些項)明確了這兩點也就明確了這一步的證明方向三、用數(shù)學歸納法證明幾何問題及整除性問題平面上有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點求證：這n個圓把平面分成f(n)n2n2個部分思路分析：假設nk時，k個圓把平面分成f(k)k2k2個部分，那么當nk1時，平面上第k1個圓與前面k個圓有2k個交點，這2k個交點將第k1個圓分成2k段，分別將各自所在區(qū)域一分為二，故增加了2k個部分求證：當nn時，an1(a1)2n1能被a2a1整除用數(shù)學歸納法證明幾何問題或整除性問題，均是實際問題的證明，這時要根據(jù)實際分析出從“nk”轉化到“nk1”時的變化規(guī)律答案：活動與探究1：證明：(1)當n1時，左邊1，右邊，等式成立(2)假設當nk(k1)時等式成立，即1，那么當nk1時，左邊1.即當nk1時，等式成立根據(jù)(1)(2)可知，對任意的nn，等式都成立遷移與應用：1b解析：當n1時，左邊1aa2，即從1到a11的和2證明：(1)當n1時，左邊12223，右邊(1)(211)3，左邊右邊，等式成立(2)假設當nk(k1)時等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)則當nk1時，左邊12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2(2k1)(k1)4(k1)2(k1)2k14(k1)(k1)(2k3)(k1)2(k1)1右邊當nk1時，等式成立由(1)(2)可知對任意的正整數(shù)n，等式都成立活動與探究2：證明：(1)當n2時，不等式成立(2)假設nk(k2)時不等式成立，即.那么當nk1時，.當nk1時，不等式成立根據(jù)(1)(2)可知，nn，n2時不等式成立遷移與應用：證明：(1)當n2時，s2ns411，即當n2時，命題成立(2)假設當nk(k2)時，命題成立，即s2k11.當nk1時，s2k111111.故當nk1時，命題成立根據(jù)(1)(2)知，對nn，n2，不等式s2n1成立活動與探究3：證明：(1)當n1時，即一個圓把平面分成2個部分，又n1時，n2n22，命題成立(2)假設nk時，命題成立，即k個圓把平面分成f(k)k2k2個部分，那么設第k1個圓記作o，由題意，它與k個圓中每個圓交于兩點，又無三圓交于同一點，于是它與其他k個圓相交于2k個點把o分成2k條弧，而每條弧把原區(qū)域分成2塊，因此這個平面的總區(qū)域增加2k塊，即f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.即nk1時命題成立由(1)(2)可知，對任何nn命題均成立遷移與應用：證明：(1)當n1時，a11(a1)211a2a1，命題成立(2)假設nk(k1)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除當nk1時，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由歸納假設，上式中的兩項均能被a2a1整除故當nk1時，命題成立由(1)(2)知，對nn，命題成立1用數(shù)學歸納法證明“2nn21對于nn0的自然數(shù)n都成立”時，第一步證明中的初始值n0應取()a2 b3 c5 d62用數(shù)學歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nn)，從“k”到“k1”左端需增乘的代數(shù)式為()a2k1 b2(2k1) c. d.3若f(n)1(nn)，則當n1時，f(n)是()a1 b. c1 d以上都不對4用數(shù)學歸納法證明1n(nn且n1)第一步要證明的不等式是_，從nk到nk1時，左端增加了_項5用數(shù)學歸納法證明(nn)答案：1b解析：要逐一驗證當n5時，25521，n05.2b解析：當nk時，代數(shù)式為(k1)(k2)(kk)當nk1時，代數(shù)式為(k2)(k3)(kk1)(k1)(k2)(kk).3b解析：當n1時，f(1)應是從1到的和，即1.4122k解析：當n2時，12.當nk時到第2k1項，而nk1時到