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文檔簡介
教學目標:使學生掌握一元二次方程實根分布問題的處理,加強求解一元二次不等式及不等式組,初步訓練學生的數(shù)形結合能力。教學重點:利用二次函數(shù)的圖象,把一元二次方程根的分布圖形問題代數(shù)表達式(不等式組)參數(shù)取值范圍。教學難點:圖形問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)表達式(不等式組)并求解。一、問題的提出若方程的兩根均為正數(shù),求實數(shù)m的取值范圍.變式1:兩根一正一負時情況怎樣?變式2:兩實根均大于5時情況又怎樣?問題:能否從二次函數(shù)圖形角度去觀察理解?若能試比較兩種方法的優(yōu)劣.方程的實根,如若從二次函數(shù)圖形角度去觀察理解,其實質(zhì)就是對應的二次函數(shù) 的拋物線與軸交點的橫坐標. 一元二次方程實根分布,實質(zhì)上就是方程的根與某些確定的常數(shù)大小關系比較. 二、一元二次方程實根分布w W w . X k b 1.c O m仿上完成下表一元二次方程實根分布圖解根的分部圖象等價的代數(shù)不等式三、練習1.m為何實數(shù)時,方程的兩根都在-1與1之間.2、若方程的兩根中,一根小于0,另一根大于2,求a的取值范圍.四、小結基本類型與相應方法:X|k | B| 1 . c |O |m設 ,則方程的實根分布的基本類型及相應方法如下表:1兩實根都小于X kB1.cOM2兩實根都大于3兩實根都在內(nèi)4兩實根都在外 5兩根中有且只有一根在內(nèi)五作業(yè):1關于的一元二次方程的一根大于1,另一根小于1.則的值是()(A)或(B)(C)(D)2方程為常數(shù))有兩實根,且,那么的取值范圍是()(A)(B)(C)或(D)無解3設是整數(shù),且方程的兩根都大于而小于,則 .4.若關于的方程的所有根都是比1小的正實數(shù),則實數(shù)的取值范圍是 x k b 1 . c o m5. 方程的一根不大于1,另一根不小于1.試求:(1)參數(shù)的取值范圍;(2)方程兩根的平方和的最大值和最小值.第二課時一元二次方程實數(shù)根分布的應用一復習填空:根的分部圖象等價的代數(shù)不等式二、例子例1 已知實數(shù)、滿足,求的取值范圍.解 由已知得且.所以是一元二次方程的兩根. 由問題可轉(zhuǎn)化為方程的二根都大于.令,有 即 ,求得,因此.例2已知點、.若拋物線與線段(不包括端點及)有兩個不同的交點,則的取值范圍是 . (1997年上海市高中數(shù)學競賽) 解: 顯然直線的方程為即,代入拋物線方程并整理得.設,問題轉(zhuǎn)化函數(shù)的圖象和軸在0到4之間有兩個不同的交點,即方程在上有兩個不相等的實根. 所以 解得的取值范圍是.例3關于的實系數(shù)二次方程的兩個實數(shù)根為,證明:如果,那么且;如果 且,那么.(1993年全國高考題) 證明 設,由已知,函數(shù)的圖象與軸在到2之間有兩個不同的交點. 所以 由(3)、(4)得,所以. 由(2),得,結合(1)得,所以. 將(3)+(4)得,因此,即. 由于且,可得,所以,. 即函數(shù)的圖象的對稱軸位于兩條直線,之間. 因為, .所以. 因此函數(shù)的圖象與軸的交點位于-2和2之間,即.作業(yè)1已知拋物線為實數(shù).為何值時,拋物線與軸的兩個交點都位于點的右側(cè)?2已知都是正整數(shù),且拋物線與軸有兩個不同的交點A、B.若A、B到原點的距離都小于1,求的最小值.第三課時 應用提高例1若方程在上有實根,求實數(shù)的取值范圍.解法一:方程在上有實根,即方程在上有實根,設,則根據(jù)函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標等價于方程的根.(1)兩個實根都在上,如圖: 可得,解得;(2)只有一個實根在上,如圖:可得,解得,綜合(1)與(2)可得實數(shù)的取值范圍為解法二:方程在上有實根,即存在,使得等式成立,要求的取值范圍,也即要求函數(shù)的值域.設,則,可得.解法三:令則,則方程在上有實根,等價于方程組在上有實數(shù)解,也即等價于拋物線與直線在上有公共點,如圖所示 y -1 o 1 x直觀可得:.解法四:根據(jù)解法三的轉(zhuǎn)化思想,也可將原方程化成,然后令,從而將原問題等價轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在上有公共點時,“數(shù)形結合法”下去求參數(shù)的取值范圍.根據(jù)圖形直觀可得:當直線過點,新 課 標 第 一 網(wǎng)截距最大;當直線與拋物線相切時,截距最小.且.故參數(shù)的取值范圍為.2已知實數(shù)、滿足,其中為正數(shù).對于.w w w .x k b 1.c o m(1)若,求證:;(2) 若,證明方程在內(nèi)有實根.證明 (1)由,求得,所以 又由,因此,故. (2)要證明方程在內(nèi)有實根,只須證明 或 但兩者都不易證明. 由,結合第
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