北師大版必修五 第二章 §1　正弦定理與余弦定理 學(xué)案.docx

1 正弦定理與余弦定理1.1 正弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.2.能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問題.3.掌握用兩邊夾角求三角形面積知識(shí)點(diǎn)一 正弦定理思考1 如圖，在rtabc中，分別等于什么？答案 c.思考2 在一般的abc中，還成立嗎？答案 在一般的abc中，仍然成立梳理 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即，這就是正弦定理特別提醒：正弦定理的特點(diǎn)(1)適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立；(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長(zhǎng)，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式；(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化知識(shí)點(diǎn)二 用兩邊夾角表示的三角形面積公式思考 在知識(shí)點(diǎn)一中，我們知道邊ab上的高cdbsin aasin b那么abc的面積如果用bsin a或asin b代替cd，會(huì)出現(xiàn)什么形式？答案 sabcabcdcbsin acasin b.梳理 一般地，三角形面積等于兩邊及夾角正弦乘積的一半，即sabcabsin cbcsin aacsin b.知識(shí)點(diǎn)三 解三角形一般地，把三角形的三個(gè)角a，b，c和它們的對(duì)邊a，b，c叫作三角形的元素已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫作解三角形1對(duì)任意abc，都有.()2任意給出三角形的三個(gè)元素，都能求出其余元素()3在abc中，已知a，b，a，則三角形有唯一解()類型一 正弦定理的證明例1 在鈍角abc中，證明正弦定理考點(diǎn) 正弦定理及其變形應(yīng)用題點(diǎn) 正弦定理的理解證明 如圖，過c作cdab，垂足為點(diǎn)d，d是ba延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義知，sincadsin(180a)sin a，sin b.cdbsin aasin b，.同理，.故.反思與感悟 用正弦函數(shù)定義溝通邊與角內(nèi)在聯(lián)系，充分挖掘這些聯(lián)系可以使我們理解更深刻，記憶更牢固跟蹤訓(xùn)練1 如圖，銳角abc的外接圓o半徑為r，角a，b，c對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，證明：2r.考點(diǎn) 正弦定理及其變形應(yīng)用題點(diǎn) 正弦定理的理解證明 連接bo并延長(zhǎng)，交外接圓于點(diǎn)a，連接ac，則圓周角aa.ab為直徑，長(zhǎng)度為2r，acb90，sin a，sin a，即2r.類型二 已知兩角及一邊解三角形例2 在abc中，已知a30，b60，a10，解三角形考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩角及一邊解三角形解 根據(jù)正弦定理，得b10.又c180(3060)90，c20.反思與感悟 (1)正弦定理實(shí)際上是三個(gè)等式：，每個(gè)等式涉及四個(gè)元素，所以只要知道其中的三個(gè)就可以求另外一個(gè)(2)因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180，所以已知兩角一定可以求出第三個(gè)角跟蹤訓(xùn)練2 在abc中，已知a18，b60，c75，求b的值考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩角及一邊解三角形解 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得a180(bc)180(6075)45，根據(jù)正弦定理，得b9.類型三 已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形例3 在abc中，已知c，a45，a2，解三角形考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形解 ，sin c，c(0，180)，c60或c120.當(dāng)c60時(shí)，b75，b1；當(dāng)c120時(shí)，b15，b1.b1，b75，c60或b1，b15，c120.引申探究若把本例中的條件“a45”改為“c45”，則角a有幾個(gè)值？解 ，sin a.c2a，ca.a為小于45的銳角，且正弦值為，這樣的角a只有一個(gè)反思與感悟 已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一邊所對(duì)的角的正弦值，若這個(gè)角不是直角，當(dāng)已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，當(dāng)已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷，此時(shí)就有兩組解，再分別求解即可；然后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；最后根據(jù)正弦定理求出第三條邊跟蹤訓(xùn)練3 在abc中，若a，b2，a30，則c .考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形答案 105或15解析 由正弦定理，得sin b.b(0，180)，b45或135，c1804530105或c1801353015.1. 在abc中，一定成立的等式是( )aasin absin b bacos abcos bcasin bbsin a dacos bbcos a考點(diǎn) 正弦定理及其變形應(yīng)用題點(diǎn) 正弦定理的變形應(yīng)用答案 c解析 由正弦定理，得asin bbsin a，故選c.2在abc中，sin asin c，則abc是( )a直角三角形 b等腰三角形 c銳角三角形 d鈍角三角形考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 利用正弦定理進(jìn)行邊角互化解三角形答案 b解析 由sin asin c及正弦定理，知ac，abc為等腰三角形3在abc中，已知a8，b60，c75，則b等于( )a4 b4 c4 d4考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩角及一邊解三角形答案 c解析 易知a45，由，得b4.4在abc中，a，b，b，則a .考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形答案 或解析 由正弦定理，得sin a，又a(0，)，ab，ab，a或.5已知在abc中，邊a，b，c的對(duì)角分別為a，b，c，且a，c，c，則abc的面積s .考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 用正弦定理求面積答案 解析 由正弦定理知，sin aa.由ac，得a0)2. 正弦定理的應(yīng)用范圍：(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和其余一角(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其余兩角3. 已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法：(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角，由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求唯一銳角(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角，要分類討論一、選擇題1在abc中，a5，b3，則sin asin b的值是( )a. b. c. d.考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 利用正弦定理進(jìn)行邊角互化解三角形答案 a解析 根據(jù)正弦定理，得.2在abc中，absin a，則abc一定是( )a銳角三角形 b直角三角形 c鈍角三角形 d等腰三角形考點(diǎn) 正弦定理及其變形應(yīng)用題點(diǎn) 正弦定理的變形應(yīng)用答案 b解析 由題意有b，則sin b1，又b(0，)，故角b為直角，故abc是直角三角形3在abc中，若，則c的值為( )a30 b45 c60 d90考點(diǎn) 正弦定理及其變形應(yīng)用題點(diǎn) 正弦定理的變形應(yīng)用答案 b解析 由正弦定理知，cos csin c，tan c1，又c(0，)，c45，故選b.4在abc中，若a105，b45，b2，則c等于( )a1 b2 c. d.考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩角及一邊解三角形答案 b解析 a105，b45，c30.由正弦定理，得c2.5在abc中，a15，b10，a60，則cos b等于( )a b. c d.考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩邊及其中一邊對(duì)角解三角形答案 d解析 由正弦定理，得，sin b.ab，ab，又a60，b為銳角，cos b .6在abc中，已知a，a，b1，則c的值為( )a1 b2 c.1 d.考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形答案 b解析 由正弦定理，可得，sin b，由ab，得ab，b，b.故c，由勾股定理得c2.7在abc中，b，bc邊上的高為bc，則sin a等于( )a. b. c. d.考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 正弦定理解三角形綜合答案 d解析 如圖，設(shè)bc邊上的高為ad，不妨令ad1.由b，知bd1.又adbcbd，dc2，ac.由正弦定理知，sinbac3.8在abc中，若a60，b45，bc3，則ac等于( )a4 b2c. d.考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩角及一邊解三角形答案 b解析 由正弦定理，得，即，所以ac2，故選b.二、填空題9在abc中，若c2b，則的取值范圍為 考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 利用正弦定理、三角變形解三角形答案 (1,2)解析 因?yàn)閍bc，c2b，所以a3b0，所以0b，所以cos b1.因?yàn)?cos b，所以12cos b2，故1b.則下列三個(gè)不等式中成立的是 sin asin b；cos acos acos b.考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 利用正弦定理、三角變形解三角形答案 解析 ababsin asin b，故成立函數(shù)ycos x在區(qū)間0，上是減函數(shù)，ab，cos a，0basin，即sin acos b，同理sin bcos a，故成立三、解答題12已知在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，c10，a45，c30，求a，b和b.考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩角及一邊解三角形解 ，a10.b180(ac)180(4530)105.又，b20sin 75205()13在abc中，a60，a4，b4，求b.考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形解 由正弦定理，得sin b，ab，ab，b只有一解，b45.四、探究與拓展14在abc中，內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，ax，b2，b45.若abc有兩解，則x的取值范圍是( )a(2，) b(0,2) c(2,2) d(，2)考點(diǎn) 用正弦定理解三角形題點(diǎn) 已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形答案 c解析 因?yàn)閍bc有兩解，所以asin bba，即xsin 452x，所以2x2，故選c.15已知下列各三角形中的兩邊及其中一邊的對(duì)角，判斷三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，