函數(shù)的單調(diào)性.pptVIP

1 3 1函數(shù)的單調(diào)性 觀察下列各個函數(shù)的圖象 并說說它們分別反映了相應函數(shù)的哪些變化規(guī)律 1 觀察這三個圖象 你能說出圖象的特征嗎 2 隨x的增大 y的值有什么變化 f x x3 x y 0 f x x x y 0 x y 0 f x x2 圖1 圖2 圖3 觀察下面三個函數(shù)圖象的變化特點 y x3 顯然有 在R上任意取兩個值x1 x2當x1 x2時 都有f x1 f x2 f x x 顯然有 即在R上任意取兩個值x1 x2當x1 x2時 都有f x1 f x2 1 在 0 上取x 3 x 2 x 1 則f 3 9 f 2 4 f 1 1 顯然有 2 在 0 上取x 0 x 1 x 2 則f 0 0 f 1 1 f 2 4 顯然有 即在 0 上任意取兩個值x3 x4當x3 x4時 即在 0 上任意取兩個值x1 x2當x1 x2時 f x x2 都有f x1 f x2 都有f x3 f x4 一 問題提出 思考1 分別作出的圖像 并且觀察自變量變化時 函數(shù)值有什么變化規(guī)律 思考2 能否根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù) 什么是減函數(shù) 1 如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨著自變量x的增大 y也越來越大 我們就說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù) 2 如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨著自變量x的增大 y越來越小 我們就說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù) 二 新知探究 解析法 圖像法 通俗語言 在區(qū)間 0 上 隨著x的增大 相應的f x 也隨著增大 數(shù)學語言 在區(qū)間 0 上 任取 得當時 有 這時我們就說函數(shù)在區(qū)間 0 上是增函數(shù) 列表法 0 y x1 x2 f x2 f x1 0 y x1 x2 f x2 f x1 x x 從左至右 圖象上升 從左至右 圖象下降 y隨x的增大而增大 y隨x的增大而減小 當x1 x2時 f x1 f x2 當x1 x2時 f x1 f x2 那么就說在f x 在區(qū)間D上是單調(diào)減函數(shù) D稱為f x 的單調(diào)減區(qū)間 由此得出單調(diào)增函數(shù)和單調(diào)減函數(shù)的定義 x 那么就說f x 在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù) D稱為f x 的單調(diào)區(qū)間 增 當x1 x2時 都有f x1 f x2 當x1 x2時 都有f x1 f x2 單調(diào)區(qū)間 2 函數(shù)單調(diào)性是針對某個區(qū)間而言的 是一個局部性質(zhì) 1 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù) 那么就說函數(shù)y f x 在區(qū)間I上具有單調(diào)性 在單調(diào)區(qū)間上 增函數(shù)的圖象是上升的 減函數(shù)的圖象是下降的 注意 判斷1 函數(shù)f x x2在上是單調(diào)增函數(shù) 判斷2 定義在R上的函數(shù)f x 滿足f 2 f 1 則函數(shù)f x 在R上是增函數(shù) 3 x1 x2取值的任意性 判斷題 1 已知f x 因為f 1 f 2 所以函數(shù)f x 是增函數(shù) 2 若函數(shù)f x 滿足f 2 f 3 則函數(shù)f x 在區(qū)間 2 3 上為增函數(shù) 3 若函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 和 2 3 上均為增函數(shù) 則函數(shù)f x 在 1 3 上為增函數(shù) 4 因為函數(shù)f x 在區(qū)間 0 和 0 上都是減函數(shù) 所以f x 在 0 0 上是減函數(shù) 例1 下圖是定義在區(qū)間 5 5 上的函數(shù)y f x 根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 以及在每個區(qū)間上 它是增函數(shù)還是減函數(shù) 解 函數(shù)y f x 的單調(diào)區(qū)間有 其中y f x 在區(qū)間上是減函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù) 5 2 2 1 1 3 3 5 5 2 和 1 3 2 1 和 3 5 例2 畫出下列函數(shù)圖像 并寫出單調(diào)區(qū)間 數(shù)缺形時少直觀 討論1 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義 討論2 在和上的單調(diào)性 解 函數(shù)的圖象如右圖所示 變式2 討論的單調(diào)性 變式1 討論的單調(diào)性 例2 畫出下列函數(shù)圖像 并寫出單調(diào)區(qū)間 的對稱軸為 返回 例2 物理學中的玻意耳定律告訴我們 對于一定量的氣體 當其體積V減小時 壓強p將增大 試用函數(shù)的單調(diào)性證明之 證明 根據(jù)單調(diào)性的定義 設V1 V2是定義域 0 上的任意兩個實數(shù) 且V1 V2 則 由V1 V2 0 且V10 V2 V1 0 又k 0 于是 所以 函數(shù)是減函數(shù) 也就是說 當體積V減少時 壓強p將增大 取值 定號 結論 例2 1 證明函數(shù)f x 3x 2在R上是減函數(shù) 證明 設x1 x2是R上的任意兩個實數(shù) 且x1 x2 f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 3 x2 x1 由x1 x2 得x2 x1 0 于是f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以 函數(shù)f x 3x 2在R上是減函數(shù) 2 證明函數(shù)在區(qū)間 0 上為增函數(shù) 設x1 x2是 0 上的任意兩個實數(shù) 且0 x1 x2 則 由0 x1 x2得且 于是f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以函數(shù)在區(qū)間 0 上為增函數(shù) 取值 作差 變形 定號 判斷 證明 例3 寫出f x x2 4x 5的單調(diào)遞增區(qū)間 并證明 證明 所以f x x2 4x 5的單調(diào)遞增區(qū)間為 2 2 通過觀察函數(shù)圖象 對函數(shù)是否具有某種性質(zhì)作出一種猜想 然后通過推理的方法 證明這種猜想的正確性 這是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的一種常用數(shù)學方法 即先猜后證 1 5 例3 判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性 證明 在區(qū)間上任取兩個值且 則 且 所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) 取值 作差 變形 定號 結論 三 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 1任取x1 x2 D 且x1 x2 2作差f x1 f x2 3變形 通常是因式分解和配方 4定號 即判斷差f x1 f x2 的正負 5下結論 即指出函數(shù)f x 在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性 利用定義證明函數(shù)f x 在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟 2 在區(qū)間 0 上是增函數(shù)的是 1 求證函數(shù)y x3在R上是增函數(shù) 練習 問題1函數(shù)f x x2 在 0 上是減函數(shù) 在 0 上是增函數(shù) 當x 0時 f x f 0 x 0時 f x f 0 從而x R 都有f x f 0 因此x 0時 f 0 是函數(shù)值中的最小值 問題2函數(shù)f x x2 同理可知x R 都有f x f 0 即x 0時 f 0 是函數(shù)值中的最大值 函數(shù)最大值定義 一般地 設函數(shù)y f x 的定義域為I 如果存在實數(shù)M 滿足 1 對于任意x I 都有f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M 那么 稱M是函數(shù)y f x 的最大值 函數(shù)最小值定義 一般地 設函數(shù)y f x 的定義域為I 如果存在實數(shù)M 滿足 1 對于任意x I 都有f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M 那么 稱M是函數(shù)y f x 的最小值 2 函數(shù)最大 小 值應該是所有函數(shù)值中最大 小 的 即對于任意的x I 都有f x M f x M 注意 1 函數(shù)最大 小 值首先應該是某一個函數(shù)值 即存在x0 I 使得f x0 M 例1 設f x 是定義在區(qū)間 6 11 上的函數(shù) 如果f x 在區(qū)間 6 2 上遞減 在區(qū)間 2 11 上遞增 畫出f x 的一個大致的圖象 從圖象上可以發(fā)現(xiàn)f 2 是函數(shù)f x 的一個 例3 菊花 煙花是最壯觀的煙花之一 制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂 如果在距地面高度hm與時間ts之間的關系為 h t 4 9t2 14 7t 18 那么煙花沖出后什么時候是它的爆裂的最佳時刻 這時距地面的高度是多少 精確到1m 解 作出函數(shù)h t 4 9t2 14 7t 18的圖象 如圖 顯然 函數(shù)圖象的頂點就是煙花上升的最高點 頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻 縱坐標就是這時距地面的高度 由二次函數(shù)的知識 對于h t 4 9t2 14 7t 18 我們有 于是 煙花沖出后1 5秒是它爆裂的最佳時刻 這時距地面的高度為29m 例4 求函數(shù)在區(qū)間 2 6 上的最大值和最小值 解 設x1 x2是區(qū)間 2 6 上的任意兩個實數(shù) 且x1 x2 則 由于20 x1 1 x2 1 0 于是 所以 函數(shù)是區(qū)間 2 6 上的減函數(shù) 因此 函數(shù)在區(qū)間 2 6 上的兩個端點上分別取得最大值和最小值 即在點x 2時取最大值 最大值是2 在x 6時取最小值 最小值為0 4 二 利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大 小 值的方法 1 利用二次函數(shù)的性質(zhì) 配方法 求函數(shù)的最大 小 值 2 利用圖象求函數(shù)的最大 小 值 3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大 小 值 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上單調(diào)遞增 則函數(shù)y f x 在x a處有最小值f a 在x b處有最大值f b 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上單調(diào)遞減 在區(qū)間 b c 上單調(diào)遞增則函數(shù)y f x 在x b處有最小值f b 練一練 試用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù) 返回 是定義在R上的單調(diào)函數(shù) 且的圖象過點A 0 2 和B 3 0 1 解方程 2 解不等式 3 求適合的的取值范圍 思考 成果運用 若二次函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 則a的取值情況是 變式1 若二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 求a的取值范圍 A B C D 成果運用 若二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 求a的取值范圍 解 二次函數(shù)的對稱軸為 由圖象可知只要 即即可 數(shù)與形 本是相倚依 焉能分作兩邊飛 數(shù)無形時少直覺 形少數(shù)時難入微 數(shù)形結合百般好 隔離分家萬事休 切莫忘 幾何代數(shù)統(tǒng)一體 永遠聯(lián)系莫分離 華羅庚 謝謝指導 例5 證明函數(shù)上是增函數(shù) 例6 證明函數(shù)在R上是增函數(shù) 證明 任取 例7 證明函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù) 思考 1 如果函數(shù)f x 在區(qū)間D上是增函數(shù) 函數(shù)g x 在區(qū)間D上是增函數(shù) 問 函數(shù)F x f x g x 在D上是否仍為增函數(shù) 為什么 所以函數(shù)F x f x g x 在D上是否仍為增函數(shù) 是 2 如果函數(shù)f x 在區(qū)間D上是減函數(shù) 函數(shù)g x 在區(qū)間D上是減函數(shù) 問 函數(shù)F x f x g x 在D上是否仍為減函數(shù) 為什么 3 如果函數(shù)f x 在區(qū)間D上是減函數(shù) 函數(shù)g x 在區(qū)間D上是增函數(shù) 問 能否確定函數(shù)F x f x g x 的單調(diào)性 反例 f x x在R上是增函數(shù) g x x在R上是減函數(shù)此時F x f x g x x x 0為常函數(shù) 不具有單調(diào)性 不能 是 小結 同增異減 研究函數(shù)的單調(diào)性 首先考慮函數(shù)的定義域 要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的某個區(qū)間 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 減函數(shù) 減函數(shù) 減函數(shù) 減函數(shù) 減函數(shù) 減函數(shù) 復合函數(shù)單調(diào)性 注 1 復合函數(shù)y f g x 的單調(diào)區(qū)間必須是其定義域的子集2 對于復合函數(shù)y f g x 的單調(diào)性是由函數(shù)y f u 及u g x 的單調(diào)性確定的且規(guī)律是 同增 異減 例1 設y f x 的單增區(qū)間是 2 6 求函數(shù)y f 2 x 的單調(diào)區(qū)間 小結 在求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間時必須注意單調(diào)區(qū)間是定義域的某個區(qū)間 小結 考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性要先考慮函數(shù)的定義域 在定義