經(jīng)典高等數(shù)學(xué)ppt課件.ppt

1 請默寫 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式 2 回顧 3 第七節(jié) 一 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性 二 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 三 正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 第十二章 傅里葉級數(shù) 4 傅里葉簡介 1768 1830 法國數(shù)學(xué)家 物理學(xué)家 他出身平民家庭 父親是位裁縫 9歲時父母雙亡 他被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng) 12歲時主教送他到鎮(zhèn)上的軍校讀書 表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)的特殊愛好 之后 他想當(dāng)炮兵或工程兵 但因家庭地位低貧而遭拒絕 1789年回到家鄉(xiāng)奧賽爾的母校教書 傅里葉因熱心地方的公益事務(wù)而知名 還曾因替當(dāng)時恐怖行為的受害人申辯而入獄 出獄后 他又去巴黎師范讀書 為期甚短 但他的數(shù)學(xué)才華給人以深刻的印象 1795年 正好成立一個新學(xué)校 巴黎綜合工科學(xué)校 即被任命為拉格朗日 蒙日的助教從事教學(xué)工作 這一年還被諷刺性地作為恐怖分子的支持者再次入獄 后經(jīng)同事營救而 5 釋 1798年 蒙日把他推薦給拿破侖遠(yuǎn)征埃及 任軍中文書和埃及研究院秘書 并從事外交活動 但同時他仍不斷進(jìn)行個人的業(yè)余研究 即數(shù)學(xué)物理方面的研究 1801年回國后 傅里葉希望繼續(xù)在巴黎綜合工科學(xué)校教書 但因拿破侖賞識他的行政才能 任命他為伊澤爾地區(qū)首府格列諾布爾的高級官員 由于政績卓著 1808年拿破侖又授予他男爵稱號 1815傅里葉終于辭去爵位與官職 毅然返回巴黎以圖全力投入學(xué)術(shù)研究 后來 隨著政治局勢的動蕩 也幾經(jīng)沉浮 當(dāng)傅里葉處于一生中最艱難的時期時 得到了昔日同事與學(xué)生的關(guān)懷 為他謀得統(tǒng)計(jì)局主管之職 使他在工作之余有時間繼續(xù)從事研究 1816年 傅里葉被提名為法國科學(xué)院的成員 開始因 6 他曾效力過拿破侖而被路易18所據(jù) 后來 事實(shí)澄清 于1817年就職科學(xué)院 其聲譽(yù)又隨之迅速上升 他的任職得到了拉普拉斯的支持 卻不斷受到泊松的反對 1822年 終于成為科學(xué)院的終身秘書 這是極有權(quán)利的職位 傅里葉一生為人正直 他曾對許多年輕的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家給予無私的支持和幫助 人緣極好 從而得到他們的忠誠愛戴 并成為他們的至交好友 如 奧斯特 狄里克雷 阿貝爾等 傅里葉的主要成就在于他的熱傳導(dǎo)問題的研究 以及使用的數(shù)學(xué)方法 他的著作 熱的解析理論 1822 是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級數(shù)和三角積分 他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分 他深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題最卓越的工具 7 一 問題的提出 簡單的周期運(yùn)動 諧波函數(shù) A為振幅 復(fù)雜的周期運(yùn)動 令 得函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 為角頻率 諧波迭加 稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù) 8 二 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性 1 三角級數(shù)的定義 其中都是常數(shù) 2 三角函數(shù)系的正交性 1 三角函數(shù)系的定義 組成三角級數(shù)的函數(shù)系 2 三角函數(shù)系的正交性 正交 上的積分等于0 即其中任兩個不同的函數(shù)之積在 9 證 同理可證 10 上的積分不等于0 且 但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在 11 三 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 問題 1 若能展開為三角級數(shù) 怎樣確定 與f x 有何關(guān)系 2 展開的條件是什么 收斂時其和函數(shù)是f x 嗎 收斂嗎 12 定理1 設(shè)f x 是周期為2 的周期函數(shù) 且 若右端級數(shù)可逐項(xiàng)積分 則有 1 傅里葉系數(shù)及傅里葉級數(shù) 13 14 15 16 傅里葉系數(shù) 以 的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) 的傅里葉級數(shù) 稱為 歐拉公式 17 歐拉公式 問題 條件 18 2 收斂定理 狄利克雷Dirichlet充分條件 定理2 收斂定理 展開定理 設(shè)f x 是周期為2 的 周期函數(shù) 并滿足狄利克雷 Dirichlet 條件 x為f x 的間斷點(diǎn) x為f x 的連續(xù)點(diǎn) 注意到 函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多 19 若f x 的圖形 則S x 的圖形 20 注意 1 請熟記收斂定理的條件與結(jié)論 條件 1 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn) 2 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點(diǎn) f x 的傅里葉級數(shù)處處收斂 且有和函數(shù) 結(jié)論 x為f x 的間斷點(diǎn) x為f x 的連續(xù)點(diǎn) 設(shè)f x 是周期為2 的周期函數(shù) x為f x 的連續(xù)點(diǎn)時 21 2 f x 的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)S x 與f x 的關(guān)系 1 S x 與f x 的定義域相同 2 S x 與f x 的周期性相同 周期相等 但函數(shù)值不一定相等 x為f x 的連續(xù)點(diǎn)時 3 將周期為2 的周期函數(shù)f x 展開為傅氏級數(shù)的步驟 第一步 判斷f x 是否滿足收斂定理的條件并 確定f x 的間斷點(diǎn) 最好做出的圖形 第二步 計(jì)算f x 的傅里葉系數(shù) 用歐拉公式 第三步 寫出f x 的傅氏級數(shù) 并注明等式成立的范圍 22 例1 設(shè)f x 是周期為2 的周期函數(shù) 它在 上的表達(dá)式 解 如圖 23 例1 設(shè)f x 是周期為2 的周期函數(shù) 它在 上的表達(dá)式 和函數(shù)如圖 24 例1 設(shè)f x 是周期為2 的周期函數(shù) 它在 上的表達(dá)式 25 例1 設(shè)f x 是周期為2 的周期函數(shù) 它在 上的表達(dá)式 26 1 根據(jù)收斂定理可知 時 級數(shù)收斂于 2 傅氏級數(shù)的部分和逼近 說明 f x 的情況見右圖 27 注意 作法 28 延拓前 延拓后 周期延拓 其它 傅里葉展開 上的傅里葉級數(shù) 29 例2 將函數(shù) 則 解 將f x 延拓成以 展成傅里葉級數(shù) 2 為周期的函數(shù)F x F x 滿足收斂定理的條件 且在整個實(shí)數(shù)范圍內(nèi)連續(xù) 30 所求函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為 31 利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和 當(dāng)x 0時 f 0 0 得 說明 32 設(shè) 已知 又 33 解 92考研 在 處收斂于 34 則 例4 設(shè) 提示 03考研 回顧 多次分部積分的公式及規(guī)律 特別 當(dāng)u為n 1次多