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文檔簡介
全等三角形作輔助線經(jīng)典例題常見輔助線的作法有以下幾種:1) 遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一”的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線,倍長中線,使延長線段與原中線長相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”,所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”;(遇垂線及角平分線時(shí)延長垂線段,構(gòu)造等腰三角形)5) 截長法與補(bǔ)短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長,是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法:在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí),常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來,利用三角形面積的知識解答一、倍長中線(線段)造全等1:已知,如圖ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是_.2:如圖,ABC中,E、F分別在AB、AC上,DEDF,D是中點(diǎn),試比較BE+CF與EF的大小.3:如圖,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中點(diǎn),求證:AD平分BAE.中考應(yīng)用1、以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt,連接DE,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究:AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系(1)如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí),AM與DE的位置關(guān)系是 ,線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ;(2)將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0AD+AE.五、旋轉(zhuǎn)1:正方形ABCD中,E為BC上的一點(diǎn),F(xiàn)為CD上的一點(diǎn),BE+DF=EF,求EAF的度數(shù). 2:D為等腰斜邊AB的中點(diǎn),DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。(1)當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證DE=DF。(2)若AB=2,求四邊形DECF的面積。3.如圖,是邊長為3的等邊三角形,是等腰三角形,且,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角,使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,則的周長為 ;中考應(yīng)用:1、已知四邊形中,:,繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交(或它們的延長線)于(1)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)(如圖1),易證(2)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí),在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,線段,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,不需證明(圖1)(圖2)(圖3)2、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為外一點(diǎn),且,BD=DC. 探究:當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系圖1 圖2 圖3(I)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上,且DM=DN時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ; 此時(shí) ; (II)如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上,且當(dāng)DMDN時(shí),猜想(I)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎?寫出你的猜想并加以證明; (III) 如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí),若AN=,則Q= (用、L表示)六、構(gòu)造全等例1: 已知:如圖,在RtABC中,ACB=90,AC=BC,D為BC的中點(diǎn),CEAD于E,交AB于F,連接DF求證:ADC=BDF2如圖,ABC中,AB=AC,過點(diǎn)A作GEBC,角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H,它們的延長線分別交GE于點(diǎn)E、G試在圖10中找出3對全等三角形,并對其中一對全等三角形給出證明 3已知ABC,AB=AC,E、F分別為AB和AC延長線上的點(diǎn),且BE=CF,EF交BC于G求證:EG=GF 4 已知:ABC中,BD=CD,12求證:AD平分BAC說明:遇到有關(guān)角平分線的問題時(shí),可引角的兩邊的垂線,先證明三角形全等,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出垂線段相等,再利用角的平分線性質(zhì)得出兩角相等(2)利用角的平分線構(gòu)造全等三角形:過角平分線上一點(diǎn)作兩邊的垂線段練習(xí):如圖22,ABCD,E為AD上一點(diǎn),且BE、CE分別平分ABC、BCD求證:AE=ED以角的平分線為對稱軸構(gòu)造對稱圖形例: 如圖,在ABC中,AD平分BAC,C=2B求證:AB=AC+CD分析:由于角平分線所在的直線是這個(gè)角的對稱軸,因此在AB上截取AE=AC,連接DE,我們就能構(gòu)造出一對全等三角形,從而將線段AB分成AE和BE兩段,只需證明BE=CD就可以了延長角平分線的垂線段,使角平分線成為垂直平分線例: 如圖,在ABC中,AD平分BAC,CEAD于E求證:ACE=B+ECD分析:注意到AD平分BAC,CEAD,于是可延長CE交AB于點(diǎn)F,即可構(gòu)造全等三角形(3)利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形如圖,在ABC中,AD平分BAC,過點(diǎn)D作DEAB,DE交AC于點(diǎn)E易證AED是等腰三角形因此,我們可以過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線,構(gòu)造等腰三角形 例 如圖,在ABC中,AB=AC,BD平分ABC,DEBD于D,交BC于點(diǎn)E求證:CD=BE練習(xí):1如圖,在ABC中,B=90,AD為BAC的平分線,DFAC于F,DE=DC求證:BE=CF 2已知:如圖,AD是ABC的中線,DEAB于E,DFAC于F,且BE=CF求證:(1)AD是BAC的平分線;(2)AB=AC 3在ABC中,BAC=60,C=40,AP平分BAC交BC于P,BQ平分ABC交AC于Q求證:AB+BP=BQ+AQ 4如圖,在ABC中,AD平分BAC,AB=AC+CD求證:C=2B 5已知,E為ABC的A的平分線AD上一點(diǎn),ABAC求證:AB-ACEB-EC 6如圖,在四邊形ABCD中,BCBA,AD=CD,BD平分ABC 求證:A+C=1807如圖所示,已知ADBC,1=2,3=4,直線DC過點(diǎn)E作交AD于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)C求證:AD+BC=AB 8已知,如圖,ABC中,ABC=90,AB=BC,AE是A的平分線,CDAE于D求證:CD=AE 9ABC中,AB=AC,A=100,BD是B的平分線求證:AD+BD=BC 10如圖36,B和C的平分線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作DEBC交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若BD+CE=9,則線段DE的長為()A9 B8 C7 D6 11如圖,ABC中,AD平分BAC,AD交BC于點(diǎn)D,且D是BC的中點(diǎn)求證:AB=AC 12已知:如圖,ABC中,AD是BAC的平分線,E是BC的中點(diǎn),EFAD,交AB于M,交CA的延長線于F求證:BM=CF 1.如圖,在RtABC中,AB=AC,D、E是斜邊BC上兩點(diǎn),且DAE=450,將ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900后,得到AFB,連接,下列結(jié)論:();();();()其中正確的是()A(2)(4) B(1)(4) C(2) (3) D(1) (3)2.在ABC中,AB6,AC8,BC10,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn),PEAB于E,PFAC于F,M為EF中點(diǎn),則AM的最小值為 3.如圖,在等腰梯形ABCD中,C=60,ADBC,且AD=DC,E、F分別在AD、DC的延長線上,且DE=CF,AF、BE交于點(diǎn)P .(1)求證:AF=BE;(2)請你猜測BPF的度數(shù),并證明你的結(jié)論 .4.已知:如圖,在ABC中,ACB=,于點(diǎn)D,點(diǎn)E 在AC上,CE=BC,過E點(diǎn)作AC的垂線,交CD的延長線于點(diǎn)F .求證:AB=FC5如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC,BF是ABC的平分線,AFDC,連接AC、CF,求證:CA是DCF的平分線.6.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上移動(dòng),但A到EF的距離AH始終保持與AB長相等,問在E、F移動(dòng)過程中:(1)求證:EAF = 45o ; (2)ECF的周長是否有變化?請說明理由.7.如圖,ABC中,ABC=BAC=45,點(diǎn)P在AB上,ADCP,BECP,垂足分別為D、E ,已知DC=2,求BE的長。ABCDEF8如圖,在矩形ABCD中,AE平分DAB交DC于點(diǎn)E,連接BE,過E作EFBE交AD于E.(1)DEF和CBE相等嗎?請說明理由;來源:學(xué)。科。網(wǎng)(2)請找出圖中與EB相等的線段(不另添加輔助線和字母),并說明理由.9.將一張矩形紙片沿對角線剪開,得到兩張紙片,再將這兩張三角形紙片擺放成如圖所示的形式,使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上。(1)求證:ABED。(2)若PB=BC,請找出圖中與此條件有關(guān)的
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