高一數(shù)學(xué) 兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān) ppt.ppt

兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān) 1 變量之間除了函數(shù)關(guān)系外 還有相關(guān)關(guān)系 例 1 商品銷(xiāo)售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系 2 糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系 3 人體內(nèi)脂肪含量與年齡之間的關(guān)系 一 變量之間的相關(guān)關(guān)系 不同點(diǎn) 函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系 而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系 相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn) 相同點(diǎn) 均是指兩個(gè)變量的關(guān)系 2 兩個(gè)變量之間產(chǎn)生相關(guān)關(guān)系的原因是受許多不確定的隨機(jī)因素的影響 3 需要通過(guò)樣本來(lái)判斷變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系 一 變量之間的相關(guān)關(guān)系 在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中 研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù) 根據(jù)上述數(shù)據(jù) 人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系 散點(diǎn)圖 兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布的位置是從左下角到右上角的區(qū)域 即一個(gè)變量值由小變大 另一個(gè)變量值也由小變大 我們稱(chēng)這種相關(guān)關(guān)系為正相關(guān) 思考 1 兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí) 散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn) 答 兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布的位置是從左上角到右下角的區(qū)域 即一個(gè)變量值由小變大 而另一個(gè)變量值由大變小 我們稱(chēng)這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān) 2 你能舉出一些生活中的變量成正相關(guān)或者負(fù)相關(guān)的例子嗎 如學(xué)習(xí)時(shí)間與成績(jī) 負(fù)相關(guān)如日用眼時(shí)間和視力 汽車(chē)的重量和汽車(chē)每消耗一升汽油所行駛的平均路程等 注 若兩個(gè)變量散點(diǎn)圖呈上圖 則不具有相關(guān)關(guān)系 如 身高與數(shù)學(xué)成績(jī)沒(méi)有相關(guān)關(guān)系 散點(diǎn)圖 回歸直線(xiàn) 如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線(xiàn)附近 我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系 這條直線(xiàn)就叫做回歸直線(xiàn) 這條回歸直線(xiàn)的方程 簡(jiǎn)稱(chēng)為回歸方程 1 如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線(xiàn)上 變量之間具有函數(shù)關(guān)系2 如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線(xiàn)附近 變量之間就有相關(guān)關(guān)系3 如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線(xiàn)附近 變量之間就有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系只有散點(diǎn)圖中的點(diǎn)呈條狀集中在某一直線(xiàn)周?chē)臅r(shí)候 才可以說(shuō)兩個(gè)變量之間具有線(xiàn)性關(guān)系 才有兩個(gè)變量的正線(xiàn)性相關(guān)和負(fù)線(xiàn)性相關(guān)的概念 才可以用回歸直線(xiàn)來(lái)描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系 方案一 采用測(cè)量的方法 先畫(huà)一條直線(xiàn) 測(cè)量出各點(diǎn)到它的距離 然后移動(dòng)直線(xiàn) 到達(dá)一個(gè)使距離之和最小的位置 測(cè)量出此時(shí)直線(xiàn)的斜率和截距 就得到回歸方程 三 我們應(yīng)該如何具體的求出這個(gè)回歸方程呢 方案二 在圖中選取兩點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn) 使得直線(xiàn)兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同 方案三 在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn) 確定幾條直線(xiàn)的方程 分別求出各條直線(xiàn)的斜率和截距的平均數(shù) 將這兩個(gè)平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距 上述三種方案均有一定的道理 但可靠性不強(qiáng) 我們回到回歸直線(xiàn)的定義 求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫(huà) 從整體上看 各點(diǎn)與直線(xiàn)的偏差最小 計(jì)算回歸方程的斜率和截距的一般公式 其中 b是回歸方程的斜率 a是截距 5 最小二乘法的公式的探索過(guò)程如下 設(shè)已經(jīng)得到具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù) x1 y1 x2 y2 xn yn 設(shè)所求的回歸直線(xiàn)方程為y bx a 其中a b是待定的系數(shù) 當(dāng)變量x取x1 x2 xn時(shí) 可以得到y(tǒng)i bxi a i 1 2 n 它與實(shí)際收集得到的yi之間偏差是yi yi yi bxi a i 1 2 n 這樣 用這n個(gè)偏差的和來(lái)刻畫(huà) 各點(diǎn)與此直線(xiàn)的整體偏差 是比較合適的 我們可以用計(jì)算機(jī)來(lái)求回歸方程 人體脂肪含量與年齡之間的規(guī)律 由此回歸直線(xiàn)來(lái)反映 將年齡作為x代入上述回歸方程 看看得出數(shù)值與真實(shí)值之間有何關(guān)系 若某人65歲 可預(yù)測(cè)他體內(nèi)脂肪含量在37 1 0 577 65 0 448 37 1 附近的可能性比較大 但不能說(shuō)他體內(nèi)脂肪含量一定是37 1 原因 線(xiàn)性回歸方程中的截距和斜率都是通過(guò)樣本估計(jì)的 存在隨機(jī)誤差 這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差 即使截距斜率沒(méi)有誤差 也不可能百分百地保證對(duì)應(yīng)于x 預(yù)報(bào)值y能等于實(shí)際值y 例2 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x 年 和所支出的維修費(fèi)用y 萬(wàn)元 有如下的統(tǒng)計(jì)資料 使用年限x 年 23456維修費(fèi)用y 萬(wàn)元 2 23 85 56 57 0若資料知y x呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系 試求 1 線(xiàn)性回歸方程y bx a的回歸系數(shù)a b 2 估計(jì)使用年限為10年時(shí) 維修費(fèi)用是多少 1 于是有b 112 3 5 4 5 90 5 4 2 1 23 a 5 1 23 4 0 08 2 回歸方程為y 1 23x 0 08 當(dāng)x 10時(shí) y 12 38 萬(wàn)元 即估計(jì)使用10年時(shí)維護(hù)費(fèi)用是12 38萬(wàn)元 例1 有一個(gè)同學(xué)家開(kāi)了一個(gè)小賣(mài)部 他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷(xiāo)售的影響 經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì) 得到一個(gè)賣(mài)出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表 1 畫(huà)出散點(diǎn)圖 2 從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律 3 求回歸方程 4 如果某天的氣溫是2攝氏度 預(yù)測(cè)這天賣(mài)出的熱飲杯數(shù) 1 散點(diǎn)圖 2 從圖3 1看到 各點(diǎn)散布在從左上角到由下角的區(qū)域里 因此 氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān) 即氣溫越高 賣(mài)出去的熱飲杯數(shù)越少 3 從