基本不等式習題教師版.doc

基本不等式基礎梳理1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號2幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同號)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算術平均數與幾何平均數設a0，b0，則a，b的算術平均數為，幾何平均數為，可敘述為兩個正數的算術平均數大于或等于它的幾何平均數4利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大) 一個技巧用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件等 兩個變形(1)2ab(a，bR，當且僅當ab時取等號)；(2) (a0，b0，當且僅當ab時取等號)這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們 三個注意(1)用基本不等式求最值，失誤的原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可(2)在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件(3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致雙基自測1(人教A版教材習題改編)函數yx(x0)的值域為A(，22，) B(0，)C2，) D(2，)解析x0，yx2，當且僅當x1時取等號答案C2下列不等式：a212a；2；x21，其中正確的個數是()A0 B1 C2 D3解析不正確，正確，x2(x21)1211. 答案B3若a0，b0，且a2b20，則ab的最大值為()A. B1 C2 D4解析a0，b0，a2b2， a2b22，即ab. 答案A4(2011重慶)若函數f(x)x(x2)在xa處取最小值，則a() A1 B1 C3 D4解析當x2時，x20，f(x)(x2)22 24，當且僅當x2(x2)，即x3時取等號，即當f(x)取得最小值時，x3，即a3. 答案C5已知t0，則函數y的最小值為_解析t0，yt4242，當且僅當t1時取等號 答案2考向一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x0，y0，且2xy1，則的最小值為_；(2)當x0時，則f(x)的最大值為_審第(1)問把中的“1”代換為“2xy”，展開后利用基本不等式；第(2)問把函數式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式解析(1)x0，y0，且2xy1，332.當且僅當時，取等號(2)x0，f(x)1，當且僅當x，即x1時取等號答案(1)32(2)1方: 利用基本不等式求函數最值時，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”常用的方法為：拆、湊、代換、平方【訓練1】 (1)已知x1，則f(x)x的最小值為_(2)已知0x，則y2x5x2的最大值為_(3)若x，y(0，)且2x8yxy0，則xy的最小值為_解析(1)x1，f(x)(x1)1213當且僅當x2時取等號(2)y2x5x2x(25x)5x(25x)，0x，5x2,25x0，5x(25x)21，y，當且僅當5x25x，即x時，ymax. 答案(1)3(2)(3)18(3)由2x8yxy0，得2x8yxy，1，xy(xy)101021022 18，當且僅當，即x2y時取等號，又2x8yxy0，x12，y6，當x12，y6時，xy取最小值18.考向二利用基本不等式證明不等式【例2】已知a0，b0，c0，求證：abc.審題視點 先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質相加得到證明a0，b0，c0，2 2c；2 2b；2 2a.以上三式相加得：22(abc)，即abc.方法總結:利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理最后轉化為需證問題【訓練2】 已知a0，b0，c0，且abc1.求證：9.證明a0，b0，c0，且abc1，3332229， 當且僅當abc時，取等號考向三利用基本不等式解決恒成立問題【例3】(2010山東)若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是_審題視點 先求(x0)的最大值，要使得a(x0)恒成立，只要(x0)的最大值小于等于a即可解析若對任意x0，a恒成立，只需求得y的最大值即可，因為x0，所以y，當且僅當x1時取等號，所以a的取值范圍是答案 當不等式一邊的函數(或代數式)的最值較易求出時，可直接求出這個最值(最值可能含有參數)，然后建立關于參數的不等式求解【訓練3】 (2011宿州模擬)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實數m的最大值是_解析由x0，y0，xyx2y2 ，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，m10，故m的最大值為10.答案10考向三利用基本不等式解實際問題【例3】某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過5 m房屋正面的造價為400元/m2，房屋側面的造價為150元/m2，屋頂和地面的造價費用合計為5 800元，如果墻高為3 m，且不計房屋背面的費用當側面的長度為多少時，總造價最低？審題視點 用長度x表示出造價，利用基本不等式求最值即可還應注意定義域0x5；函數取最小值時的x是否在定義域內，若不在定義域內，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調性解由題意可得，造價y3(2x150400)5 8009005 800(0x5)，則y9005 80090025 80013 000(元)，且當x，即x4時取等號當側面的長為4米，總造價最低 解實際應用題要注意以下幾點：(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數；(2)根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值；(3)在求函數的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解【訓練3】 東海水晶制品廠去年的年產量為10萬件，每件水晶產品的銷售價格為100元，固定成本為80元從今年起，工廠投入100萬元科技成本并計劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本預計產量每年遞增1萬件，每件水晶產品的固定成本g(n)與科技成本的投入次數n的關系是g(n).若水晶產品的銷售價格不變，第n次投入后的年利潤為f(n)萬元(1)求出f(n)的表達式；(2)求從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？解(1)第n次投入后，產量為(10n)萬件，銷售價格為100元，固定成本為元，科技成本投入為100n萬元所以，年利潤為f(n)(10n)100n(nN*)(2)由(1)知f(n)(10n)100n1 00080520(萬元)當且僅當，即n8時，利潤最高，最高利潤為520萬元所以，從今年算起第8年利潤最高，最高利潤為520萬元忽視基本不等式成立的條件致誤【問題診斷】 利用基本不等式求最值是高考的重點，其中使用的條件是“一正、二定、三相等”，在使用時一定要注意這個條件，而有的考生對基本不等式的使用條件理解不透徹，使用時出現多次使用不等式時等號成立的條件相矛盾.,【防范措施】 盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時應保證兩次等號成立的條件同時相等.【示例】已知a0，b0，且ab1，求的最小值錯因兩次基本不等式成立的條件不一致a0，b0，且ab1，ab2.又2 ，而ab，4，24，故的最小值為4.正解a0，b0，且ab1，(ab)1232 32.當且僅當即時，的最小值為32.【試一試】 (2010四川)設ab0，則a2的最小值是()A1 B2 C3 D4a2a2ababa(ab)ab2 2 224.當且僅當a(ab)且ab， 即a2b時，等號成立 答案D18.已知二次函數滿足：對任意實數,都有，且當（1，3）時，有成立. （1）求; （2）若的表