第七節(jié) 曲率.ppt

第七節(jié) 曲線(xiàn)的彎曲程度 與切線(xiàn)的轉(zhuǎn)角有關(guān) 與曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)有關(guān) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 主要內(nèi)容 一 弧微分 二 曲率及其計(jì)算公式 三 曲率圓與曲率半徑 平面曲線(xiàn)的曲率 第三章 一 弧微分 設(shè) 在 a b 內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 其圖形為AB 弧長(zhǎng) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 則弧長(zhǎng)微分公式為 或 幾何意義 若曲線(xiàn)由參數(shù)方程表示 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 二 曲率及其計(jì)算公式 在光滑弧上自點(diǎn)M開(kāi)始取弧段 其長(zhǎng)為 對(duì)應(yīng)切線(xiàn) 定義 弧段上的平均曲率 點(diǎn)M處的曲率 注意 直線(xiàn)上任意點(diǎn)處的曲率為0 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 轉(zhuǎn)角為 例1 求半徑為R的圓上任意點(diǎn)處的曲率 解 如圖所示 可見(jiàn) R愈小 則K愈大 圓弧彎曲得愈厲害 R愈大 則K愈小 圓弧彎曲得愈小 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 有曲率近似計(jì)算公式 故曲率計(jì)算公式為 又 曲率K的計(jì)算公式 二階可導(dǎo) 設(shè)曲線(xiàn)弧 則由 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 說(shuō)明 1 若曲線(xiàn)由參數(shù)方程 給出 則 2 若曲線(xiàn)方程為 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 我國(guó)鐵路常用立方拋物線(xiàn) 作緩和曲線(xiàn) 處的曲率 點(diǎn)擊圖片任意處播放 暫停 說(shuō)明 鐵路轉(zhuǎn)彎時(shí)為保證行車(chē) 平穩(wěn)安全 求此緩和曲線(xiàn)在其兩個(gè)端點(diǎn) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 且l R 其中R是圓弧彎道的半徑 l是緩和曲線(xiàn)的長(zhǎng)度 離心力必須 連續(xù)變化 因此鐵道的 曲率應(yīng)連續(xù)變化 例2 我國(guó)鐵路常用立方拋物線(xiàn) 作緩和曲線(xiàn) 且l R 處的曲率 其中R是圓弧彎道的半徑 l是緩和曲線(xiàn)的長(zhǎng)度 求此緩和曲線(xiàn)在其兩個(gè)端點(diǎn) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 解 顯然 例3 求橢圓 在何處曲率最大 解 故曲率為 K最大 最小 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 求駐點(diǎn) 設(shè) 從而K取最大值 這說(shuō)明橢圓在點(diǎn) 處曲率 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值 最大 三 曲率圓與曲率半徑 設(shè)M為曲線(xiàn)C上任一點(diǎn) 在點(diǎn) 在曲線(xiàn) 把以D為中心 R為半徑的圓叫做曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的 曲率圓 密切圓 R叫做曲率半徑 D叫做 曲率中心 在點(diǎn)M處曲率圓與曲線(xiàn)有下列密切關(guān)系 1 有公切線(xiàn) 2 凹向一致 3 曲率相同 M處作曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn) 的凹向一側(cè)法線(xiàn)上取點(diǎn)D使 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 設(shè)曲線(xiàn)方程為 且 求曲線(xiàn)上點(diǎn)M處的 曲率半徑及曲率中心 設(shè)點(diǎn)M處的曲率圓方程為 故曲率半徑公式為 滿(mǎn)足方程組 的坐標(biāo)公式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 由此可得曲率中心公式 當(dāng)點(diǎn)M x y 沿曲線(xiàn) 移動(dòng)時(shí) 的軌跡G稱(chēng)為曲線(xiàn)C的漸屈線(xiàn) 相應(yīng)的曲率中心 曲率中心公式可看成漸 曲線(xiàn)C稱(chēng)為曲線(xiàn)G的漸伸線(xiàn) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 屈線(xiàn)的參數(shù)方程 參數(shù)為x 點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停 例4 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓 現(xiàn)要用砂輪磨 削其內(nèi)表面 問(wèn)選擇多大的砂輪比較合適 解 設(shè)橢圓方程為 由例3可知 橢圓在 處曲率最大 即曲率半徑最小 且為 顯然 砂輪半徑不超過(guò) 時(shí) 才不會(huì)產(chǎn)生過(guò)量磨損 或有的地方磨不到的問(wèn)題 例3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 仍為擺線(xiàn) 例5 求擺線(xiàn) 的漸屈線(xiàn)方程 解 代入曲率中心公式 得 擺線(xiàn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 擺線(xiàn) 半徑為a的圓周沿直線(xiàn)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí) 點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停 其上定點(diǎn)M 的軌跡即為擺線(xiàn) 參數(shù)的幾何意義 擺線(xiàn)的漸屈線(xiàn) 點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 1 弧長(zhǎng)微分 或 2 曲率公式 3 曲率圓 曲率半徑 曲率中心 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 思考與練習(xí) 1 曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的曲率圓與曲線(xiàn)有何密切關(guān)系 答 有公切線(xiàn) 凹向一致 曲率相